相似模型在中考题中的应用
相似模型(一)
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，点B、C、D在同一直线上，则△ABC∽△CDE．
(1)直接应用
例1 如图2，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM＝_______cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_______cm2．
(2)构造应用
几何综合性问题通常是由若干个基本图形组合而成，若能熟练掌握基本图形，添加适当的辅助线，则水到渠成．
例2 如图3，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC>AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是_______． 分析 如图4，连结DE，由折叠可知，∠EDC＝∠B＝90°．
∵∠A＝90°，利用相似模型(一)，则想到过点C作CH⊥AD
交AD的延长线于点H，易证：△AED~△HDC，四边形ABCH为矩形．
常规解法 如图5，连结DE，由折叠问题想到利用勾股定理．
第 1 页 共 4 页
要求tan ∠BCE，需要求BC的长，由直角 梯形常用辅助线想到作高．作DH上BC，垂足 为日，设BC＝y，则DC＝y，易证四边形ABHD 是矩形，DH＝AB＝4，HC＝y－2．放到 Rt△DHC中，利用勾股定理，算出y＝5，即 BC＝5．
∴tan∠BCE＝
1． 2 显然，常规解法要繁得多，若能掌握基本图形的性质，灵活运用基本图形，将大大帮助学生提高解题效率．
注 本题也可连结BD，利用直角三角形斜边上的高这个基本图形，证∠BCE＝∠ABD，∴tan ∠BCE＝tan ∠ABD＝
AD21． AB42 相似模型(二)
如图6，若相似模型(一)中具备条件AC＝CE，则可证得△ABC≌△CDE，此为相似模型(一)的特例，不妨称之为相似模型(二)．
例3 如图7，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是_______平方单位．
分析 此题答案许多学生都误填9，系因考虑问题不全面而导致错误．若能想到相似模型(二)，把正方形ABCD斜过来放，问题便迎刃而解．
第 2 页 共 4 页
正确解法：如图8，正方形边长为3，显然正方形ABCD的面积为9；如图9，分别过B点、D点向l4作垂线段，垂足分别为M、N，运用相似模型(二)，易证△BMC≌△CND， ∴CN＝BM＝1．
∵DN＝2，∴DC＝5，∴正方形ABCD的面积为5．综上所述，正方形面积为5或9．
相似模型(三)
若将相似模型(一)一般化，可以得到如下相似模型(三)：
如图10，已知点B、C、D在同一直线上，且∠B＝∠1＝∠D，则△ABC∽△CDE，证明方法与相似模型(一)相同．
例4 如图11所示，直线y＝－
3x＋b与x轴相交于点A(4，0)，与y轴相交于点B，4将AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．
(1)求点C的坐标；(2)设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连结PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM＝∠BAC． ①求证：△PBC∽△MPA；
②是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)C(4，0)；
(2)由AOB沿y轴折叠，则∠BCO＝∠BAC．
∵∠BPM＝∠BAC，
∴∠BCO＝∠BPM＝∠BAC，则构造了相似模型(三)，易证△PBC∽△MPA； (3)略．
实践表明，认识和掌握基本图形的特征和相关结论，可以使复杂的问题简洁化、生疏的问题熟悉化；有助于学生思维的激活，能激发学生学习数学的兴趣，提高分析问题、解决问题的能力．
第 3 页 共 4 页
第 4 页 共 4 页
