《数学分析》第十章 定积分的应用

第十章 定积分的应用 （ 8 时 ）

§1 平面图形的面积 （ 2 时 ）

一． 直角坐标系下平面图形的面积 ：

1 简单图形：X型和Y型平面图形 .

2简单图形的面积: 给出X型和Y型平面图形的面积公式. 对由曲线F(x,y)0和G(x,y)0围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.

2yx与直线 x2y30所围平面图形的面积. 例1 求由抛物线

3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间[a,b]上的曲边梯形的曲边由方程

x(t) , yy(t) , t, ()a , ()b给出.又设(t)0,就有(t)↗↗, 于是存在反函数 t1(x). 由此得曲边的显式方程 y(t)y[1(x)] , x[a,b].

b1S| y[(x)] |dx| y(t) |(t)dta,

亦即

S| y |dx| y(t) |d(t).

具体计算时常利用图形的几何特征 .

例2 求由摆线xa(tsint),ya(1cost)(a0)的一拱与x轴所围平面图形的面积.

例3

x2y2212求椭圆ab所围平面图形的面积.

二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线 rr()和射线 , 

(   )所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r, 顶角为的

12r扇形面积为 2 . )

1Ar2()d2 .

22例4求由双纽线 racos2 所围平面图形的面积 .

53cos20 ,   ,  , 444或4. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为4的两条直线之间 ) . 解

以代 方程不变图形关于X轴对称;以代, 方程不变, 图形关于Y轴对称. ( 参阅[1]P24 图106 )

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因此

142A4acos2da220.

Ex [1]P242 1—6.

§2 由平行截面面积求体积 （ 2 时 ）

一 已知平行截面面积求体积求立体的体积:设截面面积为A(x) , x[a,b]推导出该立体之体积:

bVA(x)dxa.

祖暅原理: 夫叠棊成立积,缘幂势即同则积不容异.(祖暅系祖冲之之子,齐梁时人, 大

约在五世纪下半叶到六世纪初)

222222xya例1 求由两个圆柱面 和 xza所围立体体积 .

163a [1]P244 E1 ( 3 )

x2y2z22212例2 计算由椭球面 abc所围立体 (椭球 )的体积 .

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4abc3 [1] P342 E2 ( )

二 旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式.

b

Vf2(x)dxa.

例3 推导高为h, 底面半径为r的正圆锥体体积公式.

2xy0和xy0所围平面图形绕X轴旋转所得立体体积. 例4 求由曲线

22x(y20)25绕X轴一周所得旋转体体积. ( 10002 ) 例5 求由圆

xD: ye, x0,X轴正半轴 . D绕X轴旋转 . 求所得旋转体体积. 例6

Ex [1]P246 1，2，3.

§3 平面曲线的弧长 ( 1 时 )

一. 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲,即用折线总长的极限定义弧长.可求

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长曲线.

二. 弧长计算公式:光滑曲线的弧长.设L: x(t)，yy(t)，t, 又

A() , y() , B() , y()，(t)和y(t)在区间[,]上连续可导且2(t)y2(t)0. 则L 上以A和B为

端点的弧段的弧长为



s [(t)]2[y(t)]2dt.

 a,b,cR为证明这一公式,先证以下不等式:对,有

| a2b2a2c2|  |bc|, (Ch 1 §1 Ex 第5题 (P4) .其几何意义是:在以点(a,b) , (a,c)和(0,0)为

顶点的三角形中,两边之差不超过第三边.) 事实上，

|b2c2||b2c2|| abac|  |bc|2222|b||c||bc|abac.

2222|b2c2|为证求弧长公式,在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理, 然后对式进行估计.参阅 [1]P247.

2(i)y2(i*)插项

如果曲线方程为极坐标形式rr() , [ , ], r()连续可导,则可写出其参数方程

xr()cos, yr()sin.于是

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

s [()]2[y()]2dr2()r2()d.

例1 — 3 [1] P249—250 E 1—3.

Ex [1] P352 1.

§4 旋转曲面的面积 ( 1 时 )

用微元法推出旋转曲面的面积公式:曲线方程为yf(x) , x[a,b]时b  S2f(x)1f2(x)dxa；曲线方程为

x(t) , yy(t) , t[,]时  S2y(x)2(t)y2(t)dt.

例1—2 [1] P254—255 E 1—2.

Ex [1] P255 1—3.

§5 定积分的物理应用举例 ( 2 时 )

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，

，



例1—4 [1] P255—259 E 1—2.

Ex [1] P259 1—10.

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