2013-2014版高中数学(人教A版)选修1-1活页规范训练 模块检测 Word版含解析]

模块检测

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

11

1．已知命题p：若x＋y＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则a2

给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4 解析 命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真． 答案 B

π1

2．“α＝6＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝2”的( )． A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

πππ1

解析 当α＝6＋2kπ(k∈Z)时，cos 2α＝cos(4kπ＋3)＝cos 3＝2.反之当πππ1

cos 2α＝2时，有2α＝2kπ＋3(k∈Z)⇒α＝kπ＋6(k∈Z)，或2α＝2kπ－3π

(k∈Z)⇒α＝kπ－6(k∈Z)，故应选A. 答案 A

3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1

＋x2＝6，那么|AB|等于( )．

A．10 B．8 C．6 D．4 解析 由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 答案 B

4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a等于( )． A．2 B．3 C．4 D．5

解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.

答案 D

5．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )． A．y2＝±4x C．y2＝4x

B．y2＝±8x D．y2＝8x

a

解析 y2＝ax的焦点坐标为(4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(xaa1|a||a|

－4)，令x＝0得y＝－2.∴2×4×2＝4，∴a2＝，∴a＝±8. 答案 B

6．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点共有( )．

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析 在极小值点附近左负右正，有一个极小值点． 答案 A

x2y2

7．设双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )．

A.3 B．2 C.5 D.6 x2y2b2

解析 双曲线a2－b2＝1的渐近线方程为y＝±x，因为y＝x＋1与渐近线相

a

222

c－abbc22

切，故x＋1±x＝0只有一个实根，∴2－4＝0，∴2＝4，∴2＝5，∴e

aaaa

＝5. 答案 C

x2y2x2y2

8．双曲线a2－b2＝1与椭圆m2＋b2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是( )． A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形 解析 双曲线的离心率

a

D．等腰三角形

222a＋be1＝2，椭圆的离心率

22

2m－be2＝由已知2，

m

2

e21e2＝

a2＋b2m2－b2

1，即a2×m2＝1，化简，得a2＋b2＝m2. 答案 C

9．函数y＝xln x在(0，5)上是( )． A．单调增函数 B．单调减函数

11

C．在0，e上单调递增，在e，5上单调递减

11

D．在0，e上单调递减，在e，5上单调递增

1解析 f′(x)＝ln x＋x·x＝ln x＋1(x>0)． 1

令f′(x)＝0，得x＝e，

11

∴在x∈0，e上，f′(x)<0，在x∈e，5，f′(x)>0，故选D.

答案 D

π

10．若03sin x C．2x＝3sin x

B．2x<3sin x D．与x的取值有关

解析 令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x. 2

当cosx<3时，f′(x)>0， 2

当cos x＝3时，f′(x)＝0， 2

当cos x>3时，f′(x)<0.

π

即当0π

而f(0)＝0，f＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关

2

系与x取值有关．故选D. 答案 D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 11．给出下列结论：

①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧綈q”是假命题；

a

②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是b＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．

其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析 对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；对于②，当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③

y2

12．与双曲线x－4＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是

2

______________．

y2

解析 依题意设双曲线的方程x－4＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，

2

x2y2

所以所求双曲线的标准方程为3－12＝1. x2y2

答案 3－12＝1

x

13．曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为________．

x－2解析 y′＝

x－2－x－2

＝，∴y′|x＝1＝－2，

（x－2）2（x－2）2故所求切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0. 答案 2x＋y－1＝0

x2y2

14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：25＋9＝1的左、右焦点分别是F1、F2，

P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______． 解析 ∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，

222

|PF1|＋|PF2|＝4c＝，1∴解得|PF1||PF2|＝18.∴△PF1F2的面积为2|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，

1

|PF1|·|PF2|＝2×18＝9. 答案 9

三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

x2y2

15．(10分)已知命题p：方程2m＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：

9－my2x26

双曲线5－m＝1的离心率e∈(2，2)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围． 解 若p真，则有9－m>2m>0， 即00， b2m35

且e＝1＋a2＝1＋5∈(2，2)，即22

若p、q中有且只有一个为真命题，则p、q一真一假． ①若p真、q假，

55

则05

则m≥3或m≤0，且2故所求范围为：016．(10分)已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．

解 由f(x)>1，得ax－ln x－1>0. 1＋ln x

即a>x在区间(1，＋∞)内恒成立．

设g(x)＝

1＋ln xln x

，则g′(x)＝－xx2，

∵x>1，∴g′(x)<0. ∴g(x)＝

1＋ln x

x在区间(1，＋∞)内单调递减．

∴g(x)1＋ln x

x<1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.

17．(10分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点． (1)求a的取值范围；

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值． y＝ax＋1，

解 (1)由22消去y，

3x－y＝1得(3－a2)x2－2ax－2＝0.

2

3－a≠0，

依题意得即－6Δ>0，

2a

x1＋x2＝，3－a2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

－2

x1x2＝3－a2.∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB， ∴x1x2＋y1y2＝0，

即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0， 即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0. －22a

∴(a2＋1)·2＋a·2＋1＝0，

3－a3－a

∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．故a＝±1.

18．(12分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 解 设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15－m)辆车，

则总利润y＝5.06m－0.15m2＋2(15－m)＝－0.15m2＋3.06m＋30，所以y′＝－

0.3m＋3.06.

令y′＝0，得m＝10.2. 当0≤m<10.2时，y′>0； 当10.2故当m＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值． 又由于m为正整数，且当m＝10时，y＝45.6； 当m＝11时，y＝45.51.

故该公司获得的最大利润为45.6万元．

19．(12分)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．

(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；

3545

(2)已知点M(5，5)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

解 (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r. 圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2， 圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2. |CF1|＝r＋2，|CF1|＝r－2，

由题意得或

|CF|＝r－2|CF|＝r＋2，∴||CF1|－|CF||＝4.∵|F1F|＝25>4，

x2

∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为4－y2＝1.

(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，

∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|， 且|MF|＝

3545

（5－5）2＋（5－0）2＝2.

直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得 y＝－2x＋25，

x22整理得15x2－325x＋84＝0. －y＝1，4

－2514565

解得x1＝15(舍去)，x2＝5.此时y＝5. ∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为 65

(5，－

)．