抛物线专题练习(二)

一、选择题

1. 已知抛物线y2px上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ）

2. 将抛物线y24x沿向量a平移得到抛物线y24y4x，则向量a为 A．(－1,2)

3. 抛物线yax2的焦点坐标为

A．(0,) B．(0,) C．(0,

4. 正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y24x上，则这个正三角形的边长为（ ） A．43

5. 在y2x 上有一点P ，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )

A．（－2，1） B．（1，2） C．(2，1） D．（－1，2）

6. 设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ).

A.y4x B.y8x C. y4x D. y8x

2222222A．x=8 B．x=-8 C．x=4 D．x=-4

B．(1,－2) C．(－4,2) D．(4,－2)

1aa411) D．(,0) 4a4aB．83 C．8 D．16

7. 抛物线y＝x上的点到直线2x－y－10＝0的最小距离为（ ）

95A．

5

8. 两个正数a,b的等差中项是的焦点坐标是

9. 直线l过抛物线yx的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角22

B．0

9C．

5

D．

5 5

9b2，一个等比中项是25，且ab，则抛物线yx2a

（ ） A．(5,0) 16B．(,0)

25C．(,0)

15D．(,0)

15

4，则|FA|的取值范围是（ ）

A．[,

121313132) B．(,] ] C．(,] D．(,142424244210. 已知点A(1,0),B(1,0)及抛物线y22x，若抛物线上点P满足PAmPB，则m的最大值为（ ）

（A）3 （B）2 （C）3 （D）2

二、填空题

211. 设点F为y4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若

FAFBFC0，则|FA||FB||FC| .

1)的距离与点P到抛物线焦点距离12. 已知点P在抛物线y4x上，那么点P到点Q(2，之和取得最小值时，点P的坐标为__ 。

2 13. 已知直线ykx2k0与抛物线C:y8x相交于A,B两点，F为C的焦点，

2若|FA|2|FB|，则k ．

222xky3k(k0)的一个焦点与抛物线y12x的焦点重合，则该椭14. 已知椭圆

圆的离心率是

三、解答题

15. 设直线y2x4与抛物线y24x交于A,B两点（点A在第一象限）. （Ⅰ）求A,B两点的坐标；

（Ⅱ）若抛物线y24x的焦点为F，求cosAFB的值.

16. 抛物线y24x的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2,y10,y20)在抛物线上，且存在实数λ，使AFBF0，|AB|（Ⅰ）求直线AB的方程； （Ⅱ）求△AOB的外接圆的方程。

25 4 17.已知一条曲线Ｃ在y轴右边，Ｃ上每一点到点Ｆ（１，０）的距离减去它到y轴距离的差都是１，

（１）求曲线Ｃ的方程。

（２）是否存在正数m，对于过点Ｍ（m,0）且与曲线Ｃ有两个交点Ａ，Ｂ的任一直线，都有FAFB0？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由。

218. 已知抛物线C:x2py(p0)，其焦点F到准线的距离为

1。, 2（1）试求抛物线C的方程；

（2）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值．

答案

一、选择题

1. A2. A3. C4. B5. B6. B7. A8. C9. D10. C 二、填空题

11. 612. (,1)13.

1422 3设抛物线C:y28x的准线为l:x2直线

ykx2k0恒过定点P2,0 .如图过A、B

分 别作AMl于M,BNl于N, 由|FA|2|FB|, 则|AM|2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则|OB| |OB||BF| 点B的横坐标为1, 故点B的坐标为

1|AF|, 2(1,22)k314. 2

三、解答题

22022, 1(2)3y24x215. 解：（Ⅰ）由消y得 x5x40 ……（3分）

y2x4解出x11，x24，于是，y12，y24

因为点A在第一象限，所以A,B两点的坐标分别为A(4,4)，（6分） B(1,2) ………（Ⅱ）抛物线y24x的焦点为F(1,0)，由（Ⅰ）知，A(4,4)，B(1,2)，

于是，cosAFBFAFB(3,4)(0,2)4 …（12分）

|FA||FB|52516. 解：（1）抛物线y24x的准线方程为x1．

∵AFBF0，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得|AB|=x1x22…1分

设直线AB：yk(x1)，而ky1y2,x1x2,y10,y20,k0. x1x2yk(x1),由2得k2x22(k22)xk20．………………2分 y4x,2(k22),2(k22)25x1x21622∴|AB|=x1x22= ．∴．……4分 2kk29k4xx1,12 从而k44，故直线AB的方程为y(x1)，即4x3y40………6分 334x3y40,1（2）由2 求得A（4，4），B（，－1）………………8分

4y4x,设△AOB的外接圆方程为x2y2DxEyF0，则

29D,4F0,3 16164D4EF0,解得E,…………11分

4111D(E)F0.F0.416故△AOB的外接圆的方程为x2y2293xy0．………12分 4417. 解：设p(x,y)是曲线C上任意一点，那么点p(x,y)满足

22 (x1)yx1(x0)

化简得：y4x(x0)。

（2）设过点M(m,0)(m0)的直线L与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 设直线l的方程为xtym

2 由xtym22，得y4ty4m0，16(tm)0 2y4x 于是y1y24t（1）

y1y24m 又FA(x11,y1)，FB(x21,y2) FAFB0(x11)(x21)y1y20 即x1x2(x1x2)1y1y20 （2）

y2又x，于是不等式（2）等价于

4y12y22y12y22y1y2()10

4444(y1y2)21y1y2[(y1y2)22y1y2]10 （3） 1由（1）式，不等式（3）等价于m26m14t2 （4）

22对任意实数t,4t的最小值为0，所以不等式（4）对于一切t成立等价于m6m10。

即322m322。 18. 解：（1）xy

22（2）设P(t,t2),Q(x,x2),N(x0x0)，则直线MN的方程为yx02x0(xx0)

2x令y0，得M(0,0)，kPM22t22t2x0x2,kx0x x02tx0NQx0xt2NQQP，且两直线斜率存在，kPMkNQ2t2(x0x)1， 1，即

2tx02t2x2t2(1)整理得x0，又Q(x,x)在直线PM上， 212t则MQ与MP共线，得x02xt(2) xt 2t2x2tx212xt22tt(t0)t由（1）、（2）得，，或（舍） 233xt12t3x2所求t的最小值为。

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