极限导数积分计算

1) 初等函数f(x)在定义区间内处处连续: 若f(a)存在, 则有limf(x)f(a).

xa 2) 变量代换: 设limg(x)b(g(x)b), 若limf(u)A, 则有

xaub limf[g(x)]limf(u)A

xaub3) limf(x)a的充要条件为: limf(x)limf(x)a.

xx0xx0xx0 4) limf(x)a的充要条件为: limf(x)limf(x)a.

xxx5) 极限的四则运算. 6) “

0”,“”型洛必达法则. 0例1. 设f(x)1xx21xx2, 则f(x)为( ). A. 有界函数; B. 偶函数; C. limf(x)1; D. limf(x)1.

xx解题提示: 1) f(x)为奇函数.

2) x时, x0,

112 . xx3) |f(x)||f(|x|)|2|x|1|x|x1|x|x222.

例2. 下列各式中不正确的是（ ）.

A. lime; B. lime; C. lime0; D. lime1.

x0x0x0x1x4x1x1x1x1x例3. 求lim(x02e1esinx). |x|解题提示: 计算左右极限.

洛必达法则是计算极限的有效方法. 例4. 计算下列极限:

1ln(1)tanx1x; 3) limx2lnx; 1) lim; 2) limsin4xx0x0lnxx44) lim(11e1; 5) lim[xx2ln(11x)x)]. x0xx解题提示: 5) 令x1t; 或ln(11x)1x12111x23x3.

例5. 若limsin3xf(x)3f(x0[xx0, 计算limx)32]x. x02解题提示: sin3xf(x)sin3x3x3f(x)x3x2x3x2.

极限计算中无穷小的处理:

在乘除运算中, 极限值不为0的因子先算出, “0因子”作等价无穷小代换, 式”有理化.

例6. 计算limexsinxcosx.

x011sin2xx解: limesinxcosx (代入, 此式为 “

0x0x011sin2x0”型) limexsinxcosxx0sin2x(11sin2x) (“0根式”有理化) 2limexsinxcosxx0x2 (乘除运算中“非0 因子”先算出, “0因子”作等价无穷小代换)

limexcosxsinxx0x (洛必达法则) limexsinxcosxx01 (洛必达法则) 2 (初等函数在定义区间内处处连续. )

例7. 计算下列极限:

1) lim3x251x5x3sinx; 2) limx22; 3) x24x13limx0(1sin2x1x2). 3例8. 计算limx2x(x22x1x).

解题提示: 令u1x, 0根“xlimx(x22x1x)lim1f(x)sinx1e3x132u012u21u1. 2u例9. 已知limx02, 求limf(x).

x0解题提示: 利用等价无穷小代换计算左式.

极限计算中无穷大的处理: “根式”有理化.

“三角无穷大”的导数仍然为无穷大, “三角无穷大”要先变.

求x时的极限, 分子, 分母同时除以分子, 分母中的最高次幂(“抓大头”方法中的“大头”). 所谓 “抓大头”就是抓住关于x的最高次的项, 而把其余的项略掉.如

anxna1xa0anxn. limlimxbxmbxbxbxmm10m例10. 计算下列极限: 1) limx2tan3x22; 2) limx(x5x1);

xtanx23) lim(x10xx); 4) limx4x2x1x1xsinx2x.

在计算极限时, 洛必达法则不要“滥用”. 例11. 计算limex2xxex.

解题提示: 用洛必达法则, 观察会出现怎样的情形. 例12. limxsinx( ).

xxsinxA. 1 B. 不存在 C. 0 D. 1 解题提示: 1)分析以下错误运算:

limxsinx1cosxsinxlimlim1.

xxsinxx1cosxxsinx2) 分析以下错误运算:

sinxxsinxx0. limlimxxsinxxsinx1x1exexx例13. 求limx.

xeexx解题提示: 1) 先多次用洛必达法则, 观察会出现怎样的情形.

xnlnxx2) limxlimn0 (n为正数), 当x时, 可认为e为x的无穷大次

xexx幂, lnx为x的0次幂.

3) 分子, 分母同时除以分子, 分母中的最高次幂, 即用“抓大头”方法. 例14. 求lim1x22ex0x.

解题提示: 1) 试用洛必达法则看看. 2) 令t

1. xlimuv(“1,0,00”型)极限计算法: ln(limuv)limvlnu.

其中的“1”型, 也可用配e法:

设limu(x)0, limv(x), 则 lim(1u)lim[(1u)]例15. 计算下列极限:

v1uuvelimuv.

xxn1) lim(sincos); 2) lim(1x)x; 3) lim(arctanx)lnx.

xnnnx2

利用导数定义式计算极限

例16. 设f(x)在xa处可导, 且f(x)0, 求lim[f(an111)/f(a)]n. n1f(a)n1]. 解题提示: 利用配e法, 计算limn[nf(a)

例17. 设f(x)在点x0处有二阶导数, 求极限 limh0f(x0h)2f(x0)f(x0h). 2h解题提示: 先用一次洛必达法则.

注意: 因二阶导数f(x)在点x0处连续性不知, 不可再次用洛必达法则. 解: limh0f(x0h)2f(x0)f(x0h)f(x0h)f(x0h) lim2h02hh lim

1f(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0)[]f(x0). h02hh利用中值定理计算极限 例18. 计算下列极限:

1) limx[lnarctan(x1)lnarctanx];

x22) limxx2xxarctanxdx. x1解题提示: 1) 对函数f(t)lnarctant在[x,x1]上用拉格朗日中值定理, lnarctan(x1)lnarctanx11,(xx1).

arctan12 2) 利用积分中值定理,

利用麦克劳林公式计算极限 例19. 计算下列极限: 1) limx22x2xx2arctanxdxarctan,(xx2). x11cosxex0sin4x4; 2) lim(1x0112xln). x2x32xx2x4o(x4), 解: 1) sinx~x, cosx12244 ex22x21x41o(x4),

224x22cosxex4o(x4),

12x22limcosxex0sin4x1. 122xxxln(1)ln(1) 2x22x1x21x3x1x21x333 [()()o(x)][()()o(x)]

222322223213 xxo(x3),

12 2) ln1o(x3)11112xlim(123ln)lim[13].

x0x01212x2xxx二. 导数与微分的计算

1) 四则运算求导公式.

2) 复合函数求导公式: [f(g(x))]f(g(x))g(x). 3) 微分计算公式: df(x)f(x)dx.

注意: 微分等式中变量x可用任意可导函数g(x)作代换.

dydy4) 参数方程求导公式: dxdtdxd2yddydx(), . dx2dtdxdtdt5) 隐函数求导法: 方程两边同时对x求导, 注意f(y)中y为中间变量. 6) 幂指函数求导公式: {[f(x)]g(x)}[f(x)]g(x)[g(x)lnf(x)]. [fn(x)]n(x), 则有

7) 取对数求导法: 设y[f1(x)]1(x) lny1(x)lnf1(x)n(x)lnfn(x) 8) 设f(x)为连续函数, 则有

d[f(x)dx]f(x). dx9) 设f(x)为连续函数, u(x),v(x)可导, 则有变限积分函数求导公式

du(x)f(t)dtf[u(x)]u(x)f[v(x)]v(x) v(x)dx例1. 设f(x)sinx 则

2df(x)_____ . dxf(x)例2. 设yf(u)可导，yf[e]，则dy_____ .

例3. 设ylnx，当x2,x0.01时，dy_____ . 解题提示: 自变量的微分等于自变量的增量, 即dxx.

例4. 设

f(x)dxlnx211x112C，求f(x).

例5. 设f(x)为连续函数, 且F(x)lnx1xf(t)dt, 则F(x)_____.

dx22例6. 求xf(t)dt, 其中f(t)为已知的连续函数.

dx0解题提示:

x20xf(t)dtx22x20f(t)dt.

dx2例7. 求xf(xt)dt, 其中f(t)为已知的连续函数. 0dx解题提示: 令uxt,

x20f(xt)dtxx2xf(u)du.

例8. 设f(x)x(x1)(x2)(xn), 则f(0)_____. 解题提示: f(x)(x1)(xn)x[(x1)(xn)].

例9. 若f(x)f(x), 在(0,)内f(x)0,f(x)0, 则f(x)在(,0)内 ( ).

(A) f(x)0,f(x)0; (B) f(x)0,f(x)0; (C) f(x)0,f(x)0; (D) f(x)0,f(x)0. 解题提示: f(x)为偶函数. 试证明: 1) 可导偶函数的导数为奇函数; 2) 可导奇函数的导数为偶函数.

例10. 设函数yy(x)由方程xe求

f(y)ey确定, 其中f具有二阶导数, 且f1,

d2y. 2dx例11. 设y4xexsin1, 求y. x解题提示: lny1111lnxxlnsin. 4816xt2d2yx0f(u)du例12. 设 其中f(u)具有二阶导数, 且f(u)0, 求. 222dxy[f(t)]

高阶导数与泰勒公式 1) 莱布尼兹公式: (uv)(n)k(nk)(k)Cnuv. k0n 2) 函数f(x)在点xa处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式:

f(x)f(a)f(a)(xa)f(n)(a)f(n1)()n(xa)(xa)n1 n!(n1)!其中a(xa), 01, 即介于a与x之间. 当a0时, 称麦克劳林公式. 3) 函数f(x)在点xa处带皮亚诺型余项的n阶泰勒展开式:

f(n)(a)f(x)f(a)f(a)(xa)(xa)no[(xa)n]

n!例13. 求下列函数的n阶导数: 1) yln(x1); 2) ycoskx; 3) yxe; 4) yecosx. 5) ysinxsin3x.

解: 4) yecosxesinx y(n)xxxx2excos(x4),

(2)nexcos(xn). 4例14. 求函数f(x)ln(1x)在点x0处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式. 例15. 求函数f(x)xln(1x)在点x0处带皮亚诺型余项的5阶泰勒展开式.

2x10例16. 设f(x), 则f1x解题提示: f(x)(10)(x)_____.

1(n)n!1)(x9x8x1), (. n1ax(ax)1x2x例17. 求函数f(x)xe在x0处的n阶导数f(n)(0)(n3).

解题提示: 1) 利用莱布尼兹公式 (uv)(n)k(nk)(k)Cnuv. k0nxno(xn)及麦克劳林公式. 2) 利用e1xn!xxno(xn) 解: e1xn!xxnf(x)xxo(xn),

(n2)!231f(n)(0)(n) , f(0)n(n1).

(n2)!n!sinx,x0例18. 设f(x)x, 求fx01,(4)(0).

x3x5(1)n1x2n1o(x2n1). 解题提示: sinxx3!5!(2n1)!例19. 设y11x2arcsinx, 求y(n)(0).

2(n1)解题提示: 建立递推公式(1x)y

(2n1)xy(n)n2y(n1)0.

三. 不定积分的计算:

1. 常用公式:

tanxdxln|cosx|C; cotxdxln|sinx|C; secxdxln|secxtanx|C; cscxdxln|cscxcotx|C;

dx1arctanxC; dx1ln|xa|C; 22xa2axa22aaxadxxdx; arcsinCln|xx2a2|C. aa2x2x2a2

2. 分项法: 通过代数或三角恒等变形把所给不定积分化为基本积分公式中的积分或常见的积分类型.

例1. 计算下列不定积分:

41xdxxsinxdx. dx1) ; 2) ; 3) 1cos2xsin2xcos2x1x2

3. 第一换元法(凑微分法): 设F为f的原函数, u(x)可导, 则有

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x) [凑微分: (x)dxd(x)]

F[(x)]C. [换元: f(x)dxF(x)C中x换为(x)]

如何确定中间变量u(x)

A) 从被积函数明显的复合部分f(u)去确定u. B) 通过凑微分确定u.

C) 从被积函数中复杂的部分去确定u. 例2. 计算下列不定积分: 1) tanx12lntanx1lnxdx; dx; 3) dx; 2) 22(xlnx)sinxcosxx1xxdxxedxdx; 4) x; 5) ; 6) x2e11x4e17) cosxsinxdxdx. ; 8) xcosx(1ecosx)x(1x)xx解题提示: 8) (ecosx)e(cosxsinx).

4. 第二换元法(积分变量代换法): 设x(t)单调可导, 则有

f(x)dxf[(t)](t)dt.

积分变量代换法常见的有:

1) 作三角代换xasint去根式a2x2. 2) 作三角代换xatant去根式a2x2. 3) 作三角代换xasect去根式x2a2.

4) 作根式代换tnaxb, teaxb.

cxd5) 对三角函数有理式作万能代换utanx2化为u的有理式, 其中有dxdu, 221u1u22u, cosx. 作万能代换计算, 时常较繁, 不要滥用. sinx221u1u例3. 计算下列不定积分:

dxdx1x2 1) ; 3) ; dx; 2) 233221xxxa(9x)4) dxdx2x; 5) 1edx; 6) . 31sinxcosx(xx)例4. 求(x1)2dx2x2x22.

解题提示: x2x(x1)1, 作代换x1sect.

5. 分部积分法: udvuvvdu. 常见类型有:

1) P(x)sin(axb)dx, P(x)cos(axb)dx, P(x)edx. 取uP(x).

nn 2) xlnP(x)dx, xarctanxdx等. 取dvxdx.

axn 3) sec3xdx, esinbxdx,ecosbxdx. 用分部积分法 “回归”.

axax例5. 计算下列不定积分:

1) (x2x)sin2xdx; 2) (x2x1)exdx; 3) lnxdx; 2(1x)4) 7) arctanxaxlncosxdx; dx; 5) ; 6) ecosbxdxx2cos2xxsin2xarctanxdx; 9)sinlnxdx. dx; 8) 221cos2xx(1x)例6. 求

a2x2dx.

解题提示: 1) 令xasint.

2) 分部积分回归法.

x2例7. 求dx. 22(1x)x2x1解题提示: 1) 分部积分法: . dxd22221x(1x)2) 令xtant.

xex例8. 求dx.

xe1解题提示: 令tex1.

例9. 求tan2xsecxdx.

解题提示: 1)分部积分回归法.

211sinxdxsinxd2) tanxsecxdx. 322cosxcosx2

注: 凑微分是计算积分的首要过程, 是求导的逆运算, 第一换元法是复合求导的逆运算, 是积出积分的重要一环; 分部积分法是 “乘积”求导的逆运算, 是计算积分的一种过度性的主要手段, 灵活多变, 初学时不易掌握. 切记: 初等函数并不是都能 “积得出”, 不常见的积分题, 计算当中会出现 “恰好”之处.

例10. 求1lnxdx. 2(xlnx)解题提示: 1)

1lnxlnx().

xx22) 分项

1lnx1x(lnxx)1x(xlnx).

xlnx(xlnx)2(xlnx)2(xlnx)2例11. 求1sinxxedx.

1cosx1sinx1sinxxedx解: exdx

1cosx2cos2x2exdtanxxxtandexextanC. 222x2ex例12. 求dx. 2(x2)x2exx2exd1 解: dx2x2(x2)x2ex1x2exx2x(2xexe)dxxexdx x2x2x2x2ex(x2)exxxxeeCC. x2x2

6. 特殊积分举例

例13. 求解题提示:

x3dx

x26x5x321. x26x5x5x1例14. 求4x1dx. 2x4x84x12(2x4)9. 222x4x8x4x8(x2)4解题提示:

例15. 求dx. 4x(x1)111xn1解题提示: ().

x(xna)axxna2dxx例16. 求4, 4dx. x1x111(x)22x1xx解题提示: 1) 4;

11x1x22(x)22xx1112(x)2x1xx2) 4.

11x1x22(x)22xx1例17. 求dx.

1sinx解题提示: 1) 令utan算:

x11sinx. 2) . 化分母为单项, 用此法可计21sinxcos2x1sinxdx, dx等. 1cosx1sinx例18. 求sinxcosxdx, dx. asinxbcosxasinxbcosxacosxbsinxdxln|asinxbcosx|C,

asinxbcosx解题提示: asinxbcosxdxxC.

asinxbcosx例19. 求sin3xcos2xdx.

解题提示: sinxcosm2n1xsinmx(1sin2x)n(sinx).

3cosxdx例20. 求. 2sinx解题提示: cosxsin例21. 求cos4xdx.

m2n1xcosmx(1cos2x)n(cosx).

解题提示: 1) 降幂法 cosx41(1cos2x)2. 42) 分部积分回归法, 建立递推公式:

cosnxdxcosn1xdsinx

sinxcosn1x(n1)sin2xcosn2xdx

 sinxcosn1x(n1)cosn2xdx(n1)cosnxdx,

cosnxdx1n1n2sinxcosn1xcosxdx. nn例22. 求解题提示:

1cosxdx.

3sin2x111(tanx). 22223sinx3cosx4sinx34tanx四. 定积分与广义积分的计算

1. 牛顿—莱布尼兹公式

设f(x)在[a,b]上连续, 且F(x)f(x), 则有

babf(x)dx[F(x)]aF(b)F(a).

2. 定积分的分部积分公式

设u(x),v(x)在[a,b]上连续, 则有

3. 定积分的换元法

bau(x)dv(x)[u(x)v(x)]bav(x)du(x).

ab设f(x)在[a,b]上连续, x(t)在[,]上单值连续可导, 当t在[,]上变化时,

x(t)在[a,b]上变化, 且()a,()b, 则有

baf(x)dxf[(t)](t)dt.

e例23. 计算下列定积分:

dx1) 4tanxdx; 2) ;

021x1lnx23)

10xarctanxdx; 4) excosxdx.

02例24. 计算

20x44x2dx.

解题提示: 1) 令x2sint.

2) 记In20sinxdx2cosnxdx, 则有In010nn1In2. n例25. 计算

x(1x)dx.

2432解题提示: 令xsint.

例26. 计算

40ln(1tanx)dx.

解题提示: 令x4t.

102例27. 已知f(x)sin(x1), 且f(0)0, 求f(x)dx.

解:

110f(x)dx[xf(x)]xf(x)dx

0101 f(1) 

10xsin(x1)dxsin(x1)dxf(0)xsin(x1)2dx

0021210(1x)sin(x1)2dx11cos(x1)2|1(1cos1) 0224. 对称区间上的积分

设f(x)在[a,a]上连续, 则有

aaf(x)dx[f(x)f(x)]dx

0a1) 当f(x)是奇函数时, 2) 当f(x)是偶函数时,

11aaaf(x)dx0;

f(x)dx2f(x)dx.

0aa例28. 计算I例29.

x2dx. x1e11(xx2cosx)2dx_____.

2sinx3442(sinxcosx)dx, N例30. 设M, cosxdx1x222P2(x2sin3cos4x)dx, 则有( ).

2(A) NPM; (B) MPN; (C) NMP; (D) PMN. 解题提示: M0, N0, P0.

5. 分段函数的积分

例31. 设函数f(x)在(,)内满足f(x)f(x)sinx, 且f(x)x,

x[0,), 计算3f(x)dx.

解题提示: 当x2时, f(x)f(x)sinxxsinx, 当2x3时, f(x)f(x)sinxx2.

例32. 设xOy平面上有正方形D{(x,y)|0x1,0y1}及直线

l:xyt(t0). 若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积, 试求

S(t)dt(x0).

0x12t,0t121解题提示: S(t)t22t1,1t2 .

21,t2例33. 计算

01sinxdx.

xxcos|. 22解题提示: 1sinx|sin

6. 广义积分的计算

例34. 计算1解题提示:

arctanxdx. 2xxaF(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a).

0dx例35. 计算. 2x3x2解题提示:

bF(x)dx[F(x)]bF(b)limF(x).

xdx例36. 计算.

423(x1)x2x解题提示: 令x1sect.

111xe()dx. 例37. 计算22x11ex1解题提示: 1) 设f(x)在[a,b]内有一瑕点xc, 则

其中

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx,

acbcxccbcaf(x)dxlimF(x)F(a), f(x)dxF(b)limF(x).

xc1x2) 此题被积函数的原函数为arctane.

3) 思考: 原积分[arctane]1arctanearctan

1x11为何不对 e