反比例函数知识总结和经典练习

反比例函数的概念和基本性质

知识点精讲

1.回顾旧知

⑴ 函数：在某个变化过程中的两个变量x和y，如果给定x的一个值，相应的y就有唯一的值与之对应，那我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.

⑵一次函数

如果ykx（k，b为常数，k0）那么，y叫做x的一次函数.

特别地，当b0时，ykx（k为常数，k0），这时y叫做x的正比例函数. 2.反比例函数

⑴概念：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成

ykx（k为常数，k0）

的形式，那么称y是x的反比例函数，其中自变量x不能为零. ⑵常见形式：yk（k为常数，k0）； x ykx1（k为常数，k0）；

xyk（k为常数，k0）.

注：① 在y式

kk中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分 xxk无意义，所以x的取值范围为x≠0；故k，x都不能为零. x②自变量x的指数是-1，不是1.

例1．判断下列函数中y是否为x的反比例函数，若是,指出k的值； 若不是，请说明理由

241   yyy2xx3x

1④ ⑤ ⑥ 2x3y1y1xy23x

例2、k为何值时， 是反比例函数

k25y(k2)x

1例3、已知y-1与成反比例，且当x＝1时，y=4，求y与x的函数表达式，并判断是哪

x2类函数?

变式练习：已知函数y=y1+y2 ， y1与x2成正比例，y2 与x成反比例，且当x=1时，y=3，当

1x=-1时，y=1 ⑴求y与x的函数关系；⑵当x=时y值是多少？

2

3.反比例函数的图象

44作反比例函数：y和y的图象；

xx

（1）反比例函数的图象与坐标轴 交点。（因为k0、x0，所以函数图象与x、

y轴均无交点）

（2）反比例函数yk（k为常数，k0）的图象是由两条曲线组成的，叫做 ，

x当k>0时，两支曲线分别位于第 、 象限；当k<0时，两支曲线分别位于第 、 象限。

（3），反比例函数的图象关于 成中心对称图形，关于直线 、 成轴对称图形。 （4）图象基本性质 k0 k0 反 yy比 例 函 111O11x O111x

数 图 象 性 在每一象限内，y随x的增大 在每一象限内，y随x的增大 质 而 而 (5)k的几何意义 S矩形AOBP_________.

两分支位于 象限， 两分支位于 象限， SRtAOP__________.

k2的交点 xk⑴求直线yk1xm和双曲线y2的交点就是求方程组 的解．反之，交

x点坐标同时满足两个函数的解析式，可利用待定系数法求解. 4.直线yk1xm和双曲线y⑵交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程ax2bxc0(a0)的解的情况决定．

①当 时，直线与双曲线有两个交点； ②当 时，直线与双曲线有一个交点； ③当 时，直线与双曲线没有交点．

典型例题讲解及思维拓展 例1.填空

1.反比列函数y(2k1)x3k22k1的图像经过二、四象限，则k= _______.

2.点A2,y1，B1,y2，C3,y3都在反比例函数y大小关系为 .

4的图象上，比较y1，y2，y3的x拓展变式练习1

1.反比例函数y(2m1)xm22的图像在第一、三象限，则m的值是 . kk0的图象上，比较y1，y2，x2.点A2,y1，B1,y2，C3,y3都在反比例函数yy3的大小关系为 .

k2213.反比例函数y（k为常数）的图象上有三个点（-2，y1），(-1，y2)，（，

x2y3），函数值y1，y2，y3的大小为 . k1，(x1,y1)、(x2,y2)为其图象上的两点，若x10x2时，y1y2，x则k的取值范围是___________.

k5.P是反比例函数y在第二象限图象上的一点，PD⊥x轴于点D，则△POD的面积

x为2，则k= .

4.反比例函数y例2、已知：反比例函数y和一次函数y2x1相交，其中一次函数的图象经过点（k，5）。（1）求反比例函数的解析式；（2）若点A 在第一象限，且同时在上述两函数的图象上，求点A的坐标。

kx例3 已知关于x的一次函数ymx3n和反比例函数y2m5n的图象都经过点x（1，-2）.（1）一次函数和反比例函数的表达式；（2）两个函数图象的另一个交点的坐标.

拓展变式练习2

1.在平面直角坐标系xoy中，直线yx向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数y

k2)，求k的值． 的图象的一个交点为A(a，x

2.如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y（1）根据图象，分别写出A、B的坐标； （2）求出两函数解析式；

（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠C=90°，点D在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函数的图象经过OD的中点A． （1）求该反比例函数的解析式；

（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．

m的图象相交于A、B两点： x

例4 已知反比例函数y(k0)和一次函数yx6．

⑴若一次函数和反比例函数的图象交于点3，m，求m和k的值；

⑵当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？

⑶当k2时，设⑵中的两个函数图象的交点分别为A，B，试判断此时A，B 两点分别在第几象限？∠AOB是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？

kx

拓展变式练习3

1.在同一直角坐标平面内，如果直线yk1x与双曲线y关系一定是 （ ）

A.k1<0，k2>0 B.k1>0，k2<0 C.k1、k2同号 D.k1、k2异号 2.已知一次函数yx6和反比例函数ykk0 xk2没有交点，那么k1和k2的x⑴k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xoy中的图象有两个公共点？ ⑵设（1）中的两个公共点分别为A、B，∠AOB是锐角还是钝角.

巩固训练题

一、填空题 1.已知反比例函数y3m2，当m______时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当xm______时，其图象在每个象限内y随x的增大而增大.

k2312.在函数y（k为常数）的图象上有三个点（2，y1），(1，y2)，（，y3），

x2函数值y1，y2，y3的大小为 . 3.点A(2，1)在反比例函数y4.函数y1xx≥0，y2k的图像上，当1﹤x﹤4时，y的取值范围是 . x4x0的图象如图所示，则结论： x①两函数图象的交点A的坐标为2，2；②当x2时，y2y1；③当x1时，BC3；④当

x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是 ．

5.如图，点A、B是双曲线y则S1S2 ． S阴影1，y 3上的点，分别经过A、B点向x轴、y轴作垂线段，若xy

O C B A y1x

2 xP1 y

P2

P3 3

P4 4

x

4

yx

x O

x11

2

k6.如图，已知双曲线y(k＞0)经过直角三角形 xSSOAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交

于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．

2

7.如图，在反比例函数y（x0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次

x为1、2、3、4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1S2S3 ． 二、选择题 1.函数ykk的图象经过点（-4，6），则下列各点中在y图象上的是（ ） xxk(k0)的图像上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，则y1y2xA.（3，8） B.（3，-8） C.（-8，-3） D.（-4，-6） 2.已知反比例函数y的值是（ ）

A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定

k3.已知点P是反比例函数y=（k≠0）的图像上任一点，过P•点分别作x轴，y轴的平行

x线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k的值为（ ） A．2 B．-2 C．±2 D．4

k24.对于反比例函数y(k0)，下列说法不正确的是（ ） ．．．xA. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（k，k）在它的图象上 C. 它的图象是中心对称图形 D. y随x的增大而增大

k5.如图，已知函数y中，x0时，y随x的增大而增大，则ykxk的大致图象为

x（ ）

y y y y O x x O O x x O

A． B． D． C．

86.如图，双曲线y的一个分支为（ ）

x A．① B．② C．③ D．④

三、解答题

1.如图，正比例函数ykxk0与反比例函数

ykC两点，过A点作xx的图象交于A、

轴的垂线，垂足为B，过C点作x轴的垂线，垂足为D，求S四边形ABCD．

2.如图，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数ykk0，x0的图象上，点Pm，n是函数ykk0，x0的图象上的xx任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.

（1）求B点坐标和k的值；

9时，求点P的坐标； 2 （3）写出S关于m的函数关系式.

（2）当S

思维与能力提升

k1x与双曲线y(k0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4.（1）

x2k求k的值（2）若双曲线y(k0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点

xkO的另一条直线l交双曲线y(k0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、

xQ为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.

如图，已知直线y

反比例函数和一次函数的综合应用

知识点精讲

1.回顾反比例函数、一次函数图象及性质 2.考题常见类型

①交点与解析式相互转化 ②求三角形、四边形面积 ③特殊三角形、四边形的存在性问题 ④其它综合 3.应用问题

①实际应用 ②与几何图形相关的应用

典型例题讲解及思维拓展

例1.如图，已知反比例函数y(k0)的图象经过点A(3，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为3. ①求k和m的值；

②若一次函数yax1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数和AO:AC的值.

kx

例2. 已知点A是直线yx(k1)和双曲线y在第四象限的交点，AB⊥x轴

于点B，且SABO3. 2（1）求这两个函数的解析式

（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积，

（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.

kx

C D O yB xA 例3 若一次函数y2x1和反比例函数yk的图象都经过点（1，1）． 2x（1）求反比例函数的解析式；

（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；

（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．

例4 为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，

室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为：________，自变量x的取值范围是：_______，药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；

(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

例5 ：如图所示，A，B是函数y

1的图象上关于x原点O对称的任意两点，AC//x轴，BC//y轴，△ABC的面积为S，求S的值。

变式练习1：如图，正比例函数ykx(k0)与反比例函数y过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，求S△ABC

1的图象相交于A、C两点，x

巩固训练题

一、填空题

k

1.反比例函数y = x 的图象上有一点P (m，n)，已知m +n = 3，且P到原点的距离为13，则该反比例函数的表达式是 .

k1002.如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且

x3OB:OD5:3，则k ．

53.如图，反比例函数y的图象与直线ykx(k0)相交于B两点，AC∥y轴，BC∥xx轴，则△ABC的面积等于 个面积单位.

k(x0)经过矩形OABC过AB的中点F，交BC于点E，且四边x形OEBF的面积为2，则k________．

k9445.如图，直线yx与双曲线y（x0）交于点A．将直线yx向右平移个单

x233AOk2，则k ． 位后，与双曲线y（x0）交于点B，与x轴交于点C，若BCx y y y y A E C A B B C O F 2B yD x xB x O C x O C x O A 4题图 5题图 2题图 3题图

4.如图，已知双曲线y分别作x轴的垂线与反比例函数y2x0的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形x并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S5的值OPA11、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，6.如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1、A2、A3、A4、A51A1A2A2A3A3A4A4A5，过点A为 ．

二、选择题

1.如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图象大致是（ ）

4(x>0) x的图象相交于点 A、B，设点A的坐标为(x1，，y1)，那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为( )

A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，6

k3.已知关于x的函数y=k(x-1)和y=-(k≠0),它们在同一坐标

x系内的图象大致是下图中的( )

2.如图，在直角坐标系中，y6x直线与函数y=

4. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y

若x10x2，则有（ ）

A．y10y2 B．y20y1 C．y1y20 D．y2y10

k

（k0）图象上的两点， x

5.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是

y y y （ ） y 10 10

12 5 5 y 2 2 x O 2 10 x O 2 10 x O 2 10 x O 2 10 x 12 A． B． C． D．

三、解答题

1.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元至0.75元

之间.经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与x0.4元成反比例,当x0.65时，y0.8.

⑴求y与x之间的函数关系式；

⑵若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年

(用电量)] 度电力部门的收益将比上年度增加20%?收益=(实际电价－成本价)×

2制作一种产品，需先将材料加热到60C后，再进行操作，设刻材料温度为yC，从开始加热计算的时间为x分钟，据了解，该材料加热后，温度y与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图)，已知该材料在操作加工前的温度为15C，加热5分钟后温度达到60C.

⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系；

⑵拫据工艺要求，当材料的温度低于15C时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多长时间？

60 y15 O 5 x思维与能力提升

已知：如图，正比例函数yax的图象与反比例函数yk的图象交于点A3， 2．x（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

3，（3）Mm，n是反比例函数图象上的一动点，其中0m过点M作直线MN∥x轴，

y B

M D

交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．