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思路・方法’ 《 穗数》ｕ．Ｊ ．Ｉ／／学思想 露 李庆社 同学们在《有理数》一章的学习中，不仅要掌握数学知识和数学方法，同 时也不能忽视蕴含于其中的数学思想． 一、分类讨论的思想 根据问题的特点和要求，按照一定的标准，把所要研究和解决的问题分 为几种情况或几个部分，然后再逐一进行研究和解决的一种数学思想叫做分 类讨论思想．在《有理数》中，有理数加法法则和乘法法则就是运用这种思想 总结出来的．这两个法则都是分两数同号、两数异号、两数中至少有一个是零 三种情况进行探求的． 例１比较大小 ①２ｎ和３ｎ；②ｌａｌ＋ｌｂｌ和ｌａ＋ｂ１． 解：①当ａ＞Ｏ时，２ａ＜３ａ；当ａ＝Ｏ时，２ａ＝３ａ；当ａ＜Ｏ时，２ａ＞３ａ． ②当ｎ、ｂ同号时，ｌａｌ＋ｌｂＩ＝ｌａ＋ｂｌ；当０、ｂ异号时，ｌａｌ＋ｌｂＩ＞ｌａ＋ｂｌ；当ａ，ｂ中至少 有一个是零时，ｌａｌ＋ｌｂＩ＝ｌａ＋ｂ１．故ｌａｌ＋ｌｂｌ≥ｌａ＋ｂ１． 例２化简Ｉｘ一１１． 解：当 ≥１时，Ｉｘ一１Ｉ＝ｘ一１；当ｘ＜ｌ时，Ｉｘ一１１＝一（ 一１）＝ｌ－ｘ． 运用分类讨论思想解有关问题之所以有效，首先是化整为零，化大为小， 使得每个小问题都变得容易；其次是分类标准本身提供了一个条件．应该 注意的是，分类必须遵循两条原则：①分类标准必须统一；②既不重复也 不遗漏． 维普资讯 http://www.cqvip.com
・思路・方法 例３五个有理数ａ，ｂ、ｃ、ｄ、ｅ满足Ｉ ｃ Ｉ＝一ａｂｃｄｅ， 试求ｓ：ｌ（ ＋ ａ Ｄ ＋Ｉ ＋ ｃ Ⅱ ＋ ｅ 的最大值． 解由题设条件知，ａｂｃｄｅ＜Ｏ，而Ⅱ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ满足ａｂｃｄｅ＜０仅有三种情 况：①二正三负；②四正一负；③五负．又因为对于任意非零有理数ａ，有 ｆ１（Ⅱ＞０） ａ ｌ一１（ ０）， 故Ｓ的最大值是在四正一负时取得，即Ｓ＝４—１＝３． 二、数形结合的思想 利用数量关系来研究图形性质，利用图形性质来研究数量关系，即借助 数与形的相互转化来研究和解决问题的一种数学思想叫做数形结合思想．在 《有理数》中，数轴的引入使得数与形（直线上的点）联系起来了．本章中体现这 种思想的地方还很多．如利用数轴来说明相反数和绝对值的意义，从而使我 们对相反数和绝对值有更深刻、更本质的认识；又如有理数大小比较的方 法，有理数加法法则和乘法法则等都是结合数轴归纳总结出来的． 例４若ａ＞Ｏ，ｂ＜Ｏ，且ａ＋ｂ＜Ｏ，则ａ、一。、ｂ、一ｂ从小到大的顺序是——． 分析：若由已知条件直接从“数”的关系上入手，则较为困难；若由已知 条件借助于“形”（数轴）来解决，则极为简便． 解：由已知可得ｌａｌ＜ｌｂｌ，故Ⅱ、一Ⅱ、ｂ、一ｂ在数轴上可表示为 ｂ —ａ ０ ａ －ｂ 于是，它们从小到大的顺序是６＜一 一ｂ． 例５已知ａ＜Ｏ＜ｅ，ａｂ＞Ｏ，Ｉｂｌ＞ｌｃｌ＞ｌａｌ，化简ｌａ＋ｃｌ＋ｌｂ＋ｃｌ—ｌａ—ｂ１． 解分析这个题目的关键是确定ａ＋ｃ、ｂ＋ｃ、ｎ—ｂ的符号，根据已知可在数 轴上标出ａ、ｂ、Ｃ的大致位置，如图所示： ６ ａ ０ 维普资讯 http://www.cqvip.com
思路・方法・ 很容易确定ａ＋ｃ＞０，ｂ＋ｃ＜０，ｎ—ｂ＞０，由绝对值的概念，原式＝（ｎ＋ｃ）一（６＋ｃ）一 ｆｎ—ｂ）＝ａ＋ｃ－ｂ—ｃ—ａ＋ｂ＝０． 用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的 绝对值，这里运用了数形结合的思想． 三、逆向思考的思想 采用与传统和习惯相反的方法来思考问题，从而找到解题途径的一种数 学思想叫做逆向探求思想．学习数学只会顺向思考问题，顺向使用公式、法则 等是远远不够的，还要善于逆向思考问题，逆向使用公式、法则等．如在《有理 数》中所学的乘法分配律，我们既要重视其顺向运用，又要注意其逆向应用， 例６计算下列各题： ①２５ ３＋２５ １—２５ １ ②３ ×（一砉）＋２２÷７ ７一 ２． 分析：￣ｌ －－４３ １一 １：１而逆用分配律题①可获巧解；稍作变形后逆 ，用分配律，题②可获简解． 解：①原式＝２５（４３ １一 １）＝２５； ②原式一 ×蚤＋寺×手一 ２＝ ２ １一＿８７—１）＝ ２×（一２）＝一 ． 例７计算： （１）（２｝一鲁＋ ）×（一１Ｌ７） （２）一７×（一４）＋１３×（４一）一６×（４一） 分析：对于乘法分配律ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ有两种运用方法，一种是顺用公式， 如上题中的（１），另一种是逆用公式，如上题中的（２），在做题时，应具体问题 具体分析．解略． 维普资讯 http://www.cqvip.com
。思路・方法 四、整体代换的思想 例８若ｌａ－２ｔ＝２一ａ，求ａ的取值范围． 分析：根据已知条件等式的结构特征，我们把ｎ一２看作一个整体，那么 原式变形为ｌａ一２１＝一（ｎ一２），又由绝对值概念知ｎ一２≤０，故ａ的取值范围是 ｒ上≤２． 五、特殊化的数学方法 有些数学题目，直接解原题时感到难以人手，可以先考察它的某些简单 特例，而后达到解决原题的目的，这种思考问题的过程，称为“特殊化”方法． 例９已知ａ、ｂ是有理数，且ａｂ＜Ｏ，试比较ｌａ＋ｂＩ，ｌａ—ｂＩ，ｌａｌ＋ｌｂＩ，Ｉｌａｌ—ＩｂＩＩ的 大小． 解根据已知ａｂ＜Ｏ，不妨取 １，６＝一１，这样有Ｉ叶６Ｉ＝０，ｌａ—ｂ１＝２，ｌａｌ＋ｌｂｌ＝２， Ｉｌａｌ—Ｉｂｌｌ＝Ｏ， 。．．１ａ＋ｂｌ＝ｌｌａｌ—Ｉｂ ＩＩ＜ｌａ－ｂｌ＝ｌａｌ＋ｌｂ１． 六、化归转化思想 将所要研究和解决的新问题变为已经学过的老问题来处理的一种数 学思想叫做化归转化思想，它是研究和解决数学问题的核心思想．前面三种 思想就其本质而言也是化归转化．通过化归，陌生的问题可转化为熟悉的问 题，抽象的问题可转化为具体的问题，复杂的问题可转化为简单的问题．在 《有理数》中处处都体现着这种思想．如在有理数加法的基础上，利用相反数 的概念化归出减法法则——减去一个数等于加上这个数的相反数，从而使 加、减法得到统一；又如在有理数乘法的基础上，利用倒数的概念化归出除 法法则——除以一个数等于乘以这个数的倒数，从而使乘、除法得到统一； 再如利用绝对值的概念将有理数运算化归为算术数运算等．化归转化思想 是解决新问题、获得新知识的重要数学思想． 数学技能的掌握靠反复训练，数学思想的掌握靠深刻领悟，愿本文对同 学们感受和领悟数学思想有一定的帮助作用！圈
