株洲市 2019 年中考数学试题及答案
（试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．﹣3 的倒数是（
）
1 1
B．C．﹣3A．﹣
3 3
D．3
2．
×
＝（ ）
B．4 C． D．2
）
A．4
3．下列各式中，与 3x2y3 是同类项的是（
A．2x5
B．3x3y2
123
C．﹣ x y
2
）
1D．y5
3
4．对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．四个角都相等
2 5
5．关于 x 的分式方程 0 的解为（ ） x x 3
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
）
D．第四象限
）
D．5
6．在平面直角坐标系中，点 A（2，﹣3）位于哪个象限？（
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限
7．若一组数据 x，3，1，6，3 的中位数和平均数相等，则 x 的值为（
A．2
B．3
）
C．4
8．下列各选项中因式分解正确的是（
A．x2﹣1＝（x﹣1）2
B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）
k
9．如图所示，在直角平面坐标系 Oxy 中，点 A、B、C 为反比例函数 y (k 0) 上不同的
x
三点，连接 OA、OB、OC，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，过点 B、C 分别作 BE，CF 垂直 x 轴
M，记 AOD、△BOM、四边形 CMEF 的面积分别为 S1、S2、 于点 E、F，OC 与 BE 相交于点 △S3，则（
）
1
A．S1＝S2+S3
B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
10．从﹣1，1，2，4 四个数中任取两个不同的数（记作 ak，bk）构成一个数组 MK＝{ak，bk}
（其中 k＝1，2…S，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数组），若满足：对于任意的 Mi
＝{ai，bi}和 Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有 ai+bi≠aj+bj，则 S 的最大值 （ A．10
）
B．6
C．5
D．4
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．若二次函数 y＝ax2+bx 的图象开口向下，则 a
0（填“＝”或“＞”或“＜”）．
12．若一个盒子中有 6 个白球，4 个黑球，2 个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机
从中摸出一个球，得到白球的概率是
．
13．如图所示，在 △Rt ABC 中，∠ACB＝90°，CM 是斜边 AB 上的中线，E、F 分别为 MB、BC
的中点，若 EF＝1，则 AB＝
．
14．若 a 为有理数，且 2﹣a 的值大于 1，则 a 的取值范围为
．
15．如图所示，过正五边形ABCDE 的顶点 B 作一条射线与其内角∠EAB 的角平分线相交于点
P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝
度．
16．如图所示，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 OC⊥AB，过点 C 的弦 CD 与线段 OB 相交
2
于点 E，满足∠AEC＝65°，连接 AD，则∠BAD＝
度．
17． 九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： 今有善行者行一 《 “
百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其
意思为：速度快的人走 100 步，速度慢的人只走 60 步，现速度慢的人先走 100 步，速度
快的人去追赶，则速度快的人要走
步才能追到速度慢的人．
18．如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，在直线 x＝1 处放置反光镜Ⅰ，在 y 轴处放置一
个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段 AB，其中点 A（0，1），点 B 在点 A 上方，且 AB＝1，在
直线 x＝﹣1 处放置一个挡板Ⅲ，从点 O 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口 AB 照
射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为
．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）
19．（6 分）计算：|﹣
|+π 0﹣2cos30°．
20．（6 分）先化简，再求值：
a 2 a (a 1)2
a 1 a
，其中 a＝
1 2
．
21．（8 分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，
此时在眼睛点 A 处测得汽车前端 F 的俯角为 α ，且 tanα ＝ 1，若直线 AF 与地面 l1 相交
3
于点 B，点 A 到地面 l1 的垂线段 AC 的长度为 1.6 米，假设眼睛 A 处的水平线 l2 与地面
l1 平行．
3
（1）求 BC 的长度；
（2）假如障碍物上的点 M 正好位于线段 BC 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且
线段 MN 为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线 l1 后退 0.6 米，通 过汽车的前端 F1 点恰好看见障碍物的顶部 N 点（点 D 为点 A 的对应点，点 F1 为点 F 的对
应点），求障碍物的高度．
22．（8 分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最
高气温 T 有关，现将去年六月份（按 30 天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温 T（单位：℃）
需求量（单位：杯）
200
T＜25
25≤T＜30
250
T≥30
400
（1）求去年六月份最高气温不低于 30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这
种鲜奶一天的需求量不超过 200 杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为 350 杯，每杯的进价为 4 元，售价为 8 元，未售出
的这种鲜奶厂家以 1 元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月
份某天的最高气温 T 满足 25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的
利润为多少元？
23．（8 分）如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点，连
4
接 CE、DG．
（△1）求证： DOG≌△COE；
1
（2）若 DG⊥BD，正方形 ABCD 的边长为 2，线段 AD 与线段 OG 相交于点 M，AM＝ ，求
2
正方形 OEFG 的边长．
24．（8 分）如图所示，在平面直角坐标系
Oxy 中，等腰△ OAB 的边 OB 与反比例函数
y (m 0) 的图象相交于点 C，其中 OB＝AB，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 的坐标为
x
m（2，4），过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H．
（1）已知一次函数的图象过点 O，B，求该一次函数的表达式；
（2）若点 P 是线段 AB 上的一点，满足 OC＝
AP，过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q，连结 OP，
S OPQ，设 AQ＝t，T＝OH2﹣△S OPQ 记△OPQ 的面积为 △
①用 t 表示 T（不需要写出 t 的取值范围）； ②当 T 取最小值时，求 m 的值．
25．（11 分）四边形 ABCD 是⊙O 的圆内接四边形，线段 AB 是⊙O 的直径，连结 AC、BD．点
H 是线段 BD 上的一点，连结 AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA 的延长线与 CD 的延
5
长线相交与点 P．
（1）求证：四边形 ADCH 是平行四边形；
（2）若 AC＝BC，PB＝
PD，AB+CD＝2（ +1）
①求证：△DHC 为等腰直角三角形； ②求 CH 的长度．
26．（11 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若 a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数 y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程 y＝x 的 x 的值叫做该二次函数的
“不动点”．求证：二次函数 y＝ax2+bx+c 有两个不同的“不动点”．
1
（2）设 b＝ c3 ，如图所示，在平面直角坐标系 Oxy 中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象
2
与 x 轴分别相交于不同的两点 A（x1，0），B（x2，0），其中 x1＜0，x2＞0，与 y 轴相交于
点 C，连结 BC，点 D 在 y 轴的正半轴上，且 OC＝OD，又点 E 的坐标为（1，0），过点 D 作垂直于 y 轴的直线与直线 CE 相交于点 F，满足∠AFC＝∠ABC．FA 的延长线与 BC 的延
长线相交于点 P，若
PC
，求二次函数的表达式． PA 5a 2 1
5
6
参
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.D 10.C
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11．＜ 12．
1
13．4 14．a＜1 且 a 为有理数 15．66 16．20 17．250 18．1.5．
2
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）
19．解：原式＝
+1﹣2×
＝
+1﹣
＝1．
20．解：
﹣
＝
＝
＝
＝
当 a＝ 1
2 时，原式＝
＝﹣4．
21．解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α ，
在 R△
t ABC 中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα ＝ ，
∴BC＝＝
＝4.8m，
答：BC 的长度为 4.8m；
（2）过 D 作 DH⊥BC 于 H，
则四边形 ADHC 是矩形，
∴AD＝CH＝BE＝0.6，
7
答：障碍物的高度为 0.6 米．
22．解：
（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于 30℃的天数为 6+2＝8（天）；
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过 200 杯的概率为 ；
（3）250×8﹣350×4+100×1＝730（元），
答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为 730 元．
以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 ． 23．解：
（1）∵正方形 ABCD 与正方形 OEFG，对角线 AC、BD
∴DO＝OC
∵DB⊥AC，
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵∠GOE＝90°
∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°
∴∠GOD＝∠COE
∵GO＝OE
∴在△DOG 和△COE 中
∴△DOG≌△COE（SAS）
（2）如图，过点 M 作 MH⊥DO 交 DO 于点 H
8
24．解：（1）将点 O、B 的坐标代入一次函数表达式：
解得：k＝2，
故一次函数表达式为：y＝2x，
（2）①过点 B 作 BM⊥OA，
y＝kx 得：4＝2k，9
10
11
12
