二次函数基础考点培优

 初三数学培优卷：二次函数考点分析培优 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点． 3、 下列函数中,哪些是二次函数? (1)yx2 1 (2)y x2★★★二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为： 一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式； 顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式； 交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式； ★★★★对于y=ax2+bx+c而言， 其顶点坐标为（－b4ac2a，b24a）． 对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k） ★★★★★a b c作用分析 │a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，│a│越小，开口越大， a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－b2a<0，即对称轴在y轴左侧，当a，b•异号时，对称轴x=－b2a>0，即对称轴在y轴右侧，（左同右异） c•的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． １. 二次函数解析式及定义型问题 1、 若把二次函数y3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ） 22（A）y3x21 （B） y3x21 2（C） y3x21 （D）y3x221 132、 若A（4，y511），B（4，y2），C（4，y3）为二次函数yx24x5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1y2y3 B．y2y1y3 C．y3y1y2 D．y1y3y2 (3)yx(1x) (4)y(x1)2x24、 如果函数y(k3)xk23k2kx1是二次函数,则k的值一定是______ 补４函数y(a5)xa24a52x1, 当a___________时, 它是一次函数; 当a__________时, 它是二次函数. ２. 二次函数图象与性质问题 5、 已知y=ax2+bx+c的图象如下， 则：a______0 b______0 c______0 a+b+c_______0， a-b+c__________0。2a+b________0 b2-4ac________0 4a+2b+c 0 6、 二次函数yax2bxca≠0的图象如图所示． 有下列结论：①b24ac0； y ②ab0； 2③abc0；④4ab0； ⑤当y2时，x等于0． 0 2 5 x 其中正确的是（ ） 7、 （天津市）已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列5个结论：① abc0；② bac；③ 4a2bc0；④ 2c3b；⑤ abm(amb)，（m1的实数）其中正确的结论有（ ）。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8、 小明从右边的二次函数yax2bxc图象中，观察得出了下面的五条信息：①ay0，②c0，③函数的最小值为3，④当x0时，y0，⑤当0x1x22时，y1y2．你认为其中正确的个数为（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 0 2 x 3 1

9、 直已知y=ax+bx+c中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象过 象限。 10、 在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxb和二次函数yaxbx的图象可能为（ ） yyyy xOOxOOxx2222Ａ b4ac ＞0 Ｂb4ac＝０ 22Ｃb4ac＜０ Ｄb4ac≤０ 2yx2xa的顶点在x轴的下方，则a19、 若抛物线的取值范围是（ ） Ａ．a1 Ｂ．a1 ＡＢＣＤ 11、 当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（ ） 12、 二次函数yax2bxc的图象如图所示，则直线ybxc的图象不经过（ ） Ａ．第一象限 yＢ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 O x13、 抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则 （ ） （A） ac+1=b y （B） ab+1=c （C）bc+1=a C （D）以上都不是 A O x 14、 若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是 ( ) （A）01 (C) 126、 y= ax2+bx+c图象与x轴交于A、B与y轴交于C，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 27、 抛物线y= (k2-2)x2+m-4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= -12+2上，求函数解析式。 28、 如图: 二次函数yax2bx6的图象经过A、B、C三点, 且OA = OC、AB= 4. (1) 求: 二次函数解析式 (2) 若直线ykxm经过点C'(点C'关于二次函数 的对称轴与点C对称) 和抛物线的顶点, 求: 直线解 析式 29、 若函数y5x3的图像沿着y轴向上平移2个单位后，求所得的函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积。 ５. 二次函数极值问题 30、 二次函数yax2bxc中，b2ac，且x0时y4，则（ ） A．y最大4 B．y最小4 C．y最大3 D．y最小3 31、 已知二次函数y(x1)2(x3)2 ，当x＝_________时，函数达到最小值。 32、 二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ ） （A）12 （B）11 （C）10 （D）9

33、 （2008年潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ） A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值 34、 若二次函数ya(xh)2k的值恒为正值, 则 _____. A. a0,k0 B. a0,h0 C. a0,k0 D. a0,k0 ６. 中考题展望 35．（2009年呼和浩特、10分）某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件． （1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围） （2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？ （3）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 36．有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米； (1)在如图的坐标系中，求抛物线的表达式。 (2)若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？(水位以每小时0.2米的速度上升) y Ox C D A 3

答案 补４. -2或5、-1或-3 ３０. y1x224x6、y2x10 ７. 解析：此题考查了考点1、2、3、4、5。 ①错误。因为：开口向下a＜0;对称轴x=b2a=1，可以得出b＞0; x=0时,y=c＞0，故abc＜0。②错误。因为：由图知x=－1时，y=a－b+c＜0，即b＞a+c。③正确。因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y值相等，由x=0时，y＞0，知x=2时，y=4a+2b+c＞0。④正确。因为：由对称轴x=b2a=1，可以得出a =－0.5 b，代入前面已经证出b＞a+c，得出1.5b＞c,即3b＞2c。⑤正确。因为：抛物线开口向下，故顶点处y值最大，即x =1，y= a+b+c最大，此时a+b+c＞am2+bm+c（m1），即abm(amb)，（m1）。答案：B。 ２１. 【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，•即顶点的纵坐标为正；（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值． 【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>0，∴开口向上， 又∵y=x2－x+m=[x2－x+（12）2]－ 114+m=（x－2）2+4m14 ∴对称轴是直线x=114m12，顶点坐标为（2，4）． （2）∵顶点在x轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即4m14>0 ∴m>14 ∴m>14时，顶点在x轴上方． （3）令x=0，则y=m． 即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）． ∵AB∥x轴 ∴B点的纵坐标为m． 当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1． ∴A（0，m），B（1，m） 在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│． ∵S1△AOB =2OA·AB=4． ∴12│m│·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x2－x+8或y=x2－x－8． ４１. 解：（1）500件和400件； （2）①设这个函数关系为y= kx+b ∵这个一次函数的图象经过（30，500）、（40，400）这两点， ∴50030kb40040kb 解得k10b800 ∴函数关系式是：y=－10x+800 ②设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得 W=（x－20）（－10x+800） =－10（x－50）2+9000 ∵－10＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线. 其对称轴为x=50，又20解：(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)， (3)S存在最大值 1当时，， 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小， ∴， ∴ 当点A´在线段AB上时，∵，TA=TA´， ∴△A´TA是等边三角形，且， ∴，， ∴， 当A´与B重合时，AT=AB=， 所以此时。 (2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)， 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0) 又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。 ∴当t=6时，S的值最大是。 2当时，由图1，重叠部分的面积 ∵△A´EB的高是， ∴ 当t=2时，S的值最大是； 3当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图2，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)， ∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4， ∴ 综上所述，S的最大值是，此时t的值是。 48．解：（1）设AB的函数表达式为 ∵∴∴ ∴直线AB的函数表达式为B ． （2）设抛物线的对称轴与⊙ M相交于一点，依题意知这一E 点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中， 因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M5

的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）． 设所求的抛物线为 0 ) 2∴PN＝｜m｜ ,MP＝| m－2m－4 | ∵∴MN＝PN＋MP＝ (3)作BC⊥MN于点C ，则BC＝4－m ，OP＝m =则 =∵－2＜0 ∴所求抛物线为（3）令 得D、E两点的坐标为D（-6，∴当时，Ｓ有最大值 0）、E（-2，0），所以DE=4． 又AC=直角三角形的面积 50． 解：（1）依题意可知，折痕轴， 在中，是四边形，．． 的对称． 点坐标为（2，4）．··················································在中，． ． 解得：． ， 又假设抛物线上存在点． 当满足条件的存在．它们故是点坐标为 （2）如图① ，又知 ·······················································

，，，． ． 49．。 而显然四边形解：（1）由题意得 解得b＝－2，c＝－， 又为矩形． ··················

4 2∴此抛物线的解析式为：y＝x－2x－4 2（2）由题意得 ，又 当时，有最大值． ·······························

（如，为解得 ∴点Ｂ的坐标为(4，4) 将x＝m代入 y＝x条件得y＝m ∴点Ｎ的坐标为（m , m） 2同理点Ｍ的坐标为（m , m－2m－4 ），点Ｐ的坐标为(m ,

（3）（i）若以为等腰三角形的底，则图①） 在中，，的中点， 6

综合（i）（ii）可知，或时，以点的坐标为为顶点的三角形为等腰三角形，相应或． ． 又，为的中点． 过点作，垂足为，则是的中位线， ，， 当时，，为等腰三角形． 此时点坐标为． ·············································································· 8分 （ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②） 在中，． 过点作，垂足为． ，． ． ，． ，， 当时，（），此时点坐标为． ··························································································· 11分

7