高考线性规划题型归纳

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

2xy2例1、设变量x、y满足约束条件xy1，则z2x3y的最大值为 。

xy1解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，

目标函数z最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

x2习题1、若x、y满足约束条件y2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

xy2A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将

y 2 O B y =2 A 2 x=2 x x + y =2 l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值

2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

x1,例2、已知xy10,则x2y2的最小值是 .

2xy20解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A是满足条件的最优解。x2y2的最小值是为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最

图2

x2y2（1，2）在挖掘优解。

2xy20习题2、已知x、y满足以下约束条件x2y40 ，则z=x2+y2的最大值

3xy30和最小值分别是（ ）

A、13，1 B、13，2

254C、13， D、13，

55y A 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的

距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－

42=0的距离的平方，即为，选C

5O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 x 2x + y - 2= 0 = 5 练习2、已知x，y满足____________． 2，0

yx2y50，则

x1,y0xx2y30的最大值为___________，最小值为

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

xy20例3、在平面直角坐标系中，不等式组xy20y0表示的(D)2

平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组

xy20xy20表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａy0（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：S而选Ｂ。

11|BC||AO|424.从22点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；

其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

2xy60习题3、不等式组xy30表示的平面区域的面积为

y2（ ）

A、4 B、1 C、5 D、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形

OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

y x＋y – 3 M A O B y =2 C x 2x + y – 6= 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线x2y24的两条渐近线与直线x3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

xy0xy0xy0(A)xy0 (B)xy0 (C) xy0 (D)

0x30x30x3xy0xy0 0x3解析：双曲线x2y24的两条渐近线方程为yx，与直线x3围成一个三角形区域（如图4所示）时有。 xy00x3xy0点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是

y2y2y2y2A．3x2y60 B．3x2y60 C．3x2y60 D．3x2y60

x0x0x0x0 （ ）

C

五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例

x05、在约束条件下，当3s5时，目标y0yxsy2x4C 函

数z3x2y的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当3s4时, 目标函

数z3x2y在B(4s,2s4)处取得最大值, 即

zmax3(4s)2(2s4)s4[7,8);当4s5时, 目标函数z3x2y在点E(0,4)处取得最大值,即zmax30248,故z[7,8],从而选D;

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），

则m的取值范围是 （ ）

y A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）

2xym30解：|2x－y＋m|＜3等价于

2xym302x – y + 3 = 0 2x – y = 0 O 由右图可知m33 ,故0＜m＜3，选C

m30习题6、不等式|2xym|3表示的平面区域包含点(0,0)和点(1,1),则m的取值范围是

（ ）

A．2m3 B．0m6 C．3m6 D．0m3 A

七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例7、已知变量x，y满足约束条件1xy4。

2xy2若目大值，

标函数zaxy（其中a0）仅在点(3,1)处取得最则a的取值范围为 。

解析：如图5作出可行域，由zaxyyaxz其表示为斜率为a，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数zaxy（其中a0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线yaxz过Ａ点且在直线xy4,x3（不含界线）之间。即a1a1.则a的取值范围为(1,)。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a与z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

xy5习题7、已知x、y满足以下约束条件xy50，使

x3y x + y = 5 O x=3 x x – y + 5 = 0 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （ ）

A、－3 B、3 C、－1 D、1

解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)

取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

八、研究线性规划中的整点最优解问题

例8、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y5x11y22,满足约束条件2x3y9,则z10x10y的最大值是

2x11.须

(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

z，它表示为斜率为1，纵截10z119距为的平行直线系,要使z10x10y最得最大值。当直线z10x10y通过A(,)z

1022解析：如图７，作出可行域，由z10x10yyx取得最大值。因为x,yN，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，Zmax90.

点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

九、求可行域中整点个数

例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）

A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

xy2xy2解：|x|＋|y|≤2等价于xy2xy2(x0,y0)(x0,yp0)(xp0,y0)(xp0,yp0)

y 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易

得到整点个数为13个，选C 习题9、不等式

xy3表示的平面区域内的整点个数为

O x （ ） A． 13个 B． 10个 C． 14个 D． 17个 A