易知，在解释R下，（1），（2）为假；，（3）（4）为真。2．7 给定解释I为：个体域D=N（自然数集合），F(x):x为奇数，G(x):x为偶数。
（1）在解释I下，公式被解释为
“如果所有的自然数不是奇数就是偶数，则所有自然数全为奇数，或所有自然数全为偶数。”因为蕴含式的前件为真，后件为假，所以真值为假。
（2）在I下，公式解释为
“如果存在着自然数为奇数，并且存在着自然为偶数，则存在着自然数既是奇数，又是偶数。”
由于蕴含式的前件为真，后件为假，后以真值为假。
分析 本题说明全称量词对析取不满足分配律，存在量词对合取不满足分配律。
2.8 令A=∀x∀y(F(x)∧G(y)→L(x,y)),在A中，无自由出现的个体变项，所以A为闭式。
给定解释I1：个体域 D=N（整数集合），F(x):x为正数，G(x):x为负数，L(x,y):x>y，在I1下，A的含义为
31
“对于任意的整数x和y，如果x为正整数，y为负整数，则x>y。”
这是真命题。
设解释I2：个体域D=R（R整数集合），F(x):x为有理数，G(y):y为无理数，L(x,y):x≤y，在I2下，A的含义为
“对于任意的实数x和y，如果x为有理数，y为元理数，则x≥y。”
这是假命题。
分析 闭式在任何解释下不是真就是假，不可能给出解释I, 使得闭式在I下真值不确定，这一点是闭式的一个重要特征。而非封闭的公式就没有这个特征。
2.9 取A1=L(f(x,y),g(x,y))和A2=∀x(f(x,y),x)，则A1和A2都是非土产的公式，在A1中，x, y都是自由出现的，在A2中，y是自出现的。
取 解 释 I 为 ， 个 体 域 D=N （ N 为 自 然 数 集 合 ），f(x,y,)=x+y,g(x,y)=x⋅yL(x,y)为x=y。在 I下，A1为x+y=x⋅y为假，所以在I下，A1真值不确定，即在I下A2的真值也是命题。
在I下，A2为∀x(x+y=x),当y=0时，它为真；y≠0时为假，在I下A2的真值也不确定。
分析 非闭式与 闭式的显著区别是，前者可能在某些解释下，真值不确定，而后者对于任何解释真值都确定，即不是真就是假。
当然非闭式也可以是逻辑有效式（如F(x)→F(x)），也可能为矛盾式（如F(x)∧¬F(x))，也可能不存在其值不确定的解释。
2．10 （1）
¬∀xA(x)⇔¬(A(a)∧A(b)∧A(c)) （消去量词等值式）
⇔¬A(a)∨¬A(b)∨¬A(c) （德·摩根律）
⇔∃x¬A(x) （消去量词等值式）
（2）
¬∃xA(x)⇔¬(A(a)∨A(b)∨A(c)) （消去量词等值式）
32
⇔¬A(a)∧¬A(b)∧¬A(c) （德·摩根律）
⇔∃x¬A(x) （消去量词等值式）
2．11 （1） 令F(x):x为人。
G(x):x长着绿色头发。
本命题直接符号化验为
¬∃x(F(x)∧G(x))]
而 ¬∃x(F(x)∧G(x))
⇔∀x¬(F(x)∧G(x)) （量词否定等值式）
⇔∀x(¬F(x)∨¬G(x)) （德·摩根律）
⇔∀x(F(x)→¬G(x)) （蕴含等值式）
最后一步得到的公式满足要求（使用全称量词），将它翻译成自然语言，即为
“所有的人都不长绿色头发”。
可见得“没有人长着绿色头发。”与“所有人都不长绿色头发。”是同一命题的两种不同的叙述方法。
（2）令F(x):x是北京人
G(x):x去过香山。
命题直接符号化为
∃x(F(x)∧¬G(x))]
而 ∃x(F(x)∧¬G(x))
⇔¬¬∃x(F(x)∧¬G(x)) （双重否定律）
⇔¬∀x¬(F(x)∧¬G(x)) （理词否定等值式）
⇔¬∀x(¬F(x)∨G(x)) （德·摩根律）
⇔¬∀x(F(x)→G(x))（蕴含等值式）
33
最后得到的公式满足要求（只含全称量词），将它翻译成自然语言，即为
“并不是北京人都去过香山。”
可见，“有的北京人没过过香山。”与“并不是北京人都去过香山。”是同一命题不同的叙述方法。
2.12 （1） ∀xF(x)→∃yG(y)
⇔(F(a)∧F(b)∧F(c)→(G(b)∨G(c)).
（2） ∀xF(x)∧∃yG(y)
⇔∀xF(x)∧∃yG(y) （量词辖域收缩扩张等值式）
⇔(F(a)∧F(b)∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨(c)).
（3） ∃x∀yH(x,y)
⇔∃x(H(x,a)∧H(x,b)∧H(x,c)
⇔(H(a,a)∧H(a,b)∧H(x,c)
∨(H(b,a)∧H(b,b)∧H(b,c)
∨(H(c,a)∧H(c,b)∧H(c,c)
分析 在有穷个体域内消去量词时，应将量词的辖域尽量缩小，例如，在（2）中，首先将量词辖域缩小了（因为∃yG(y)中不含x，所以，可以缩小）。否则，演算是相当麻烦的。见下面的演算：
∀x(F(x)∧∃yG(y)
⇔(F(a)∧∃yG(y))∧(F(b)∧∃yG(y))∧F(c)∧∃yG(y))
⇔(F(a)∧(G(a)∨G(b)∨G(c)
∧(F(b)∧(G(a)∨G(c))
∧(F(c)∧(G(a)∨G(b)∨G(c))
⇔(F(a)∧(F(b)∧(G(a)∨G(b)∨(c)).
显然这个演算比原来的喾算麻烦多了。
34
2.13 在I下
（1）∀x(F(x)∧G(x))
⇔(F(−2)∧G(−2))∧(F(3)∧G(3))∧F(6)∧G(6))
⇔(1∧0)∧(1∧0)∧(0∧1)⇔0,
所以，∀x(F(x)∧G(x)在I下为假。
（2）∀x(R(x)→F(x))∨G(5)
⇔((R(−2)→F(−2))∧(R(3)→F(3))∧(R(6)→F(6)))∨0⇔((1→1)∧(1→1)⇔0,
所以，此公式在I下也是假命题。
（3）∃x(F(x)∨G(x))
⇔∃xF(x)∨∃xG(x) （量词分配等值式）
⇔(F−( 2)∨F(3)∨F(6))∨(G−( 2)∨G(3)∨G(3)
⇔(1∨1∨0)∨(0∨0∨1)⇔1,
所以，此公式在I下为真
2．14 （1）
¬∃xF(x)→∀yG(x,y)
⇔∀x¬F(x)→∀yG(x,y) （量词否定等值式）
⇔∀z¬F(z)→∀yG(x,y) （约束变项换名规则）⇔∃z∀y(¬F(z)→G(x,y)（量词辖域收缩扩张等值式）⇔∃z∀y(F(z)∨G(x,y)
（2）
¬(∀xF(x,y)∨∃yG(x,y))
⇔∃x¬F(x,y)∧∀y¬G(x,y)
35
⇔∃z1¬F(z1,y)∧∀z2¬G(x,z2)
⇔∃z1∀z2(¬F(z1,y)∧¬G(x,z2)
在以上演算中分别使用了德·摩根律、量词否定等值式、约束变项换名规则等。
分析 公式的前束范式是不唯一的。（1）中最后两步都是前束范式，其实∀y∃z(F(z)
∨G(x,y))也是（1）中公式的前束范式。
2．15 （1）
∀xF(x)∨∃yG(x,y)
⇔∀xF(x)∨∃yG(z,y)
⇔∀x∃y(F(x)∨G(z,y))
（2）
∃x(F(x)∧∀yG(x,y,z))→∃zH(x,y,z)
⇔∃x(F(x)∧∀yG(x,y,u))→∃zH(v,ϖ,z)
⇔∃x∀y(F(x)∧G(x,y,u))→∃zH(vϖ, ,z)
⇔∀x∃y(F(x)∧G(x,y,u))→H(vϖ, ,z)
在以上演算中分别使用了自由变项换名规则和量词辖域收缩扩张等值式。
2.16 （1）②错。使用UI，UG，EI，EG规则应对前束范式，而①中公式下不是前束范式，所以，不能使用UI规则。
（2）。①中公式为∀xA(x)，这时，A(x)=F(x)∨G(x)，因而使用UI规则时，应得A(a)（或A(y)），故应有F(a)∨G(a),而不可能为F(a)∨G(b).
（3）②错。应对A(c)=F(c)→G(c)使用EG规则，其中c为特定的使A为真的个体常项，而不能为个体变项。
（4）②错。①中公式含个体变项x，不能使用EG规则。
（5）②错。①公式含两个个体常项，不能使用EG规则。
36
（6）⑤错。对①使用EI规则得F(c)∧G(c)，此c应使F(c)∧G(c)为真，此c不一定使H(c)∧R(c)为真。
分析 由于⑤的错误，可能由真前提，推出假结论。反例如下：
设个体域为自然数集合N.F(x):x为偶数，G(x):x为素数，H(x):x能被 3整除，R(x):x能被4整数，显然此时，
∃x(F(x)∧G(x))与∃x(H(x)∧R(x))
均为真，但∃x(F(x)∧G(x))为假。其实在（6）中，③应为F(2)∧G(2)，它是真命题，而H(2)∧R(2)为假命题。对∃x(H(x)∧R(x))使用 EI 规则，得H(12)∧R(12)才为真。所以，对两个公式使用EI规则使用同一个个体常项是会犯错误的。
2.17
（1）证明
①∃xF(x)→∀y((F(y)∨G(y))→R(y)前提引入
② ∃xF(x) 前提引入
③∀y((F(y)∨G(y))→R(y))①② 假言推理
④F(c) ②EI
⑤F(c)∨G(c) ④附加
⑥F(c)∨G(c))→R(c) ③UI
⑦R(c) ⑤⑥假言推理
⑧∃xR(x) ⑦ EG
（2）证明：
①∃xF(x) 前提引入
② F(c)①EI
37
③∀x(F(x)→(G(y)∧R(x)))前提引入④F(c)→(G(y)∧R(c)) ③UI
⑤G(y)∧R(c) ②④假言推理⑥R(c)⑤化简⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取⑧∃x(F(x)∧R(x)) ⑦ EG
2．18 令F(x):x是大熊猎。
G(x):x产在中国。
a:欢欢
前提：∀x(F(x)→(G(x)),F(a)
结论：G(a)
证明：
①∀x(F(x)→G(x))前提引入② F(a) 前提引入③F(a)→G(a) ①UI
④G(a)②③假言推理2．19令F(x):x为有理数。
G(x):x为实数。
H(x):x为整数。
前提：∀x(F(x)→G(x)),∃xF(x)∧H(x)).
结论：∃x(G(x)∧H(x)).
证明：
①∃xF(x)→∀y((F(y)∨G(y))→R(y)前提引入
38
② ∃xF(x) 前提引入
③∀y((F(y)∨G(y))→R(y))①② 假言推理
④F(c) ②EI
⑤F(c)∨G(c) ④附加
⑥F(c)∨G(c))→R(c) ③UI
⑦R(c) ⑤⑥假言推理
⑧∃xR(x) ⑦ EG
（2）证明：
①∃xF(x)∧H(x)前提引入
② F(c)∧H(c) ①EI
③∀x(F(x)→G(x)前提引入
④F(c)→G(c)③UI
⑤F(c) ②化简
⑥G(c)④⑤假言推理
⑦H(c) ②化简
⑧G(c)∧H(c)⑥与⑦合取
⑨ ∃x(G(x)∧H(x)) ⑧EG
分析 在以上证明中，不能如下进行。
①∃x(F(x)∧H(x) 前提引入
② ∀x(F(x)→G(x))前提引入
③F(c)→G(c)②UI
④F(c)∧H(c)①EI
至此，可能犯了错误，在③中取c= 2,则F( 2)→G( 2)为真，但
39
E( 2)∧H( 2)为假，就是说，由UI规则得到的c不一定满足EI规则，但反之为真，这一点务必注意。
2.20 答案 A：③； B：②
分析 （7）式为非闭式，在个体域为整数集Z时，∀x(x·y=x)的真值不能确定，当y=1时为真，当y≠1时为假，所以，它不是命题，其余各式都是命题。（5）虽然不是闭式，但它为真。
2．21 答案 A：②； B：④，⑤，⑨ C：⑦； D：⑧
分析 注意约束变项和自由变项改名规则的使用。供选答案中，（1）的前束范式只有一个，就是②。而②的前束范式有3个，当然它们都是等值的。（3）的前束范式有 2 个，就是⑦和⑧。注意，在（3）式中，∀x的辖域为(F(x,y)→∀yG(x,y))，这就决定了它们的前束范式为
∀x∀y(F(x,z)→G(x,y))，（将自由出现的y改名为z）
但由于
∀y∀x(F(x,z)→G(x,y))
⇔∀x∀y(F(x,z)→G(x,y))
所以，⑧也是（3）的前束范式。
2．22 答案 A：⑤。
分析 （1），（4）正确；可以构造证明。
（1）证明：
①∃yF(y)前提引入
② F(c) ①EI
③∀x(F(x)→G(x)前提引入
④F(c)→G(c)③UI
⑤F(c) ②④假言推理
⑥∃yG(y)⑤EG
40
注意应先使用EI规则。
（4）证明：
①∀x(F(x)→H(x)) 前提引入
② F(y)→H(y) ①UI
③¬H(y) 前提引入
④¬F(y) ②③拒取式
⑤∀x(¬F(x) ④UG
(2),(3)推理不正确,只要举出反例即可.
在自然数集合中,令F(x):x是偶数, G(x):x是素数,则∃x(F(x)∧G(x))为真命题,而∀yF(y)为假命题,所以, ∃x(F(x)∧G(x))→ ∀yF(y)不是逻辑有效蕴含式,这说明(2)是推理不正确,读
者可举反例说明(3)中推理也不正确.
2.23 答案A: ② B:① C: ⑦ D:⑤
