高斯小学奥数四年级下册含答案第09讲_排列组合公式

开篇漫画中，小高要想说对口诀还真不容易！我们学过乘法原理，口诀第一个字有6种说法，第二个字有5种说法，依此类推，口诀这六个字有654321720种排法．我们也可以这样理解：只有把口诀这六个字按照正确的顺序排列好，才能练成高思神掌．把六个字排成一列，就是我们这一讲要学习的排列．

排列公式：

从m个不同的元素中取出n个（nm），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m个不同元素中取出n个的排列数，记作Am，它的计算方法如下：

从m开始递减地连乘n个数 nAmm(m1)……(mn1) n

比如，从1、2、3、4中挑两个数字组成一个两位数，十位上有1、2、3、4这4种选择，十位选定后，个位可以从剩下的三个数字中选，有3种选择．根据乘法原理可以知道，这样的两位数有4312个．我们也可以这样理解，要组成两位数相当于从1、2、3、4中

24312种排法，所以这样的两位数有12个． 挑两个数字排成一行，有A4

关于排列数的计算，再给大家举几个例子：

A545432120（从5开始递减地连乘4个数）；

3A8876336（从8开始递减地连乘3个数）； 1A100100（从100开始递减地连乘1个数）．

例题1

2计算：（1）A4；（2）A10；

42（3）A6． 3A「分析」直接用公式计算，主要要从几开始乘，连乘几个数．

练习1

3计算：（1）A7；

32（2）A5． A5

生活中的许多问题其实就是排列问题．例如，你回家后，发现桌上有牛奶糖、巧克力和水果糖各一颗，你会按照什么顺序来吃这三种糖？先吃哪个再吃哪个，有多少种方式呢？这其实就是一个排列问题．

例题2

小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？

「分析」本题要站成一排，顺序有没有影响？“小墨卡”和“墨卡小”表示的是同一张还是两张不同的照片？ 练习2

有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，一共可以表示出多少种不同的信号？

拍聚会照 赵项和童学是好朋友．一天，童学的父母带着童学和赵项出去游玩．赵项酷爱摄影，提出要给童学拍全家福，童学一家以为只拍一张照片，就同意了．结果赵项要求童学一家在6个不同景点，按照“爸爸、童学、妈妈”、“妈妈、童学、爸爸”等6种排列方式全拍一遍，且每次拍照时每个人的动作都不一样．童学一家非常厌烦，但既然同意拍照了就只能硬着头皮拍完这6张照片． 一个月之后，班里有十人左右的同学聚会．童学说：“咱们让赵项来拍聚会照吧！”同学们应声附和，赵项一听，撒腿就跑，心想：“还不得累死我啊！”

与排列问题相对，生活中也存在着许多不需要排序的问题．例如，开运动会了，老师要选出一部分同学组成拉拉队，那么从全班同学中选出的这部分人有多少种可能呢？从全班同学中选出的这部分人，并不需要进行排序，这其实就是一个组合问题．

比如，要从1、2、3、4中挑两个不同的数，这时挑出1、2与挑出2、1都是一样的，挑出1、3与挑出3、1也是一样的．换句话说，能组成的两位数有A42个，但每两个数字可

22个两位数，在这里只算作同一种挑法． 以对应A222A21226种方法．因此，只是从1、2、3、4中挑两个数而不考虑顺序，有A4这

就是组合公式的来由．

组合公式：

从m个不同元素中取出n个（nm）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从

nm个不同元素中取出n个不同的组合数，记作Cm，它的计算方法如下：

nnnnCmAmAn[mm1……mn1]An．

给大家举几个例子：

222从5个不同的元素中取出2个作为一组，有C5A5A2542110种不同的

方法；

333A5A354332110种从5个不同的元素中取出3个作为一组，有C5不同的方法．

例题3

32173计算：（1）C53；（2）C10；（3）C54，C5；（4）C10，C102C10．

「分析」直接用公式计算，注意公式里每个数字的含义． 练习3

3832计算：（1）C8；（2）2C7；（3）C10． C5

例题4

墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张，一共有多少种不同的分法？

「分析」从10张中取出7张给墨莫，这7张的顺序是否有影响呢？应该是排列数还是组合数呢？

练习4

阿呆和阿瓜一起去图书馆借童话小说，发现书架上只剩下6本不同的书，于是每人借了3本，那么他们一共有多少种不同的借法？ 例题5

从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？

「分析」组4位数，其实是要从5个数字中选4个排成一排，如果用排列进行计算？千位是多少的数肯定比3000小？

例题6

有3个人去图书馆借漫画书，发现书架上只剩下8本不同的书．于是有1个人借了2本书，另外2个人每人借了3本书，那么他们一共有多少种不同的借法？

「分析」我们不妨分步考虑：先让1个人借2本，然后再让1个人借3本，最后一个人借剩下的3本，那么一共有多少种情况呢？每一步改用排列还是组合呢？ 课堂内外

古典小说中的排列组合

一般认为，中国古代社会科学发达，而自然科学和数学则相对落后．不过说中国古代数学落后，也不尽然，像数学中的“排列组合学”就发达得很，甚至渗透到社会各个层面．譬如，古人很早就总结出四象、五行、八卦、十天干、十二地支、十二生肖等等，没有高明的排列组合知识，怎能将这些东西捏在一起？在日常生活中，尤其是饭局上，主座、客座、主陪、副陪等的座位都是不能乱坐一气的，让那些习惯了圆桌会议的外国友人头疼不已．

在中国古典小说中，这种“排列组合学”也是随处可见．在《三国演义》中，这种数学还不甚发达．也就是说刘备阵营有五虎大将，曹营有四大谋士等等．不过民间倒是对演义里的战将武功有一个排名．“一吕二赵三典韦，四关五马六张飞，七许八夏九姜维”．没办法，国人就是对这种排列组合异常着迷．在许多历史和公案小说中，这种数学到了令人眼花缭乱的地步．小说《隋唐演义》在这方面可以说是登峰造极．由于版本众多，各种说法也是热闹纷纭得很，大致有“一王三绝四猛十三杰十好汉”这样一个“超强战斗序列”．

除了这样的武功排名的排列组合，在古典小说中还有其他的样式．像《封神演义》第九十九回中，姜子牙一下子封了三百六十五位正神，计有三山五岳、雷火瘟三部、五斗星恶煞、二十八宿、九曜星官、四圣元帅、四大天王等等，将一个天上一个地下给安排得滴水不漏、井井有条，却惟独忘了给自己留个位置．《西游记》中也有“七十二般变化”、“三十六般变化”、

“九九八十一难”，看来吴承恩老先生的乘法表学得不错，值得表扬．《红楼梦》里则有四大家族、金陵十二钗、副钗、又副钗等等，也是洋洋大观．

作业

1. 2.

333A3A10计算：（1）C72；（2）3C822C62；（3）C10． 5A72． 计算：（1）A52；（2）A7

3.

海军舰艇之间经常用旗语来互相联络，方式是这样的：在旗杆上从上至下升起3面颜色不同的旗帜，每一种排列方式就代表一个常用信号，如果共有6种不同颜色的旗帜，那么可以组成多少种不同的信号？

4.

要从海淀区少年游泳队的8名队员中挑选3名参加全国的游泳比赛，有多少种不同的选法？

5． 从3、4、5、6、7这5个数字中选出3个数字（不能重复）组成三位数，共能组成多少

个不同的三位数？635是从小到大的第几个数？

第九讲 排列组合公式

1. 例题1

答案：12；5040；270

244312；109875040； 详解：（1）A4（2）A10（3）A3A62654336565341270． 2. 例题2

答案：24

243224． 详解：从4个人中选3人出来排列，A43. 例题3

答案：10；30；5，5；120，120

354332110； 详解：（1）C5322C10109832121092130； （2）C1015； （3）C54543243215，C57109876547654321120， （4）C1031098321120 C104. 例题4

答案：120

7333详解：C10C3C10C310983211120种分法．

5. 例题5

答案：120；24；48

343224； 详解：（1）A545432120；（2）A4（3）比3000小的有1开头和2开头的，1千多的数和2千多的数一样多，共有

32A4243248．

6. 例题6 答案：560

233详解：C8C6C387216543211560种．

7. 练习1

答案：210；40

33765210；A525435440． 简答：（1）A7（2）A5

8. 练习2

答案：60

354360． 简答：A5

9. 练习3

答案：56；60；45

3简答：．（1）C887632156；

32（2）2C7C52765321542160；

82（3） C10C101092145．

10. 练习4

答案：20

33C3654321120种． 简答：C6

11. 作业1

答案：20；2478

52A776543762478． 简答：（1）A525420；（2）A7

12. 作业2

答案：21；54；0

简答：（1）C72762121；

（2）3C822C62387212652154；

333A3A10109832132110980． （3）C10

13. 作业3

答案：120

3654120种方法．简答：从6面不同颜色的旗帜中选3面排成一排，共有A6

14. 作业4

答案：56

3简答：从8人中选出3人，不需要排序，共有C887632156种方法．

15. 作业5

答案：60；38

354360种；简答：从5个不同的数字中选3个组三位数，即排成一排，共有A524312个，百位是4的有12个，百在所有比635小的数中，百位是3的有A4位是5的有12个，百位是6的有1个，所以从小到大数，635是第38个．