广东省深圳中学八年级数学下学期期中试卷(含解析)

广东省深圳中学八年级数学下学期期中试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣3a＞﹣3b C．﹣a＜﹣b D．

2．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ） A．（﹣1，0）

B．（﹣1，﹣1） C．（﹣2，0）

D．（﹣2，﹣1）

3．把不等式x+1≥0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ） A．C．

B．D．

4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5 C．x2+1＝x（x+） D．x2+4x+4＝（x+2）2

5．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

6．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为（ ）cm A．6

B．8

C．

D．5

7．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m+1）提取公因式m+1后，余下的部分是（ ） A．m+1 B．m﹣1 C．m

D．2 m+1

8．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，AB＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，△BEC的周长为13，则BC＝（ ）

1

A．5

B．6

C．7

D．8

9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是（ ）

A．7

B．6

C．5

D．4

10．若关于x、y的二元一次方程组A．a＞2 B．a＜2 C．a＞4 D．a＜4

的解满足x+y＜2，则a的取值范围是（ ）

11．如图，正方形OABC的两边OA.OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）

A．（2，10） B．（﹣2，0）

C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）

12．如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（ ）

2

A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3 二、填空题（本题共8道小题，每题2分，共16分） 13．多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是________-．

14．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为________．

15．如图，点P为等边△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝2，那么PP′＝____________．

16．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则AD的长为_________．

17．已知关于x的不等式x﹣a＜0的只有三个正整数解，那么a的取值范围是______．

18．如图，在△ABC中，点D.E分别在AB.AC 边上，AB＝AC，BE＝BC，AE＝DE＝DB，那么∠A＝_______度．

3

19．在RtABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝（如图），若将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′

C′的位置，联结C′B，则C′B的长为________．

20．已知△ABC中，BC＝6，AB.AC的垂直平分线分别交边BC于点M、N，若MN＝2，则△AMN的周长是________-．

三.解答题（本题共7道小题，第21题5分，第22题10分，第23题6分，第24题6分，第25题6分，第26题6分，第27题9分，共48分） 21．解不等式22．因式分解 （1）ax2﹣4ay2 （2）x3﹣8x2+16x

23．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（小方格是边长1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）画出△A2B2C2，使得△ABC和△A2B2C2关于原点O中心对称．

，并将解集在数轴上表示出来．

24．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DF⊥AC于F．线段AB上一点E，且DE＝DC．证明：BE＝CF．

4

25．阅读理解题：

（1）原理：对于任意两个实数A.b，

若ab＞0，则a和b同号，即：

若ab＜0，则a和b异号，即：

（2）分析：对不等式（x+1）（x﹣2）＞0来说，把（x+1）和（x﹣2）看成两个数a和b，所以按照

上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ）

所以不等式（x+1）（x﹣2）＞0的求解就转化求解不等式组（I）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式x2﹣x﹣12＞0

26．某年级380名师生秋游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表． 载客量（座/辆） 租金（元/辆） 甲种客车 60 550 乙种客车 45 450 （1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式； （2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？ 27．几何探究题

（1）发现：在平面内，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b．

当点A在线段BC上时（如图1），线段AB的长取得最小值，最小值为_________； 当点A在线段BC延长线上时（如图2），线段AB的长取得最大值，最大值为______-．

（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图3，分别以AB.AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD.BE． ①证明：CD＝BE；

5

②若BC＝3，AC＝1，则线段CD长度的最大值为________．

（3）拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣3a＞﹣3b C．﹣a＜﹣b D．

【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．

【解答】解：A.a＞b两边都﹣2可得a﹣2＜b﹣2，错误； B.a＞b两边都乘以﹣3可得﹣3a＜﹣3b，错误； C.a＞b两边都乘以﹣1可得﹣a＜﹣b，正确； D.a＞b两边都除以2可得＞，错误； 故选：C．

6

【点评】此题主要考查了不等式的基本性质．注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．

2．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ） A．（﹣1，0）

B．（﹣1，﹣1） C．（﹣2，0）

D．（﹣2，﹣1）

【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点B的坐标为（1﹣2，3﹣4），进而可得答案．

【解答】解：将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（1﹣2，3﹣4）， 即（﹣1，﹣1）， 故选：B．

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 3．把不等式x+1≥0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ） A．C．

B．D．

【分析】先求出不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【解答】解：移项得，x≥﹣1， 故此不等式的解集为：x≥﹣1， 在数轴上表示为：

．

故选：B．

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．

4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5 C．x2+1＝x（x+） D．x2+4x+4＝（x+2）2

【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．

7

【解答】解：A和B都不是积的形式，应排除； C中，结果中的因式都应是整式，应排除． D.x2+4x+4＝（x+2）2，正确． 故选：D．

【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．

5．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 【解答】解：A.是中心对称图形，故本选项正确； B.不是中心对称图形，故本选项错误； C.不是中心对称图形，故本选项错误； D.不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：A．

【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．

6．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为（ ）cm A．6

B．8

C．

D．5

【分析】利用三角形的内角和和角的比求出三边的比，再由最小边BC＝4cm，即可求出最长边AB的长．

【解答】解：设∠A＝x， 则∠B＝2x，∠C＝3x，

由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180° 解得x＝30°

即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°

8

此三角形为直角三角形 故AB＝2BC＝2×4＝8cm 故选：B．

【点评】本题很简单，考查的是直角三角形的性质，即在直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半．

7．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m+1）提取公因式m+1后，余下的部分是（ ） A．m+1 B．m﹣1 C．m

D．2 m+1

【分析】直接提取公因式（m+1）进而合并同类项得出即可． 【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m+1） ＝（m+1）（m﹣1+1） ＝m（m+1）． 故选：C．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．

8．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，AB＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，△BEC的周长为13，则BC＝（ ）

A．5

B．6

C．7

D．8

【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：∵∠ABC＝∠C，AB＝8， ∴AC＝AB＝8，

∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB，

由题意得，BC+BE+CE＝13， ∴BC+EA+EC＝13，即BC+AC＝13， ∴BC＝5，

9

故选：A．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是（ ）

A．7

B．6

C．5

D．4

【分析】先求出△ABD的面积，再得出△ADC的面积，最后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，从而得解． 【解答】解：∵DE＝3，AB＝6， ∴△ABD的面积为∵S△ABC＝15，

∴△ADC的面积＝15﹣9＝6， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， ∴AC边上的高＝DE＝3， ∴AC＝6×2÷3＝4， 故选：D．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

，

10．若关于x、y的二元一次方程组A．a＞2 B．a＜2 C．a＞4 D．a＜4

的解满足x+y＜2，则a的取值范围是（ ）

【分析】将方程组中两方程相加，表示出x+y，代入x+y＜2中，即可求出a的范围．

【解答】解：，

①+②得：4x+4y＝a+4，即x+y＝∵x+y＝∴a＜4．

＜2，

，

10

故选：D．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x+y是解本题的关键． 11．如图，正方形OABC的两边OA.OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）

A．（2，10） B．（﹣2，0）

C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0） 【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可． 【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上， ∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，

①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2， 所以，D′（﹣2，0），

②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2， 所以，D′（2，10），

综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）． 故选：C．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．

12．如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（ ）

A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3

【分析】函数y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），求不等式﹣x+2

11

≥ax+b的解集，就是看函数在什么范围内y＝﹣x+2的图象对应的点在函数y＝ax+b的图象上面． 【解答】解：从图象得到，当x≤3时，y＝﹣x+2的图象对应的点在函数y＝ax+b的图象上面， ∴不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3． 故选：D．

【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 二、填空题（本题共8道小题，每题2分，共16分） 13．多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是 x﹣1 ． 【分析】分别利用公式法分解因式，进而得出公因式．

【解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是x﹣1， 故答案为：x﹣1．

【点评】此题主要考查了公因式，正确分解因式是解题关键．

14．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 2 ．

【分析】过P作PE垂直与OB，由∠AOP＝∠BOP，PD垂直于OA，利用角平分线定理得到PE＝PD，由PC与OA平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP为角平分线得到一对角相等，等量代换可得∠COP＝∠CPO，又∠ECP为三角形COP的外角，利用三角形外角的性质求出∠ECP＝30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边PC的长求出PE的长，即为PD的长．

【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，

∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE， ∵PC∥OA， ∴∠CPO＝∠POD，

12

又∠AOP＝∠BOP＝15°， ∴∠CPO＝∠BOP＝15°， 又∠ECP为△OCP的外角， ∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，

在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4， ∴PE＝PC＝2， 则PD＝PE＝2． 故答案为：2．

【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．

15．如图，点P为等边△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝2，那么PP′＝ 2 ．

【分析】根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，根据旋转的性质得出AP＝AP′，∠BAC＝∠PAP′＝60°，根据等边三角形的判定得出△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质得出即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴旋转角的度数为60°， 即∠PAP′＝∠BAC＝60°， 根据旋转得出AP＝AP′， ∴△APP′是等边三角形， ∴PP′＝AP， ∵AP＝2， ∴PP′＝2， 故答案为：2．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，能求出△APP′是等边三角形

13

是解此题的关键．

16．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则AD的长为 12 ．

【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得DE的长，再利用勾股定理得出答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵点E为AC的中点， ∴DE＝CE＝AC＝

．

∵△CDE的周长为24， ∴CD＝9， ∴AD＝

故答案为：12．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质、勾股定理，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

17．已知关于x的不等式x﹣a＜0的只有三个正整数解，那么a的取值范围是 3＜a≤4 ． 【分析】先求出不等式的解集，根据已知得出关于a的不等式组，即可得出答案． 【解答】解：由x﹣a＜0得x＜a， ∵不等式只有三个正整数解， ∴3＜a≤4， 故答案为：3＜a≤4．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．

14

＝＝12．

18．如图，在△ABC中，点D.E分别在AB.AC 边上，AB＝AC，BE＝BC，AE＝DE＝DB，那么∠A＝ 45 度．

【分析】设∠A＝x，则∠DBE＝∠DEB＝x，根据题意推出∠ABC＝∠C＝∠BEC＝x，列出方程即可解决问题．

【解答】解：∵AE＝ED＝BD，

∴∠A＝∠ADE，∠DBE＝∠DEB，设∠A＝x，则∠DBE＝∠DEB＝x， ∵∠BEC＝∠A+∠ABE，BE＝BC， ∴∠C＝∠BEC＝x， ∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝x， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+x+x＝180°， ∴x＝45° 故答案为45．

【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的性质，重合利用参数解决问题，属于中考常考题型． 19．在RtABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝C′的位置，联结C′B，则C′B的长为

（如图），若将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′

﹣1 ．

15

【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB＝AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD.C′D，然后根据BC′＝BD﹣C′D计算即可得解． 【解答】解：如图，连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB＝BB′，

在△ABC′和△B′BC′中，

，

∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠ABC′＝∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D， 则BD⊥AB′， ∵∠C＝90°，AC＝BC＝∴AB＝2， ∴BD＝2×

＝

，

，

C′D＝×2＝1， ∴BC′＝BD﹣C′D＝故答案为

﹣1．

﹣1．

16

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．

20．已知△ABC中，BC＝6，AB.AC的垂直平分线分别交边BC于点M、N，若MN＝2，则△AMN的周长是 6或10 ．

【分析】由直线PM为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝BM，同理可得AN＝NC，然后表示出三角形AMN的三边之和，等量代换可得其周长等于BC的长，由BC的长即可得到三角形AMN的周长． 【解答】解：图1，∵直线MP为线段AB的垂直平分线， ∴MA＝MB，

又直线NQ为线段AC的垂直平分线， ∴NA＝NC，

∴△AMN的周长l＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC， 又BC＝6，

则△AMN的周长为6，

如图2，△AMN的周长l＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC+2MN， 又BC＝6，

则△AMN的周长为10， 故答案为：6或10

17

【点评】此题考查了线段垂直平分线定理的运用，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线定理是解本题的关键．

三.解答题（本题共7道小题，第21题5分，第22题10分，第23题6分，第24题6分，第25题6分，第26题6分，第27题9分，共48分） 21．解不等式

，并将解集在数轴上表示出来．

【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案． 【解答】解：去分母，得2（2x﹣1）+（5x﹣1）≤6， 去括号，得4x﹣2+5x﹣1≤6， 移项、合并同类项，得9x≤9， x系数化成1，得x≤1．

在数轴上表示不等式的解集如图所示．

【点评】本题考查一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，本题属于基础题型． 22．因式分解 （1）ax2﹣4ay2 （2）x3﹣8x2+16x

【分析】（1）先提公因式a，再利用平方差公式分解可得； （2）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解可得．

【解答】解：（1）ax2﹣4ay2＝a（x2﹣4y2）＝a（x+2y）（x﹣2y）； （2）x3﹣8x2+16x＝x（x2﹣8x+16）＝x（x﹣4）2．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

23．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（小方格是边长1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；

18

（2）画出△A2B2C2，使得△ABC和△A2B2C2关于原点O中心对称．

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1.B1.C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2.B2.C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作；

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移．

24．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DF⊥AC于F．线段AB上一点E，且DE＝DC．证明：BE＝CF．

19

【分析】根据角平分线的性质得出BD＝DF，利用HL证明Rt△BED与Rt△DFC全等，利用全等三角形的性质证明即可．

【解答】证明：∵∠B＝90°，AD平分∠BAC，DF⊥AC于F， ∴BD＝DF，

在Rt△BED与Rt△DFC中∴Rt△BED≌Rt△DFC（HL）， ∴BE＝CF．

，

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并构造出全等三角形是解题的关键． 25．阅读理解题：

（1）原理：对于任意两个实数A.b，

若ab＞0，则a和b同号，即：

若ab＜0，则a和b异号，即：

（2）分析：对不等式（x+1）（x﹣2）＞0来说，把（x+1）和（x﹣2）看成两个数a和b，所以按照

上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ）

所以不等式（x+1）（x﹣2）＞0的求解就转化求解不等式组（I）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式x2﹣x﹣12＞0

【分析】由x2﹣x﹣12＞0知（x+3）（x﹣4）＞0，根据题意得出①求解可得．

【解答】解：∵x2﹣x﹣12＞0， ∴（x+3）（x﹣4）＞0，

或②，再分别

则①或②，

解不等式组①，得：x＞4， 解不等式组②，得：x＜﹣3，

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所以原不等式得解集为x＜﹣3或x＞4．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据有理数乘法的符号法则列出关于x的一元一次不等式组．

26．某年级380名师生秋游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表． 载客量（座/辆） 租金（元/辆） 甲种客车 60 550 乙种客车 45 450 （1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式； （2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？ 【分析】（1）根据表格可以求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；

（2）由表格中的数据可以得到甲乙两辆车的载客量应至少为380人，从而可以列出相应的不等式得到x的值，因为x为整数，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由题意，得 y＝550x+450（7﹣x）， 化简，得y＝100x+3150，

即y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y＝100x+3150； （2）由题意，得 60x+45（7﹣x）≥380， 解得，x≥

．

∵y＝100x+3150， ∴k＝100＞0，

∴x＝5时，租车费用最少，最少为：y＝100×5+3150＝3650（元），

即当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是3650元． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 27．几何探究题

（1）发现：在平面内，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b．

当点A在线段BC上时（如图1），线段AB的长取得最小值，最小值为 a﹣b ； 当点A在线段BC延长线上时（如图2），线段AB的长取得最大值，最大值为 a+b ．

21

（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图3，分别以AB.AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD.BE． ①证明：CD＝BE；

②若BC＝3，AC＝1，则线段CD长度的最大值为 4 ．

（3）拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

【分析】（1）根据点A位于线段BC上时，线段AB的长取得最小值，根据点A位于BC的延长线上时，线段AB的长取得最大值，即可得到结论；

（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；

②由于线段CD长的最大值＝线段BE的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；

（3）将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2

+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AB的长取得最小值，最小值为BC﹣AC，∵BC＝a，AC＝b，∴BC﹣AC＝a﹣b，

当点A在线段BC延长线上时，线段AB的长取得最大值，最大值为BC+AC，∵BC＝a，AC＝b，∴BC+AC＝a+b，

故答案为：a﹣b，a+b；

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（2）①∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠DAC＝∠BAE，

在△ACD和△AEB中，，

∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD＝BE；

②∵线段CD的最大值＝线段BE长的最大值，

由（1）知，当线段BE的长取得最大值时，点E在BC的延长线上，∴最大值为BC+CE＝BC+AC＝4； 故答案为：4； （3）

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN， 则△APN是等腰直角三角形， ∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0）， ∴OA＝2，OB＝5， ∴AB＝3，

∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值， ∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值， 最大值＝AB+AN， ∵AN＝

AP＝2

， ∴最大值为2

+3；

如图2，过P作PE⊥x轴于E，连接BE， ∵△APN是等腰直角三角形， ∴PE＝AE＝

，

23

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣∴P（2﹣

，

）．

＝2﹣，

如图3中，根据对称性可知，当点P在第四象限时，P（2﹣综上述，满足条件的点P坐标（2﹣

，

）或（2﹣

，﹣

，﹣）时，也满足条件．

+3．

），AM的最大值为2

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

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