实验 应用FFT对信号进行频谱分析
一、实验目的
1、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写。
2、熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。 3、了解应用FFT进行新红啊频谱分析过程中可呢个出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。
二、实验原理
一个连续信号xa(t)的频谱可以用它的傅里叶变换表示为：
Xa(j)xa(t)ejtdt （2-1）
如果对信号进行理想采样，可以得到离散傅里叶变换：
X(e)x(n)zn （2-2）
j在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的。无限长的序列往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅里叶变换（DFT），这一序列可以很好的反应序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N时，我们定义离散傅里叶变换为：
kn （2-3） X(k)DFT[x(n)]x(n)WNn0N1DFT是对序列傅里叶变换的灯具采样，因此可以用于序列的频谱分析。在利用DFT进行
频谱分析的时候可能有三种误差： （1）混叠现象
序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是2/T，因此当采样频率不满足奈奎斯特定理，即采样频率fs1/T小于两倍的信号频率时，经过采样就会发生频谱混叠。这导致采样后的信号序列不能真实的反映原信号的频谱。 （2）泄漏现象
泄漏是不能和混叠完全分开的，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混淆。为了减小混淆的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。 （3）栅栏效应
因为DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续的函数。这样就产生了栅栏效应。减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从而变动DFT的点数。
三、实验内容和结果
1、观察高斯序列的时域和频域特性
（1）固定高斯序列xa(n)中的参数p=8，当q为2，4，8时其时域和幅频特性分别如图2.1，图2.2所示：
p=8,q=2 信号序列10.5010.5010.500246810121416p=8,q=4 信号序列0246810121416p=8,q=8 信号序列0246810121416
图2.1
p=8,q=2 幅频特性105050246810121416p=8,q=4 幅频特性04200246810121416p=8,q=8 幅频特性0246810121416
图2.2
从图2.1和图2.2可以看出，随着q值的增大，信号序列出现明显的泄漏现象。对于幅频特性，随着q值的增大，其幅值有所减小。
（2）当固定参数p=8,改变q，使q分别为8，13，14时，其相应的信号序列分别为图2.3和图2.4所示：
p=8,q=8 信号序列10.5010.5010.500246810121416p=13,q=8 信号序列0246810121416p=14,q=8 信号序列0246810121416
图2.3
p=8,q=8 幅频特性105050246810121416p=13,q=8 幅频特性04200246810121416p=14,q=8 幅频特性0246810121416
图2.4
从图2.3和图2.4可以看出，当p值增大的时候，其信号序列也出现泄漏现象，当p=13时，泄漏现象开始明显。
2、观察衰减正弦序列的时域和幅频特性
（1）当a=0.1,f=0.0625时，衰减正弦序列的时域和幅频特性如图2.5所示：
a=0.1; f=0.0625 信号序列10.50-0.50102030405060a=0.1; f=0.0625 幅频特性200102030405060
图2.5
（2）当a=0.1,f=0.0.5625时，衰减正弦序列的时域和幅频特性如图2.6所示：
a=0.1; f=0.4375 信号序列10.50-0.5-10102030405060a=0.1; f=0.4375 幅频特性200102030405060
图2.6
（3）当a=0.1,f=0.0.4375时，衰减正弦序列的时域和幅频特性如图2.7所示：
a=0.1; f=0.5625 信号序列10.50-0.5-10102030405060a=0.1; f=0.5625 幅频特性200102030405060
图2.7
从图2.5，图2.6和图2.7的比较得知，当f=0.4375和f=0.5625时，频谱出现了明显的泄漏现象，并且信号序列也出以包络的形式出现。出现这一现象的主要原因是频率的增大引起的。
3、观察三角波序列和反三角波序列的时域和幅频特性
（1）利用8点FFT分析三角波和反三角波的时域和频域幅频特性，如图2.8，图2.9所示：
三角波序列43210123456788点FFT 幅频特性2015105012345678
图2.8
反三角波序列43210123456788点FFT 幅频特性2015105012345678
图2.9
从图2.8和图2.9 可以看出，三角波和反三角波序列恰好相反，且其频谱是一样的。
（1）利用16点FFT分析三角波和反三角波的时域和频域幅频特性，如图2.10，图2.11所示：
三角波序列43210024681012141616点FFT 幅频特性201510500246810121416
图2.10
反三角波序列43210024681012141616点FFT 幅频特性201510500246810121416
图2.11
对比图2.10和图2.11可以看出，对于16点时，三角波和反三角波的频谱明显不一样。和前面8点时的相比，其频谱也出现了较大出入，而正三角波的频谱变化不明显。
四、程序清单 n=0:15;
p=8;q=8;x1=exp(-1*(n-p).^2/q); p=13;q=8;x2=exp(-1*(n-p).^2/q); p=14;q=8;x3=exp(-1*(n-p).^2/q); figure(1)
subplot(3,1,1);stem(x1) title('p=8,q=8 信号序列'); subplot(3,1,2);stem(x2); title('p=13,q=8 信号序列'); subplot(3,1,3);stem(x3); title('p=14,q=8 信号序列'); figure(2)
subplot(3,1,1);stem(abs(fft(x1))) title('p=8,q=8 幅频特性'); subplot(3,1,2);stem(abs(fft(x2))); title('p=13,q=8 幅频特性'); subplot(3,1,3);stem(abs(fft(x3))); title('p=14,q=8 幅频特性');
x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n); subplot(2,1,1); stem(x); title('a=0.1; f=0.5625 信号序列') subplot(2,1,2); stem(abs(fft(x))) title('a=0.1; f=0.5625 幅频特性')
clc; clear all;
%%%%%%%%%%%%%%%%%三角序列 for i=1:4 %设置信号前4 个点的数值 xc(i)=i; end
for i=5:8 %设置信号后4 个点的数值 xc(i)=9-i; end for i=9:16 xc(i)=0; end figure(1)
subplot(2,1,1); stem(xc); %绘制信号图形 title('三角波序列')
subplot(2,1,2); stem(abs(fft(xc,8))) %绘制信号的频谱
clc; clear all;
n=0:50; %定义序列的长度是15 a=0.1; f=0.5625;
title('16点FFT 幅频特性')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%反三角序列
for i=1:4 %设置信号前4 个点的数值 xd(i)=5-i; %注意：MATLAB 中数组下标从1 开始 end
for i=5:8 %设置信号后4 个点的数值
xd(i)=i-4; end for i=9:16 xd(i)=0; end figure(2)
subplot(2,1,1); stem(xd); %绘制信号图形 title('反三角波序列')
subplot(2,1,2); stem(abs(fft(xd,8))) %绘制信号的频谱
title('16点FFT 幅频特性')
