固定收益证券计算题

计算题

题型一：计算普通债券的久期和凸性 久期的概念公式：DtWt

t1N其中，Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。 久期的简化公式：D1y(1y)T(cy) Tyc[(1y)1]y其中，c表示每期票面利率，y表示每期到期收益率，T表示距到期日的期数。 1凸性的计算公式：C(1y)2(tt1N2t)Wt 其中，y表示每期到期收益率；Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，转换成以年为单位的凸性。 例一：面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。 每期现金流：C10%1008%5% 4实际折现率：22息票债券久期、凸性的计算 时间（期现金流现金流的现值权重 数） （元） （元） （Wt） 1 4 时间×权重 (t2+t)×Wt （t×Wt） 0.0401 0.0802 0.0401 （3.8095） 94.92432 3 4 5 4 4 4 4 0.0382 0.03 0.0347 0.0330 0.07 0.1092 0.1388 0.1650 0.2292 0.4368 0.6940 0.9900

6 104 0.8176 4.9056 34.3392 总计 94.9243 1 5.4351 36.7694 即，D=5.4351/2=2.7176

利用简化公式：D15%(15%)6(4%5%)5.4349（半年） 65%4%[(15%)1]5%即，2.7175（年） 36.7694/（1.05）2=33.3509； 以年为单位的凸性：C=33.3509/（2）2=8.3377 利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动1个基点（0.01%）时，该债券价格的波动 利用修正久期的意义：P/PD*y D*2.71752.5881（年） 15%当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时， P/P2.58810.01%0.0259%； 当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时， P/P2.5881(0.01%)0.0259%。 12凸性与价格波动的关系：P/PD*yCy 2当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，

1P/P2.58810.01%8.3377(0.01%)20.0259%；

2当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，

又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。

题型二：计算提前卖出的债券的总收益率

(1r1)n1首先，利息+利息的利息=C；r1为每期再投资利率；

r1然后，有债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格； 其中，

CFC1(1r2)NF投资期末的债券价格：P； tNN(1r2)r2(1r2)t1(1r2)NN为投资期末距到期日的期数；r2为预期的投资期末的每期收益率。 例二：投资者用905.53元购买一种面值为1000元的8年期债券，票面利率是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为8%。如果债券持有到第6年（6年后卖出），且卖出后2年的到期收益率为10%，求该债券的总收益率。 解： (14%)1216年内的利息+6年内利息的利息=60901.55元 4%601(15%)410001035.46元 第6年末的债券价格=45%(15%)所以， 6年后的期末价值=901.55+1035.46=1937.01元 总收益=1937.01-905.53=1031.48元 半年期总收益率=121937.0116.54%

905.53总收益率=（1+6.54%）2-1=13.51%

题型三：或有免疫策略（求安全边际）

例三：银行有100万存款，5年到期，最低回报率为8%；现有购买一个票面利率为8%，按年付息，3年到期的债券，且到期收益率为10%；求1年后的安全边际。

解：

银行可接受的终值最小值：100×(1+8%)5=146.93万元； 如果目前收益率稳定在10%： 触碰线：146.93100.36万元 4(110%)1年后债券的价值=100×8%+8108=104.53万元； 2110%(110%)安全边际：104.53-100.36=4.17万元； A B触碰线 所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的104.53万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。 4104.53(110%)债券年收益率=518.88%100

题型四：求逆浮动利率债券的价格

例四（付息日卖出）：已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%，两种债券面值都为1万，3年到期。1年后卖掉逆浮动利率债券，此时市场折现率（适当收益率）为8%，求逆浮动利率债券的价格。

解：

在确定逆浮动利率债券价格时，实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合，分别投资1万元在这两种债券上，则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。又因为在每个利息支付日，浮动利率债券价格都等于其面值，所以逆浮动利率债券价格易求。 1年后，算票面利率为6%，面值为1万的债券价格 P6001060093.347元 2(18%)(18%)P逆=2P-P浮=2×93.347-10000=9286.694元 题型五：关于美国公司债券的各种计算（债券面值1000美元、半年付息一次）（YTM实为一种折现率） 例五：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，适当收益率为6%，求债券现在的价值？ 解： 因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以： 1(13%)604010001000P=+40(13%)60=1276.76元 n60(13%)(13%)3%n160例六：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，假设现在的售价为676.77美元，求债券到期收益率？

解：

因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：

1(1YTM)604010001000676.7740= n6060(1YTM)YTMn1(1YTM)(1YTM)60通过上式求出该债券的半年期到期收益率为6%，因此该债券的年到期收益

率为6%×2=12%

例七：美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有10年，到期价值为5000元，年适当贴现率是8%，计算该债券的价值。

解：

因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为8%/2=4%n=20 P=

5000=2281.93元

(14%)20例八：一种美国公司债券，票面利率是10%，2008年4月1日到期。每年的4月1日和10月1日分别支付一次利息。如果投资者在2003年7月10日购买，该债券的适当贴现率是6%，则该债券的净价是多少？全价是多少？（采用360天计算） 解： 2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天，且利息支付期为半年，即180天。那么n=81/180=0.45。 P5050501050......11.79元 (13%)0.45(13%)1.45(13%)8.45(13%)9.45即该债券的净价为11.79元 又因为距上一次付息日为180-81=99天，所以 AI509927.5元 180即该债券的全价为27.5+11.79=1217.29元 例九：在美国债券市场上有一种2年期的零息债券，目前的市场价格为857.34元，计算该债券的年到期收益率。

解：

因为该债券为票面价格为1000元，半年付息一次，所以：

通过上式求出该债券的半年到期收益率为3.9%，因此该债券的年到期收益率为3.9%×2=7.8%

例十：美国债券市场上有一种债券，票面利率为10%，每年的3月1日和9月

1日分别付息一次，2005年3月1日到期，2003年9月12日的完整市场价格为1045元，求它的年到期收益率。（按一年360天计算）

解：

2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天，半年支付一次。即n=169/180=0.93

又因为全价=净价+应付利息

AI501801693.06元 180所以，净价=1045-3.06=1041.94元 即， 该债券的半年到期收益率为YTM=3.58% 年到期收益率为3.58%×2=7.16%

题型六：交税方法

例十一：一种10年期基金，票面利率为6%、按年付息、持有到期。对其收税，税率为20%。现有两种交税方式：一年一付；到期时一起付；问选择哪种交税方式更好？（改变哪个数值会造成相反的结果）

解：设在某年年初购买该基金；基金面值为100元；市场适当收益率为r； 一年一付（年末付）：

每年年末应交：1006%20%1.2元 1.21.21(1r)10现值：PV1 nrn1(1r)10到期时一起付 总利息为：10×1.2=12元 现值：PV212 10(1r)若PV1PV2,则r1% 所以：当市场适当收益率为1%时，两种交税方式都可以； 当市场适当收益率大于1%时，选择到期一起付； 当市场适当收益率小于1%时，选择一年一付。 附：课上提过的重点题 例十二：有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下： 债券名称 票面利率 到期时间面值（元） （年） 6 5 4 1000 20000 10000 市场价格到期收益率（元） （年率） 951.68 20000 9831.68 7% 5.5% 8% A B C 6% 5.5% 7.5% 求该债券组合的到期收益率。（步骤：1、列表；2、列方程）

解：

若考试时试题未给出债券的市场价格，必须计算出来。 A：951.68301000 n12(13.5%)n1(13.5%)12B：2000055020000（平价出售） n10(12.75%)(12.75%)n110C：9831.6837510000 n8(14%)(14%)n18该债券组合的总市场价值为： 951.68+20000.00+9831.68=30783.36元 列表：r为债券组合的到期收益率 期数 A的现金流B的现金流C的现金流债券组合的现总现金流的现值（元） （元） （元） 金流（元） （元） 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 550 550 550 550 550 550 550 550 550 20550 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 375 375 375 375 375 375 375 10375 955 955 955 955 955 955 955 10955 580 20580 30 955/(1+r) 955/(1+r)2 955/(1+r)3 955/(1+r)4 955/(1+r)5 955/(1+r)6 955/(1+r)7 10955/(1+r)8 580/(1+r)9 20580/(1+r)10 30/(1+r)11

12 1030 1030 1030/(1+r)12 30783.36 总市场价值

④列方程：

所以该债券的半年期到期收益率为3.13%；其年到期收益率（内部回报率）为6.26%。

例十三：APR与EAR的换算

EAR(1APRn)1n

公式：

其中：EAR为实际年利率；APR为名义年利率；n为一年中的计息次数； A债券的年利率为12%，半年支付一次利息。B债券的年利率为12%，每季度支付一次利息。C债券的年利率为10%，每季度支付一次利息。求这三种债券的实际年收益率。 12%A：EAR1112.36% 2212%B：EAR1112.55% 410%C：EAR1110.38% 4注：名义利率一样，付息次数越多，实际收益率越大； 付息次数一样，名义利率越大，实际收益率越大。 例十四：求债券总收益或总收益率（与题型二对比此题没有提前出售债券这一条件故较为简单） 此时，债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值 总收益=债券实际总价值-购买债券时的价格 求总收益率：

公式：每期收益率=（期末价值/期初价值）1/n-1 实际年收益率=（1+每期收益率）m-1

投资者用1108.38元购买一种8年后到期的债券，面值是1000元，票面利率为12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。假设债券被持有至到期日，

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再投资利率等于到期收益率，分别计算该债券的利息、利息的利息以及总收益、总收益率。

解：

1108.38601000半年期的YTM=5%，即每期的再投资利n16(1YTM)(1YTM)n116率为5%

(15%)161利息+利息的利息=601419.45元 5%该债券的利息=60×16=960元 利息的利息=1419.45-960=459.45元 持有到期时债券的总价值=1419.45+1000=2419.45元 总收益=2419.45-1108.38=1311.07元 2419.4515% 1108.382每期收益率=16总收益率=15%110.25% 例十五：（资产组合的久期）一个债券组合由三种半年付息的债券构成，求该债券组合的久期，并说明利率变动时价格的变化。 债券名称 面值（元） 票面利率 到期时间（年） 市场价格（元） YTM（年） A B C 1000 20000 10000 6% 5.5% 7.5% 6 5 4 951.68 20000 9831.68 7% 5.5% 8% 解：1.若没给出市场价格，先计算市场价格；

2.利用简化公式，求出各自的久期； 3.得出修正久期，算出总D*； 4.假设利率变动，计算现在的价格。

久期的简化公式：D1y(1y)T(cy)yc[(1y)T1]y；

分别计算出A、B、C的久期：

13.5%(13.5%)12(3%3.5%)10.2001（半年） 3.5%3%(13.5%)1213.5%DA*DA10.20019.855213.5%（半年）=4.9276（年） DB12.75%(12.75%)2.75%2.75%(12.75%)1012.75%12.75%118.8777102.75%(12.75%)（半年） *DB8.87778.01（半年）=4.3201（年） (12.75%)14%(14%)8(3.75%4%)7.0484（半年） 84%3.75%14%14%DC*DC7.04846.7773（半年）=3.3887（年） 14%该债券组合的市场总价值等于951.68+20000+9831.68=30783.36元，债券A的权重为0.0309、债券B的权重为0.97、债券C的权重为0.3194。因此，该债券组合的久期为： D*4.92760.03094.32010.973.38870.31944.0414（年） 这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动1个百分点时，组合的市场价值将会变动4.0414%。

例十六：如何构造理论上的即期利率曲线——解鞋带的方法：

假设存在5种债券，期限分别从1年到20年。这些债券都是平价债券，即价格与面值相等，等于100元。因为是平价债券，所以这些债券的到期收益率与票面利率正好相等。 债券期限（年） 1 2 3 4 5 解： 在整个计算过程中，债券都被看做是一系列零息债券构成的债券组合，债券的价格等于这些零息债券的价值总和；先求出即期利率，再利用fn1,n计算远期利率。 1年期债券的到期收益率就是1年期的即期利率，即S15%； 1005.1%100(15.1%) 2(1S1)(1S2)YTM（票面利率） 5% 5.1% 5.2% 5.35% 5.45% 即期利率（5% Sn） 远期利率（5% fn1,n） 5.1026% 5.207% 5.368% 5.4763% 5.2052% 5.4161% 5.8525% 5.9106% (1Sn)n1，n1(1Sn1)2年期债券的现金流模式如下：100解得S25.1026%、f1,2(1S2)215.2052%； (1S1)5.25.2105.2

(1S1)(1S2)2(1S3)333年期债券的现金流模式如下：100解得S35.207%、f2,315.207%15.4161%； (1S3)31(15.1026%)21S22

④4年期债券的现金流模式如下：1005.355.355.35105.35

(1S1)(1S2)2(1S3)3(1S4)4解得S45.368%、f3,4(15.368%)415.8525%； (15.207%)3⑤5年期债券的现金流模式如下： 解得S55.4763%、f4,5根据以上计算，画图： (15.4763%)515.9106% (15.368%)4远期利率 即期利率