高二数学《圆的一般方程》教学设计

高二数学《圆的一般方程》教学设计

教材版本：人教版（必修） 学科：数学 年级：高二年级 册别：第二册（上） 课题：第七章第二节圆的方程第二课时教学设计 一、教材分析

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。 二、学情分析

圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。 但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。 三、教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。 四、学法分析

通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。 五、设计思想

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。 六、教学策略

结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、 分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。 七、教学目标 （一）知识与技能

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。 （二）过程与方法

通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。 （三）情感态度价值观

渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

八、教学重点、难点

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练。)

2．难点：圆的一般方程的探讨过程。

(解决办法：通过对方程配方分三种讨论得条件。) 九、教具：多媒体、黑板、圆规、三角板 十、【教学过程与设计】(课堂实录) 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 、复习引入： 师：同学们！上节课我们研究了圆的标准学生活动：回答问题，并填复习巩固写学案： 圆的标准方程，请同学们回忆 一下圆的标准方程，题1：圆的标准方程的形式是怎样方程，进并填写学案， ？其中圆心的坐标和半径各是什 一步明确？ 其结构特 征，为新 知识作铺教师：提出问题，并对学生的回答加以肯 垫。 圆心在坐标原点，半径为r的圆的方定。 怎么表示？ 学生带着 疑问，亲自动笔实让学生先思考，自主探究， 学生活动：动笔展开方程题2：若把标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2教师活动：引导学生得出方程形式：(x-a)2+(y-b)2=r2. 开后，会得出怎样的形式？ x2+y2+Dx+Ey+F=0，提出课题 师：这就是我们今天要学习的内容：圆的一般方程． 教师板书：圆的一般方程 践，发现新问题，题。 引入课、新课讲解 使学生明确本节课的学习内容。 题：圆的一般方程 题3：是不是每个形如y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都圆呢？ 学生活动：先思考，自让学生经主探究后，再与前后同学合历知识形方程的要求，想到利用配方法将展开式化作交流。 成的过成圆的标准方程的形式，并引导学生总结程，体会在什么情况下，它的轨迹是圆、点或无轨生生互动：在教师引导下，数形结合合作交流，共同探讨方程思想，加迹。 22x+y+Dx+Ey+F=0表示的图深对知识组织学生分析讨论，给学生充足的时形。 的理解。 间讨论，并作适当的引导。 共同探讨后，达成共识：先【师生互动】：教师巡视指导，参与学生将方程配方，再与圆的标准的讨论。 方程比较。 教师活动：提出问题. 引导学生思考圆的教师预设：先将方程配方，再与圆的标准学生活动：在教师的引导下让学生积方程比较。教师板书： D2E2D2E24F(x)(y) 224① 、探讨形成：将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0边配方 通过观察、分析后发现： 当D+E-4F＞0时 22极主动地参与到讨论中来，成为学习的主人， 1)当D2+E2-4F＞0时，方程①表示 一方程①表示一个以个圆； 师：请同学们观察方程①，可以看出什么？ 让学生经教师提示学生：先把方程①与标准方程比较，再分类讨论。 当D+E-4F＞0时，方程①表示什么？ 教师继续引导：当D2+E2-4F = 0时，又表2222历知识形(DE,)22为圆心，成的过程，体会知识的来122DE4F为半径的2龙去脉，加深对知圆； 识的理解。 22学生回答：当D+E-4F = 0 2）当D+E-4F = 0时，方程①表示教师预设：当学生回答不明确时，教师作 时，方程①表示一个点 个点； 适当的提示：当D2+E2-4F = 0时，方程① DE (,) DE22 只有实数解x,y 22 22教师设问：方程x+y+Dx+Ey+F=0有没有 实数解？． 学生回答：没有，因而它不使学生学表示任何图形 会归纳总22 教师活动：教师在学生基础上梳理思路，当D+E-4F＜0时，方程①不表示任结 22板书：方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的图形图形。 学生活动：归纳总结：方程 分别是圆、点或不表示任何图形。 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图师：根据以上结论，请同学们给出圆的一形分别是圆、点或不表示任 归纳总结： 何图形。 般方程的定义。 示什么？ 程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形分别圆、点或不表示任何图形． 【教师活动】板书： 圆的一般方程的定义 使学生明 学生口答： 确圆的一般方程的 当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程。 22223.提出概念：（圆的一般方程的定DE(,)，半径为：圆心坐标为：） 22 122DE4F 2当D+E-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．圆心坐标为：DE(,)，半径为：22122DE4F 2 22定义。 加强巩固会通过配教师强调：不要死记结果，要熟记通过配 方求圆心和半径的方法。 教师活动：巡视学生完成情况，对学生的 回答作点评，给出正确答案，同时强调：方程中隐含条件以及分类讨论的情况。 方法判断学生活动：完成，并回方程所表答问题。 示的图形 和求圆的 半径及圆 巩固练习： 心坐标。 、下列方程各表示什么图形？ x2y20 y22x4y60 y22axb20 2、求下列各圆的圆心和半径 x2y26x0 x2y22by0 x2y22ax23y3a20 题4：圆的一般方程有什么特点？ 让学生通教师设问：圆的一般方程有什么特点？ 过归纳得出圆的一 教师活动：引导学生比较二元二次方程的般方程的22一般形式Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0，与圆的形式特 2222一般方程x+y+Dx+Ey+F=0，(D+E-4F＞点，体会0)。 圆的标准学生活动：归纳结论： 方程和圆22教师强调：1.条件(1)、(2)是二元二次方(1)x和y的系数相同，不等的一般方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条于零，即A=C≠0； 程各自的件； 优点。 (2)没有xy项，即B=0； 2.只要确定了D、E、F即可写出圆的一般 方程。 教师活动：巡视学生完成情况，并请一位进一步巩 学生上黑板展示，教师点评学生的回答。 固学生能 够利用圆教师预设： 的标准方程求解圆【学生活动】： 解：（利用待定系数法） 完成，认真作答，学生的方程，设圆的方程为： 并加强圆自愿到黑板上展示各自解222的标准方(x8)(y3)r 法： 程与一般∵圆经过点A（5，-1） ∴(58)2(13)2r2 r213 方程的转化。 ∴(x8)2(y3)213 题型一：利用圆的标准方程求圆的、例题精讲 教师活动：引导学生尝试利用圆的方程的程，并化为一般方程。 两种形式求解圆的方程，并引导学生小结例1、例2：一般说来，如果由已知条件容1 求过点A(5，-1)，圆心在点C(8，易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准的圆的一般方程，并化为一般方程 方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都 无直接关系，往往设圆的一般方程。 教师预设： 解：（利用待定系数法） 设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0， 型二:求利用圆的一般方程求圆的方由题意得， F=0 ： D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解之得，D=-8，E=6 ∴圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0， 2 求过三点O(0，0)、M1(1，1)、4，2)的圆的方程。 通过利用圆的方程的两种形 式求解圆的方程， 进一步体会各自的学生活动：在老师的引导下，认真完成，并体会如何优点，并根据题目条件,恰当选择圆掌握待定系数法求方程形式。 解圆的方程的方 法。 让学生进一步体会如何根据题目条件,恰当选择圆方程形式，并加强待定系数法求解圆的方程的方法. 教师活动：让学生先思考，自主完成， 教师纠错，并给予适当的点评，出示正确答案. 学生活动：完成. 、反馈练习：求过三点A(-1，5)、B(-2，、C(5，5)的圆的方程。 1）知识性小结： 问题5：通过这节课的学习你获得哪些知识？ 教师活动：引导学生回顾本节课所学知识学生活动：回顾本节课的知通过学生的小结，要点，点评学生小结，并加以归纳补充： 识要点与方法，认真总结，加深对新并认真听取老师的补充。 知识的记1.本节课的主要知识点： 忆，通过 老师的补（1）圆的一般方程及其形式特点； 充升华本节课的课（2）圆的一般方程与圆的标准方程的转题。 化； （3）用待定系数法求圆的方程。 2.本节课用的数学方法和数学思想: ⑴数学方法: 配方法、待定系数法。 ⑵数学思想: ① 数形结合的思想； 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理2）方法性小结： 问题6：通过这节课的学习你掌握哪些数学思想和方法？ 解记忆。 ② 转化的思想； ③ 分类讨论的思想； ④ 方程的思想。 针对学生实际，对课后书面作业实施分层分两个层次留作业，第一层巩固所学新知识，设置。 次要求所有学生都要完成，加深对新第二层次要求学有余力的同知识的理解。能在学完成。 作业中发现和弥补教学中的不足。 、分层作业 巩固型作业：（必做题） 0 习题7.6 5，6 思维拓展型作业：（选作题） 十一、板书设计 一、复习引入：把圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2展开： 二、新课讲解 课题：圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方：D2E2D2E24F(x)(y) 224提出概念：圆的一般方程的定义 三、例题精讲 例1、 例2 四、反馈练习 五、课堂小结 （1）知识性小结 （2）方法性小结 六、课后作业 归纳总结：当D2+E2-4F＞0时， 当D2+E2-4F = 0时， 当D2+E2-4F＜0时，