非线性扰动离散广义时滞系统的鲁棒H_控制

文章编号:1001-506X(2009)04-0916-06

系统工程与电子技术

SystemsEngineeringandElectronicsVol.31󰀁No.4Apr.2009

非线性扰动离散广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制

沃松林1,史国栋1,邹󰀁云2

(1.江苏技术师范学院电气信息工程学院,江苏常州213001;

2.南京理工大学自动化学院,江苏南京210094)

󰀁󰀁摘󰀁要:研究了扰动是满足Lipschitz条件的一类非线性离散广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制和鲁棒H󰀁保性能控制问题。目的是设计系统的鲁棒H󰀁控制器和鲁棒H󰀁保性能控制器。应用线性矩阵不等式方法,分别给出了系统的鲁棒H󰀁控制器和鲁棒H󰀁保性能控制器存在的充分条件;并在这些条件可解时,分别给出了鲁棒H控制器和鲁棒H󰀁保性能控制器的表达式。最后用例子说明了所给方法的应用。

关键词:扰动系统;离散广义系统;时滞;鲁棒H󰀁控制;保性能控制;LMI方法

中图分类号:TP273󰀁󰀁󰀁󰀁文献标志码:A

󰀁

RobustH-infinitycontrolfordiscrete-timesingularsystemswith

time-delayandnonlinearperturbation

WOSong-lin1,SHIGuo-dong1,ZOUYun2

(1.SchoolofElectricalandInformationEngineering,JiangsuTeachersUniv.

ofTechnology,Changzhou213001,China;

2.SchoolofAutomation,NanjingUniv.ofScienceandTechnology,Nanjing210094,China)

󰀁󰀁Abstract:ThispaperdiscussestherobustH-infinitycontrolproblemandrobustH-infinityguaranteedcost

controlproblemfordiscrete-timesingularsystemswithtime-delayandnonlinearperturbation,whichsatisfiesLipschitzcondition.TheaimsaretodesignarobustH-infinitycontrollerandarobustH-infinityguaranteedcostcontroller,respectively.Bymeansofthelinearmatrixinequalityapproach(LMI),sufficientconditionsforex-istenceofrobustH-infinitycontrollerandrobustH-infinityguaranteedcostcontrollerarepresented,respective-ly.WhentheseLMIsarefeasible,theexplicitexpressionsofrobustH-infinitycontrollerandrobustH-infinityguaranteedcostcontrollerareobtained,respectively.Finally,anumericalexampleisprovidedtodemonstratetheapplicationoftheproposedmethod.

Keywords:perturbationsystem;discrete-timesingularsystem;time-delay;robustH-infinitycontrol;guaranteedcostcontrol;LMIapproach

0󰀁引󰀁言

󰀁󰀁由于广义系统(也称奇异系统)在控制、电路、经济、机

械等领域具有广泛的应用,它能更好地描述实际系统,因而备受关注[1-5]。因为对广义系统的研究,不仅要考虑其渐近稳定性,而且还需要考虑其正则性和脉冲模(因果关系),所以与正则系统相比,对广义系统的研究要困难得多。文献[6-10]研究了不确定是时不变且模有界的离散广义系统的鲁棒稳定和镇定问题,文献[11-12]研究了不确定是模有界的离散广义系统的保性能控制问题,文献[13]研究了不确定是模有界的广义时滞系统的保性能控制问题;这些方法

收稿日期:2008-01-09;修回日期:2008-05-14。

基金项目:国家自然科学基金(60474078);江苏省青蓝工程资助课题

不适合于时变不确定广义系统,尤其是时变非线性扰动广

义系统。而对于不确定是时变的非线性结构扰动的离散广义时滞系统的研究还不多,文献[14]研究了不确定是时变的非线性结构扰动的离散广义时滞系统的广义二次镇定问题,文献[15]研究了具有非线性结构扰动的离散广义时滞系统的保性能控制问题,而对于不确定是时变的非线性结构扰动的离散广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制问题,至今还未见相关报道。

本文研究扰动是满足Lipschitz条件的一类离散广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制问题和鲁棒H󰀁控制保性能控制问题。首先给出非线性结构扰动的广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制和鲁棒H󰀁控制保性能控制的定义;其次应用线性

作者简介:沃松林(19-),男,教授,博士,主要研究方向为广义大系统理论与分散控制。E-mial:wosonglin2000@yahoo.com.cn󰀁第4期沃松林等:非线性扰动离散广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制

[14]

󰀁917󰀁󰀂󰀁

矩阵不等式(LMI)方法,分别设计系统的鲁棒H󰀁控制器

和鲁棒H󰀁控制保性能控制器,使得闭环系统是广义二次稳定且具干扰衰减度󰀁,保性能控制还需满足所给指标有一上界,并分别给出控制器的参数表示式;最后给出例子验证所给方法的有效性。

在本文中,如无特别申明所有矩阵都是具有适当维数的矩阵;HT表示矩阵H的转置矩阵;I表示适当维数的单位矩阵;󰀁󰀁R(n-r)󰀁n为满足󰀁E=0和rank󰀁=n-r的矩阵(这里E󰀁R

n󰀁n

,rankE=r);󰀁y(k)󰀁2=

k=0

󰀁y

󰀁

T

(k)y(k)

12。

1󰀁问题描述与准备

考虑如下非线性扰动离散广义时滞系统Ex(k+1)=Ax(k)+Adx(k-d)+B1󰀁(k)+

(1)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁Gg[k,x(k),x(k-d)]+B2u(k)

z(t)=C1x(k)+C2x(k-d)+D󰀁(k)其中,x(k),󰀁(k),u(k),z(k)分别为系统的状态、扰动输入、控制输入和被控输出向量;矩阵E,A,Ad,B1,B2,C1,C2,D和G均为维数兼容的常数矩阵;rank(E)=r0是已知的正整数;扰动输入󰀁(k)满足󰀁󰀁(k)󰀁2󰀁󰀁;系统的非

s[14]

线性时变扰动g=g[k,x(k),x(k-d)]󰀁R满足

g(k,0,0)=0,󰀁k󰀁Z(2)

和对(k,x(k),x(k-d))满足Lipschitz条件

~~

󰀁g[k,x(k),x(k-d)]-g[k,x(k),x(k-d)]󰀁󰀁

~~

󰀁M[x(k)-x(k)]+Md[x(k-d)-x(k-d)]󰀁(3)

~~nn

󰀁(k,x(k),x(k-d)),(k,x(k),x(k-d))󰀁Z󰀁R󰀁R其中,M,Md是具有适当维数的常数矩阵。从式(3)有󰀁g[k,x(k),x(k-d)]󰀁󰀁󰀁Mx(k)+Mdx(k-d)󰀁

(4)

如果g满足式(2)和式(3),则称g为容许的扰动(或Lips-chitz扰动)。

注1󰀁条件(2)为系统(1)在零解渐近稳定的必要条件,式(3)意味着向量函数g是Lipschitz连续的。

定义1[14]󰀁系统Ex(k+1)=Ax(k)+Adx(k-d)+Gg[k,x(k),x(k-d)]称为广义二次稳定的,如果存在对称矩阵P和正定矩阵Q满足

ETPE󰀁0(5a)

且对满足式(2)、(3)的所有g和对任意的(k,x(-d),

nnn

x(-d+1),󰀁,x(0))󰀁Z󰀁(R󰀁R󰀁󰀂R-{0})有

T

󰀁k=[Ax(k)+Adx(k-d)+Gg]

TT

P[Ax(k)+Adx(k-d)+Gg]-x(k)EPEx(k)+

xT(k)Qx(k)-xT(k-d)Qx(k-d)<0(5b)

󰀁󰀁注2󰀁如果存在对称矩阵P和正定矩阵Q满足(5b),则有[14]:(E,A)是正则且具有因果关系。

注3󰀁如果结构扰动g是线性不确定,如g(k,x(k),x(k-d))=F(󰀁)[Mx(k)+Mdx(k-d)],F(󰀁)是时

T

不变满足F(󰀁)F(󰀁)󰀁I,则当系统(1)是广义系统时,式(5b)就蕴含[A+GF(󰀁)M]TP[A+GF(󰀁)M]-ETPE<0从而由文献[9]知道:(E,A+GF(󰀁)M)是正则的和具有因果关系。

引理1[14]󰀁如果系统Ex(k+1)=Ax(k)+Adx(k-d)+Gg[k,x(k),x(k-d)]是广义二次稳定的,则对所有容许的扰动g,该系统的解x(t)是全局指数稳定的。引理2󰀁对所有容许的扰动g,则以下述说等价:(1)系统Ex(k+1)=Ax(k)+Adx(k-d)+Gg[k,x(k),x(k-d)]是广义二次稳定的;

(2)存在对称矩阵P和正定矩阵Q>0,满足式T

EPE󰀁0和

TTT

A󰀁APAd+MMdAPG

TT

ATATAT<0dPA+MdMdPAd-Q+MdMddPG

TTTGPAGPAdGPG-I

(6)

TTT

这里A󰀁=APA-EPE+Q+MM。

(3)存在正定矩阵X,Q󰀁Rn󰀁n和对称矩阵Y󰀁R(n-r)󰀁(n-r),满足

TT^AAPAd+MMd

TTTT

AdPA+MdMAdPAd-Q+MdMd

GTPAGTPAd

APG

T

<0AdPG

GTPG-I

(7)

T

T

^=APA-EXE+Q+MM,P=X+󰀁Y󰀁。这里A

取系统(1)的状态反馈控制器

u(k)=Kx(k)(8)

这里K为具有适当维数的常数矩阵。则系统(1)和控制器(8)构成的闭环系统为Ex(k+1)=[A+B2K]x(k)+Adx(k-d)+B1󰀁(k)+Gg[k,x(k),x(k-d)](9)z(t)=[C1+DK]x(k)+C2x(k-d)󰀁󰀁选取系统(1)的性能指标为

T

T

T

+󰀁

J=

󰀁[x

k=0

T

(k)Rx(k)+u(k)Su(k)]

T

(10)

这里R>0,S>0。

我们的目的是设计系统(1)的鲁棒H󰀁控制器和鲁棒H󰀁控制保性能控制器。为此我们给出系统(1)的鲁棒H󰀁控制器和鲁棒H󰀁控制保性能控制器的定义。

定义2󰀁对非线性扰动离散广义时滞系统(1)和给定的正数󰀁,如果存在状态反馈控制器(8),使得对所有容许的g,相应的闭环系统(9)有

(1)闭环系统(9)都广义二次稳定的(当󰀁(k)󰀁0);(2)闭环系统(9)在零初始条件(即x(i)=0,i=-d,-d+1,󰀁,-1,0)时,󰀁z(k)󰀁2<󰀁󰀁󰀁(k)󰀁2;

则称非线性扰动离散广义时滞系统(1)是可鲁棒H󰀁控制的,而控制器(8)称为非线性扰动离散广义时滞系统(1)的一个鲁棒H󰀁控制器。

定义3󰀁对非线性扰动离散广义时滞系统(1)和正数󰀁>0,如果存在控制器(8)和一个正数J*,使得对所有容许的g,满足

(1)控制器(8)是系统(1)是鲁棒H󰀁控制器;(2)性能指标J满足J󰀁J*。

则称非线性扰动离散广义时滞系统(1)是可鲁棒H󰀁保性能的,J*称为系统(1)的一个可保性能,而控制器(8)称为系统(1)的一个鲁棒H

󰀁

保性能控制器。

2󰀁鲁棒H󰀁控制器的设计

定理1󰀁对系统(1)和给定的正数󰀁,如果存在正数󰀁,

󰀁󰀂󰀁󰀁918

对称正定矩阵X,Q󰀁R

n󰀁n

系统工程与电子技术

和对称矩阵Y󰀁R

(n-r)󰀁(n-r)

第31卷󰀁

,满足

^A

TT

ATdPA+MdM+C2C1

T

GPABT1PA0

这里

APAd+MMd+C1C2TTAdPAd-Q+CT2C2+MdMd

T

GPAdBT1PAdTTB2PAd+DC2

TTT

APGATdPGT

GPG-IBT1PGT

B2PG

T

APB1ATdPB1T

GPB1

2

BT1PB1-󰀁I

T

B2PB1

T

0APB2+CT2D

<0T

GPB2BT1PB2-V

Td

(11)

^TTTTA=APA-EXE+Q+MM+C1C1

TTT

P=X+󰀁Y󰀁,V=󰀁I+DD+B2PB2

则非线性扰动离散广义时滞系统(1)是可鲁棒H󰀁控制的,控制器为

^A

TTTAdPA+MdM+C2C1

GTPA0

󰀁󰀁(1)当󰀁(k)󰀁0时,因为

󰀁=

󰀁

TTAdPAc+MdM

GTPAc

这里

󰀁1=

^ATT

ATdPA+MdM+C2C1

T

GPA

u(k)=Kx(k)

-1T

K=-(󰀁I+DD+BT(BT2PB2)2PA+DC1)󰀁󰀁证明󰀁记

TT

Ac=A+B2K,󰀁=ATcPAc-EPE+Q+MM由式(11)成立可知道

T

ATPAd+MTMd+CT1C2TTT

AdPAd-Q+C2C2+MdMd

GTPAdTTB2PAd+DC2

T

T

ATPG0TTTAdPGAdPB2+C2D<0GTPG-IGTPB2

T

B2PG-V

AcPG

󰀁ATdPG

T

GPG-I

(C1+DK)C2

CT2C20

T

T

(12)

󰀁AcPA+MMd

TTT

AdPAc+MdMAdPAd-Q+MTdMd

TTGPAcGPAd

ATcPG

T

AdPG+GTPG-I

T

T

ATcPAd+MMdTT

AdPAd-Q+MdMd

GTPAd

(C1+DK)(C1+DK)

CT2(C1+DK)

00

0=󰀁1+󰀁2(13)0

APAd+MMd+C1C2TTAdPAd-Q+MTdMd+C2C2

T

GPAd

TTT

APGATdPGT

GPG-I

T

󰀁1(K)(B2K)TPAd+(DK)TC2(B2K)TPG

T

󰀁2=ATdP(B2K)+C2(DK)00

T

GP(B2K)00

TTTTTT

󰀁1(K)=(B2K)PA+AP(B2K)+(B2K)P(B2K)+C1(DK)+(DK)C1+(DK)(DK)

而

󰀁2󰀁

KT

0+0

ATPB2+CT1DT-1VAdPB2+CT2DV

T

GPB2

KT

0+0

ATPB2+CT1DT-1AdPB2+CT2DV

GTPB2

k-1

T

(14)

将K代入式(14),由Schur补引理和式(12)、(13)知道:式(11)成立就有󰀁<0,再由引理2知道:闭环系统(9)都广义二次稳定的(当󰀁(k)󰀁0)。

(2)在零初始条件即x(i)=0,(i=-d,-d+1,󰀁,-1,0)时,取

V(k)=xT(k)ETPEx(k)+

i=1

k-1

H(k)=-

󰀁g

i=0

T

(i)g(i)+

󰀁[Mx(i)+

i=0

Mdx(i-d)][Mx(i)+Mdx(i-d)]󰀁k󰀁1

T

󰀁x

d

T

(k-i)Qx(k-i)+H(k)󰀁0(15)

其中:H(0)=0,

则注意到式(11),经过计算V(k)沿闭环系统(9)的解有

󰀁kV=V(k+1)-V(k)=

T

[Acx(k)+Adx(k-d)+B1󰀁(k)+Gg]P[Acx(k)+Adx(k-d)+B1󰀁(k)+Gg]-xT(k)ETPEx(k)+

TT

x(k)Qx(k)-x(k-d)Qx(k-d)+

T

[Mx(k)+Mdx(k-d)][Mx(k)+

Mdx(k-d)]-gT(k)g(k)(16)

󰀁第4期而

沃松林等:非线性扰动离散广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制

󰀁919󰀁󰀂󰀁

󰀁[z

󰀁{[(C

i=1

k

k

T

󰀁[z

k

i=1

(i)z(i)-󰀁󰀁(i)󰀁(i)]󰀁

2T

T

2T

(i)z(i)-󰀁󰀁(i)󰀁(i)]+V(k+1)-V(0)=

x(i)

x(i-d)

(xT(i)󰀁xT(i-d)󰀁gT(i)󰀁󰀁T(i))󰀁󰀁i=1g(i)

󰀁(i)

k

(17)

这里

1

i=1

+DK)x(i)+C2x(i-d)][(C1+DK)x(i)+

T

2T

C2x(i-d)]-󰀁󰀁(i)󰀁(i)]+󰀁iV}=

󰀁+(C1+DK)T(C1+DK)

󰀁=

AdPAc+MdM+C2(C1+DK)

GTPAc

B1PAc

其中

T

T

T

T

TT

ATcPAd+MMd+(C1+DK)C2ATcPGAdPG

T

GPG-IB1PG

T

T

T

ATcPB1AdPB1GTPB1B1PB1-󰀁I

(18)

2

T

AdPAd-Q+MdMd+C2C

GTPAd

B1PAd

T

TTTT

=󰀁1+󰀁2󰀁

󰀁1=

^ATT

ATdPA+MdM+C2C1

GPA

BT1PA󰀁1(K)

AdP(B2K)+C2(DK)GTP(B2K)BT1P(B2K)

K0+00

T

T

T

T

ATPAd+MTMd+CT1C2TTTAdPAd-Q+MdMd+C2C2

GPAdBT1PAd

(B2K)TPAd+(DK)TC2

000

K0+00

T

T

ATPGATdPGGPG-IBT1PG000

T

ATPB1ATdPB1GPB1

2

BT1PB1-󰀁I0

00

TT

(B2K)TPG(B2K)TPB1

󰀁2=

而

ATPB2+CT1DAPB2+CD-1V

V

GTPB2BTB21P

Td

T2

ATPB2+CT1DAdPB2+C2D-1

V

GTPB2BT1PB2

T

T

󰀁2󰀁

(19)

将K代入式(19),由Schur补引理和式(17)、(18)知道:式

(11)成立就有󰀁<0。对不等式(17),令k󰀁󰀂,有󰀁z(k)󰀁2<󰀁󰀁󰀁(k)󰀁2。所以在定理1条件下,非线性扰动离散广义时滞系统(1)是可鲁H󰀁棒控制的,控制器为

u(k)=Kx(k),T-1T

K=-(󰀁I+DD+BT(BT2PB2)2PA+DC1)󰀁󰀁注4󰀁定理1给出了系统(1)可鲁棒H󰀁控制的一个用

~

线性矩阵不等式表示的充分条件,它可以利用LMI工具箱

求解控制器增益矩阵,故使用方便。

3󰀁鲁棒H󰀁保性能控制器的设计

定理2󰀁对系统(1)和给定的正数󰀁,如果存在正数󰀁,

n󰀁n(n-r)󰀁(n-r)

对称正定矩阵X,Q󰀁R和对称矩阵Y󰀁R,满足

A

AdPA+MdM+C2C1

GTPA

B1PA0

~

ATPAd+MTMd+CT1C2

T

ATPGAdPG

GTPG-IB1PGBT2PG

T

T

T

ATPB1AdPB1

GTPB1B1PB1-󰀁IBT2PB1

T

T

2

T

T

0

AdPB2+C2D

<0GTPB2

B1PB2

-W

-1

T

T

T

T

TT

AdPAd-Q+C2C2+MdMd

GTPAd

B1PAdT

B2PAd+DTC2

T

T

T

TTT

(20)

T

这里A=APA-EXE+Q+MM+C1C1+R,P=X+󰀁TY󰀁,W=󰀁I+S+DTD+BT2PB2,则系统(1)是鲁棒H󰀁可保性能控制的,其鲁棒H󰀁保性能控制器为

u(k)=Kx(k),

TT

K=-(󰀁I+S+DD+B2PB2)(B2PA+DC1)

相应的可保性能为J

*

=x(0)EXEx(0)+

TT

i=1

󰀁x

d

T

22

(-i)Qx(-i)+󰀁󰀁

证明󰀁注意到式(20)成立有󰀁󰀂󰀁󰀁920

^A

TT

ATdPA+MdM+C2C1

系统工程与电子技术第31卷󰀁

ATPAd+MTMd+CT1C2

TT

ATdPAd-Q+C2C2+MdMd

ATPGATdPGGPG-I

T

0

T

ATdPB2+C2D<0

T

GPB2

(21)

GPA0

因为

(1)从定理1的证明可知道:󰀁=󰀁1+󰀁2,而

T

T

GPAdB2PAd+DC2

T

T

B2PG

T

-W

T

󰀁2󰀁

K

T

APB2+CDAdPB2+C2DW

GPB2

TT

T

-1

T

T1

KW

T

APB2+CDAdPB2+C2DW

GPB2

(23)

TT

T

-1

T

T1

0+00+0

(22)

将K代入式(22),由Schur补引理知道:式(21)成立就有󰀁<0。

(2)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁+diag(R+KTSK󰀁0󰀁0󰀁0)=

󰀁(K)

󰀁3=

T

ATdP(B2K)+C2(DK)

T

󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁1+󰀁3+diag(R󰀁0󰀁0󰀁0)

这里

T

T

T

(B2K)PAd+(DK)C2

000

󰀁(K)=󰀁1(K)+KTSK

(B2K)PG(B2K)PB1

000

000

GTP(B2K)BP(B2K)

T1

而

T

K

󰀁3󰀁

T

ATPB2+CT1DAPB2+CD

GPB2B1PB2

TTTd

T2

K

W

-1

T

ATPB2+CT1DTATdPB2+C2D

0

+00

W

0+00

GPB2B1PB2

T

T

W-1

(24)

󰀁󰀁将K代入式(24),由Schur补引理和式(24)知道:式(20)成立就有

󰀁+diag(R+KSK󰀁0󰀁0󰀁0)<0,

T

即󰀁<-diag(R+KSK󰀁0󰀁0󰀁0)(25)

从而由式(22)、(25)和定理1的证明知道:在定理2的条件下,非线性扰动离散广义时滞系统(1)是可鲁棒H󰀁控制的;下面证明它是可保性能控制的。

取V(k)同式(15),则注意到式(25),经过计算V(k)沿闭环系统(9)的解有

󰀁kV=V(k+1)-V(k)=[Acx(k)+Adx(k-d)+B1󰀁(k)+

Gg]P[Acx(k)+Adx(k-d)+B1󰀁(k)+Gg]-TTTT

x(k)EPEx(k)+x(k)Qx(k)-x(k-d)Qx(k-d)+

[Mx(k)+Mdx(k-d)][Mx(k)+Mdx(k-d)]-gT(k)g(k)=(xT(k)󰀁xT(k-d)󰀁gT(k)󰀁󰀁T(k))

x(k)x(k-d)2T󰀁-[zT(k)z(k)-󰀁󰀁(k)󰀁(k)]󰀁

g(k)󰀁(k)TT2T-x(k)(S+KSK)x(k)+󰀁󰀁(k)󰀁(k)

上式两边对k从0到n求和,注意到V(n)󰀁0有

k=0T

(R+KRK)x(k)󰀁V(0)+󰀁󰀁󰀁(k)󰀁(k)令n󰀁+󰀁,有

T

2k=0

+󰀁

n

T

J=

󰀁[x

k=0

T

2

(k)Rx(k)+uT(k)Su(k)]󰀁V(0)+󰀁󰀁󰀁(k)󰀁22=T

x(0)EXEx(0)+从而定理得证。

T

i=1

󰀁x

d

T

22

(-i)Qx(-i)+󰀁󰀁

4󰀁仿真示例

考虑具有如下系数的系统(1)E=

1

000.120.10

001

0

0,A=0

-0.50.5-0.50.10.5-0.4,-0.1-10.50.02-0.020-0.010.010.02T

T

Ad=

0.2000.1,B1=0.1-0.1B2=

10.501-0.51󰀁x

n

T

g(k)=(k)󰀁

sin(k)sin[x1(k)+x1(k-d)]sin(k2)sin[x2(k)+x2(k-d)],sin(k3)sin[x3(k)+x3(k-d)]󰀁第4期沃松林等:非线性扰动离散广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制

x1(k)

󰀁921󰀁󰀂󰀁

0.100

0

00.1

C1=

1-0.200.5

,D=

0.5110

0,0.50.5,1

,x(-1)=

00.1,0

表示式;最后给出例子验证所给方法的有效性。

x(k)=

x2(k),x(0)=x3(k)

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󰀁

󰀁

x(-2)=

C2=

0.5-0.2

0.50

G=0.01I,d=2,󰀁=0.5,󰀁=0.5

性能指标中取R=I,S=I。因为

󰀁g(k)󰀁󰀁sin[x1(k)+x1(k-d)]+

2

2

Controlfor

sin[x2(k)+x2(k-d)]+sin[x3(k)+x3(k-d)]󰀁[x1(k)+x1(k-d)]+[x2(k)+x2(k-d)]+

[x3(k)+x3(k-d)]

2

2

2

22

descriptorsystems:amatrixinequalitiesapproach[J].Auto-

从而󰀁g[k,x(k),x(k-d)]󰀁󰀂󰀁x(k)+x(k-d)󰀁,也就是M=Md=I。

根据定理2,应用Matlab软件的LMI工具箱,可解得鲁棒H󰀁保性能控制器为

0.03720.0143-0.0194x(k)u(k)=

-0.0010.0815-0.0405*

相应的可保性能为J=4.3298。在此控制器作用下对应闭环系统的状态响应曲线如图1。

󰀁

controlfordiscretesingu-

larsystemswithstatedelayandparameteruncertainty[J].Dynam-icsofContinuous,DiscreteandImpulsiveSystems.SeriesB:Ap-图1󰀁对应闭环系统的状态响应曲线图

plicationsandAlgorithms,2002,9(4):539-554.

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保性能控制[J].控制与决策,2007,22(6):670-674.文献[10]的方法仅适用于不确定是线性时不变的离散

广义时滞系统;从本例看到:本文方法适用于满足󰀁g[k,x(k),x(k-d)]󰀁󰀂󰀁Mx(k)+Mdx(k-d)󰀁的线性或非线性扰动(或不确定性)的离散广义时滞系统,它为处理非线性扰动的离散广义时滞系统的H方法。

󰀁

控制提供了一有效

5󰀁结束语

本文研究扰动满足Lipschitz条件的一类离散广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制问题和鲁棒H

󰀁

控制保性能控制问

题。在给出非线性结构扰动的广义时滞系统的鲁棒H󰀁控制和鲁棒H󰀁控制保性能控制的定义的基础上;应用线性矩阵不等式(LMI)方法,分别设计系统的鲁棒H󰀁控制器和鲁棒H󰀁控制保性能控制器,并分别给出控制器的参数