留数定理在实积分上的应用

学号：20105031332

学年论文（本科）

学 院 信阳师范学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010级 姓 名 丁梦利 论文题目 留数定理在实积分上的应用 指导教师 何俊杰 职称 讲师 成 绩

2013 年 3月23日

目 录

摘 要…………………….………….…………………………….………………1 关键词……………………………….……….……….…………………….….…..1 Abstract………………………………………………………………………....…1 Keywords………………………………………………………….………………1 前 言……………………………………………………………………...………1 1．留数及留数定理…………………………………………………………….1

1.1留数的定义…………………………………………………………….……...1 1.2 留数定理………………………………………………………………...……2

2．留数的求法…………… ……………………………………………….….…2 3．留数定理在实积分上的应用…………… ……………………….………2

3.1三大类型实积分的计算 ………………………………………….…………2 3.1.1 计算R(cos,sin)d型积分………………………………………..…..2

02 3.1.2 计算 3.1.3 计算P(x)dx型积分……………………………......……………………3

Q(x)P(x)imxedx型积分…………………………….....…………………5

Q(x)3.2计算积分路径上有奇点的积分………………………………...................…6

结束语…………………………………………………………………………………………7 参考文献……………………………………................................…………………………..8

留数定理在实积分上的应用

学生姓名：丁梦利 学号：20105031332 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师：何俊杰 职称：讲师

摘要：本文通过介绍留数定义和留数定理，简单列举留数的求法，并重点介绍运用留数定理解决某些复杂实积分的方法. 关键词：留数；留数定理；实积分

Application of the residue theorem to real integral

Abstract: This article list some solution methods of residue briefly , and put emphasis on the solution methods of some complex real integrals with the residue theorem by introducing the definition of residue and the theorem of residue. Key words: residue; the residue theorem; real integral

前言

在数学分析及实际问题中，往往要求出一些定积分或者反常积分的值，而这些积分中被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；有时即便可以求出原函数，计算往往也比较复杂.实际上，实积分总是在区间上计算的，而留数理论则是关于围线积分的结论.如果利用留数定理计算某些类型的定积分或反常积分，首先设法将问题转化为围线积分，同时只需计算某些解析函数在孤立奇点处的留数；这样就把问题大大化简了.另一方面，利用留数定理计算定积分或者反常积分也有一定的局限性，利用留数解决积分问题并没有普遍适用的方法.所以，我们在文章中只考虑几种特殊类型的积分，并指出怎样把计算这些类1型的积分问题化简为计算留数的问题.

1. 留数及留数定理

1.1留数的定义

设函数f(z)以有限点a为孤立点，即f(z)在点的某去心邻域0zaR内

1

解析，则称积分

1f(z)dz(:za,0R) 2iza为f(z)在点a的留数(residue)，记为Resf(z). 1.2留数定理

fz在周线或复周线C所范围的区域D内，除a1,a2,...an外解析，在闭域

“大范围”积分） DDC上除a1,a2,...an外连续，则（

_f(z)dz2iResf(z).

ck1zakn2.留数的求法

为了应用留数求积分，首先应该掌握留数的求法.而计算在孤立点a的留数时我们只需关心其洛朗展式中一般方法.

定理1 设a为f(z)的n阶极点，f(z)则

Resf(z)za1的这一项的系数，所以应用洛朗展式求留数是za(z)(za)n，其中(z)在点a解析,(a)0,n1(a)(n1)!za．

这里符号0(a)代表(a)，且有(n1)(a)lim(n1)(z)． 推论 2 设a为f(z)的二阶极点,(z)(za)2f(z),则

Resf(z)(a).

za定理3设a为f(z)(z)的一阶级点（只要(z)及(z)在点a解析，且(z)(a). (a),(a)0,(a)0,(a)0.)，则Resf(z)za3. 留数定理在实积分上的应用

3.1三大类型实积分的计算

3.1.1 计算R(cos,sin)d型积分

022

这里R(cos,sin)表cos,sin的有理数，并且在0,2上连续，若命zei，则

zz1zz1dzcos,sin,d，

22iiz当经历变程0,2时z沿圆周z1的正方向绕行一周，因此有

可求得其值. 例1 计算积分

20zz1zz1dzR(cos,sin)d=R(,)，

z122iiz右端是z的有理函数的周线积分，并且积分路径上无奇点，应用留数定理就

I20d(0p1).

12pcosp2解 命zei，则ddz.当p0时， iz(zp)(1pz),

z12pcosp21p(zz1)p2这样就有

I1dz,

iz1(zp)(1pz)且在圆z1内

f(z)1,

(zp)(1pz)只以zp为一阶级点，在z1上无奇点，由推论2

Resf(z)za11pzzp1(0p1), 1p2所以由留数定理得

112I.2i.(0p1). 22i1p1p3.1.2 计算

P(x)dx型积分

Q(x)3

为了这种反常积分，我们先引入一个引理，它主要用来估计辅助曲线上的积分.

引 理1 设f(z)沿圆弧SR:zRei（12,R充分大）上连续，且

Rlimzf(z)

于SR上一致成立（即12中的无关）， 则

RSRlimf(z)dzI(21).

定理4 设f(z)P(z)为有理分式，其中 Q(z)P(z)c0zmc1zm1cm(c00)

与 Q(z)b0znb1zn1bn(b00)

为互质多项式，且符合条件:(1)nm2;(2)在实轴上Q(z)0于是有

例2 设a0,计算积分

f(x)dx2iResf(z).

Imakzakdx0x4a4.

dx1dx1解 因，f(z),它一共有四个一阶级点 44444402xaxaza2kakae且符合定理4的条件.而

4i(k0,1,2,3),

Resf(z)zak14z3zakakak1 344ak4ak4a4（这里用到了ak4a40）.f(z)在上半平面内只有两个极点a0及a1，于是

0idx14i(aeae444xa4a3i4)

ii14 =i3(aeae4)

4a4

==

P(x)imxedx型积分

Q(x)2a3sin4.

22a33.1.3 计算引理2 （若尔当引理） 设函数g(z)沿半圆周R:zRei（0,R充分大）上连续，且

Rlimg(z)0

在R上一致成立，则

RRlimg(z)eimzdz0(m0).

定理5 g(z)P(z)，其中P(z)及Q(z)是互质多项式，且符合条件： Q(z)(1) Q(z)的次数比P(z)的次数高， (2)在实轴上Q(z)0， (3)m0， 则有

g(x)eimxdx2iImak0Res[g(z)eimx].

zak特别来说，将上式分开实虚部，就可以得到形如P(x)Q(x)sinmxdx的积分.

P(x)cosmxdx及

Q(x)例3 计算积分

xcosxdxx22x10

解 不难验证，函数

zeizf(z)2

z2z105

满足若尔当引理的条件，这里m1,g(z)z.

z22z10函数f(z)有两个一阶级点z13i及z13i

zeizResf(z)2z13i(z2z10)于是

xeixdx(13i)e3ix22x102i6i

(13i)e3i=

6iz13i==

3e3(13i)(cos1isin1) e3(cos13sin1)i33e3(3cos1sin1).

比较等式两端的实部与虚部，就得

xcosxdx3=x22x103e(cos13sin1)，

xsinxdx3=x22x103e(3cos1sin1).

3.2计算积分路径上有奇点的积分

在数学分析中，对于瑕积分，也可以类似的定义它的柯西主值.又在定理5中假定Q(z)无实零点，现在我们可以把条件放宽一点，容许Q(z)有有限多个一阶零点，即允许函数在实轴上有有限个一阶极点.为了顾及挖去这种极点后沿辅助路径的积分，除了上面两个引理外，在引进一个与引理1相似的引理. 引理3 设f(z)沿圆弧Sr:zarei(12,r充分小)上连续，且

lim(za)f(z)

r0于Sr上一致成立，则有

limf(z)dzi(21).

r0Sr例 4计算积分解

0sinxdx. x0sinxdx存在，且 x

0sinxsinx1dx=P.V.dx

x2x6

eiz考虑函数f(z)沿着下图所示的闭曲线路经C的积

z

根据柯西积分定理得

或写成

Cf(z)dz0

Rrixreeixeizeizdxdzdxdz0 (1)

CRzRxCrzx这里CR及Cr分别表示半圆周zRei及zrei(0,rR) 由引理2知

eizlimdz0

CRzR由引理3知

limeizdz0 zr0Creixdx的主值 在(1)式中，令r0,R取极限即得xeixP.V.dxi

x所以



0sinxsinx1dx=P.V.dx=.

x2x27

结束语

留数定理及其应用对复变函数论的发展起过一定的推动作用.它给某些实积分和复积分的计算提供了一个极为有效的工具.这一方法在不可能明显求得这些积分的情形下显得尤为重要，即使是在普通积分方法可以使用的情况下，应用留数定理一般来说要省力得多.

参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社. [2] 肖荫庵,李殿国.复变函数论讲义[M].东北师范大学出版社. [3] 余家荣.复变函数（第二版）[M].北京：高等教育出版社.

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