人教A版高中数学必修五高中同步测试卷(八)

高中同步测试卷(八)

单元检测 不等关系与不等式及一元二次不等式的解法

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设m，n∈R，给出下列结论：

①m2

2

2

mnnm其中正确的结论有( )

A．①④B．②④C．②③D．③④

2

2．不等式－3<4x－4x≤0的解集是( )

13A.x－2213

C.x－22

2

2

B．{x|x≤0或x≥1}

13

D.xx≤－或x≥

22

3．若M＝x＋y＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为( )

A．M>NB．M2

4．若集合A＝{x|ax－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是( ) A．{a|04

5．已知集合M＝{x|x＞x}，N＝yy＝，x∈M，则M∩N＝( )

2

2

x11A.0，B.，1C．(0，1)D．(1，2)

22

12

6．一元二次不等式ax＋bx＋1＞0的解集为x－1＜x＜，则ab的值为( )

3

A．－6B．6C．－5D．5

7．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

A.＞B.＜C.>D.＜

8．若函数f(x)＝(a＋4a－5)x－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是( )

A．1≤a≤19B．1＜a＜19C．1≤a＜19D．1＜a≤19

2

9．若关于x的不等式x＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为( )

232323A.－，＋∞B.－，1C．(1，＋∞)D.－∞，－

55510．对任意实数x，不等式A．[0，＋∞) 2C.－∞，－

3

2

2

2

ababababcdcddcdc2x＋2

＞k恒成立，则k的取值范围为( )

x＋x＋1

2

B．(2，＋∞)

2D．(2，＋∞)∪－∞，－ 3

2

2

11．实数α，β是方程x－2mx＋m＋6＝0的两根，则(α－1)＋(β－1)的最小值为

( )

25

A．8B．14C．－14D．－ 4

12．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x成立，则( )

1331

A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－＜a＜D．－＜a＜ 2222题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 22

13．已知x＝1是不等式kx－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________． 111

14．若a，b为正实数，则＋与的大小关系是________．

aba＋b1

15．若1<α<3，－4<β<2，则α－β的取值范围是________．

216．下列语句中正确的是________． 11

①若a＞b，则alg＞blg；

22

②若a＞b＞0，c＞d＞0，则a－d＞b－c；

1a1b③若a＞b，且a，b∈R，则＜； 332π④若α∈－π，，则1－sinα＞0. 3

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

1

x2－1，x≥或x≤－2，

2

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝试求不等式f(x)≥

12

3＋2x－x，－2＜x＜，

2

2

2



0的解集．

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

2

18．(本小题满分12分)(1)求函数f(x)＝log2(－x＋2x＋3)的定义域；

22

(2)若不等式x－2x＋k－1≥0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．

2

19.(本小题满分12分)m为何值时，方程mx－(2m＋1)x＋m＝0满足下列条件： (1)没有实数解； (2)有实数解；

(3)有两个不相等的实数解．

20．(本小题满分12分)

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

如图，有一长AM＝30m，宽AN＝20m的矩形地块，业主计划将其中的矩形ABCD建为仓库，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，其他地方建停车场和路，设AB＝xm.

(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；

2

(2)若要求仓库占地面积不小于144m，则AB的长度应在什么范围？

ab21.(本小题满分12分)设a＞0，b＞0，求证2＋2≥a2＋b2. ba

212111

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

2

22．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax－(2a＋1)x＋2≤0，a∈R.

参与解析

1．【解析】选B.若m－n>0⇒(－m)>(－n)，即m>n，故①不正确； 若ma0， 所以m若na，故③不正确； 若m，即<1，故④正确．

2

2

2

2

2

2

2

2

mnnmnm4x（x－1）≥0

2． 【解析】选A.不等式可化为2⇒13

4x－4x－3<0－2

2

x≤0或x≥1，

1

⇒－2

x<. 3．【解析】选A.因为M－N＝x＋y＋1－2x－2y＋2＝(x－1)＋(y－1)＋1>0，所以M>N. 4．【解析】选D.若a＝0时符合题意．当a>0时，相应二次方程中的Δ＝a－4a≤0，得{a|0145．【解析】选B.因为M＝{x|x＞x}＝{x|0＜x＜1}，N＝yy＝，x∈M＝y＜y＜2}，

22

2

2

2

2

2

2

3

2

x1所以M∩N＝，1，故选B. 2

12

6．【解析】选B.由已知得ax＋bx＋1＝0的两个根为－1，

3

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

1b－1＋＝－，3aa＝－3所以解得，

b＝－211

－1×3＝a，所以ab＝6.

11117．【解析】选D.因为c＜d＜0，所以＜＜0，即－＞－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，

dcdc－＞－＞0，所以＜.

8．【解析】选C.函数图象恒在x轴上方，即不等式(a＋4a－5)x－4(a－1)x＋3＞0对一切x∈R恒成立．

①当a＋4a－5＝0，即a＝－5或a＝1时，

由a＝－5，不等式化为24x＋3＞0，不满足题意；由a＝1，不等式化为3＞0，满足题意．

②当a＋4a－5≠0时，由题意可得

a＋4a－5＞0， 2216（a－1）－12（a＋4a－5）＜0，

2

22

2

2

adbcabdc解得1＜a＜19.

综合①②，a的取值范围是1≤a＜19.故选C.

9．【解析】选A.根据题意，由于关于x的不等式x＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解，－x＋222可知a＞＝－x＋在[1，5]上有解，又由于函数y＝－x＋在区间[1，5]上是减函数，

2

2

xxx2223

故只需a大于函数的最小值即可，又y＝－x＋≥－5＋＝－，故a的取值范围是

x55

－23，＋∞，故选A.

5

10．【解析】选C.不等式

2x＋222

＞k等价于2x＋2＞k(x＋x＋1)，kx＋(k－2)x＋(k2

x＋x＋1

－2)＜0对任意x∈R均成立；注意到k＝0时该不等式不恒成立，于是有

k＜0， 2

Δ＝（k－2）－4k（k－2）＜0，

2

由此解得k＜－，

3

2因此k的取值范围是－∞，－. 3

11．【解析】选A.因为Δ＝(－2m)－4(m＋6)≥0，

2

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

所以m－m－6≥0，所以m≥3或m≤－2. 而(α－1)＋(β－1)＝α＋β－2(α＋β)＋2 ＝(α＋β)－2αβ－2(α＋β)＋2 ＝(2m)－2(m＋6)－2(2m)＋2 ＝4m－6m－10

2

2

22

2

2

2

2

349＝4m－－， 44

因为m≥3，或m≤－2，所以当m＝3时，(α－1)＋(β－1)的最小值为8.

12．【解析】选C.因为(x－a)⊗(x＋a)＜1，所以(x－a)(1－x－a)＜1，即x－x－a＋a132

＋1＞0.因为此不等式对任意实数x成立，则有1－4(－a＋a＋1)＜0.所以－＜a＜.故选

22C.

13．【解析】x＝1是不等式kx－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.

【答案】k≥4或k≤2

1a＋b1（a＋b）－ab14．【解析】因为a，b为正实数，所以＋－＝－＝＝

aba＋baba＋bab（a＋b）

1

1

2

22

22

2

2

2

2

a2＋ab＋b2111

＞0，所以＋＞. ab（a＋b）aba＋b111

【答案】＋＞ aba＋b113

15．【解析】因为1<α<3，所以<α<，①

222因为－4<β<2，所以－2<－β<4，② 3111

①②相加得－<α－β<. 222

311【答案】－， 22

122

16．【解析】lg＜0，①是错误的；a＞b＞0，a＞b，c＞d＞0，c＞d＞0，－c＜

2

111－d，a－d＞b－c，②正确；y＝是减函数，a＞b，则＜，③正确；④中α333

2

2

xabπ

＝时， 2

1－sinα＝0，不正确． 【答案】②③

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

x－1≥0

17．【解】原不等式等价于1①，

x≥或x≤－22

3＋2x－x≥0

或1②，

－2＜x＜2

由①得x≥1或x≤－2， 1由②得－1≤x＜，

2故原不等式的解集为

1xx≥1或x≤－2或－1≤x＜.

2

2

2

18．【解】(1)由－x＋2x＋3＞0，得x－2x－3＜0， 即(x－3)(x＋1)＜0，所以－1＜x＜3，

所以f(x)＝log2(－x＋2x＋3)的定义域为(－1，3)．

(2)法一：若x－2x＋k－1≥0对一切实数x恒成立，则Δ＝(－2)－4(k－1)≤0⇒k≥2⇒k≥2或k≤－2.

即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

法二：若x－2x＋k－1≥0对一切实数x恒成立，即k≥－x＋2x＋1对一切实数x恒成立．

因为－x＋2x＋1＝－(x－1)＋2≤2， 所以当k≥2时，x－2x＋k－1≥0恒成立， 所以k≤－2或k≥2.

即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

19．【解】当m＝0时，原方程可化为x＝0；当m≠0时，Δ＝[－(2m＋1)]－4m＝4m＋11

1＜0，即m＜－时，原方程没有实数解；由Δ＝4m＋1＞0，得m＞－且m≠0时，原方程有

441

两个不相等的实数根；Δ≥0时原方程有实数解．此时m≥－且m≠0.

4

1

综上，(1)当m＜－时，原方程没有实数解．

41

(2)当m≥－时，原方程有实数解．

4

1

(3)当m＞－且m≠0时，原方程有两个不相等的实数解．

420．【解】(1)由题意知，△NDC∽△NAM，

信达

22

2

22222

2222

22

222

22

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

则＝，

DCNDAMNAx20－AD2即＝，解得AD＝20－x. 30203

22

所以矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为S＝20x－x(0＜x＜30)．

322

(2)由题意得20x－x≥144，

3即x－30x＋216≤0， 解得12≤x≤18.

故AB的长度的取值范围是[12，18]．

（a）＋（b）

21．【证明】左边－右边＝－(a＋b)

3

3

2

ab＝

（a＋b）（a－ab＋b）－ab（a＋b）

ab（a＋b）（a－2ab＋b）

＝

ab（a＋b）（a－b）

2

＝

ab≥0，

所以原不等式成立．

22．【解】原不等式可以变形为(ax－1)(x－2)≤0.

(1)当a＝0时，(ax－1)(x－2)≤0可化为－(x－2)≤0，所以x≥2.

1(2)当a＜0时，(ax－1)(x－2)≤0可化为x－(x－2)≥0.



a

1

所以x≤或x≥2.

a1

(3)当a＞0时，(ax－1)(x－2)≤0可化为(x－)(x－2)≤0，对应方程的两个根分别为

a1

a和2，

1111①当＞2，即0＜a＜时，x－(x－2)≤0⇒2≤x≤； a2aa

1112

②当＝2，即a＝时，x－(x－2)≤0⇒(x－2)≤0，所以x＝2；

a2a1111③当0＜＜2，即a＞时，x－(x－2)≤0⇒≤x≤2.

a2aa

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

1； x≤或x≥2综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为xa

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥2}；

11

当0＜a＜时，原不等式的解集为x2≤x≤；

a2

1

当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝2}；

2

11

当a＞时，原不等式的解集为x≤x≤2.

2a

信达