拓扑学教案8

第三章 几种特殊类型的拓扑空间

说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是的。

在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中可能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。

本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理T1,T2,T3和T4公理。

§ 3-1 第一与第二可数公理

基、局部基对于确定X上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。所以，我们试图通过对基或局部基成员加以，形成一类较简单的空间。

定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和可数局部基。

解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。

定义2 拓扑空间X在它的每一点处都有可数局部基，则称X为满足第一可数性公理的空间，简称为C1空间。

定义3 如果拓扑空间X有可数基，则称X为满足第二可数性公理的空间，简称为C2空间。 例1 （C1空间的例子）

结论：每个度量空间都是C1空间（为度量诱导的拓扑）。

解释：因为，设x(X,d)，记

Bx{B(x,)nN} （注：B(x,)为半径则Bx为x的邻域族。

设U是x的任一邻域（即，以x为内点的集合），则存在0，使得B(x,)U。因此，Bx为x处的局部基，且是可数的集族。即X是C1空间。

例2 （非C1空间的例子）

结论：设X为不可数无穷集，C{AC1n1n1的球形邻域） nA是X的可数子集}{} 为X上的余可数拓扑，

C(X,C)为拓扑空间，则X不满足C1公理。

解释：首先，对于x的每一邻域Ux（即C中的开集），Ux是可数集。

利用反证法。现设Vx是点x处的可数局部基，由于对X中每一个异于x的点y，有{y}是x的邻域（因为，{y}是X的可数集），故必存在VyVx使得Vy{y}，即{y}Vy。于是，异于x的全体y{x}，有

CCCC 1

{x}CCVyxCyUxVxUCx

在上式中，左侧{x}是不可数集，而右侧是可数个可数集的并，仍是可数集，而不可能有

“可数集不可数集”

故而是矛盾的，即说明Vx的可数局部基假设是错误的，即X不满足C1公理。

例3 （C2空间的例子） 结论：实数空间R是C2空间。

解释：令B为所有以有理数为端点的开区间构成的集族，可知B是可数族，并且可以证明B是

R的基（留给同学自己证明）。故R满足第二可数公理。

例4 （非C2空间的例子）

结论：设X为不可数无穷集，(X,)是离散拓扑空间，则(X,)不是C2空间。

解释：设 (X,)是离散拓扑空间，X为不可数无穷集。可知，所有单点集{x}都属于。 又由于单点集不能表示成异于自身的其他中成员的并，故单点集必属于基B中成员。 由于X为不可数无穷集，则单点集不是可数的。即，(X,)不是C2空间。 定理1 C2空间一定也是C1空间。

事实上，若X有可数拓扑基B，则任意点x有可数局部基{BBB,xB}。 分析： X是C2X是C1； 反之，X是C1X是C2

X不是C1X不是C2； 反之，X不是C2X不是C1

例如，任一离散空间X（X是不可数集），对于每一xX，单点集{x}就是x处的局部基（只含{x}的一个成员，则是可数的），所以满足第一可数性公理；

又由例4知，X不满足第二可数性公理。

定理2 可分的度量空间是C2空间。（注释：若X存在可数稠密子集，称X是可分的） 证明： 若(X,d)是可分的度量空间，A是它的一个可数稠密子集，记 B{B(a,)aA,n为自然数}

则B是一个可数的开集族。因为aA可数，N可数，故(a,)可数。下面证明B是(X,d)的拓扑基。

提示：只要证明X上的任何开集U及xU，总存在aA（可数稠密集）和自然数n，使得xB(a,)U。（如右图所示）

取0，使得B(a,)U，取n则xB(a,)。

若y(yx)B(a,)，则d(a,y)1n1n1n1n2，aA，使得d(x,a)1，nB x  1/n a U 1n1n12，由三角不等式，有d(x,y)，从而yB(x,)nn（说明：B(a,)不仅是x的局部基，而且是其中任何点的局部基，即是X的基成员）。于是

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1n B(a,)B(x,)U 而B(a,)B，即B是X的可数基。

定义4 设f:XY为拓扑空间X到Y中的映射。如果X中每一开集（闭集）在f下的象都是Y中的开集（闭集），则称f为开映射（闭映射）。

1n1n 注释：f是开映射，意味着f1是连续的。

定理3 设X，Y为拓扑空间，f:XY为在上的连续开映射。若X是C1（或C2）空间，则Y也是C1（或C2）空间。

证明略。定理说明：可数性公理是拓扑不变性质。 问 题：在上的连续开映射，是同胚吗？

（缺少一一对应，同胚是开映射，反之不然）

定理4 C1（或C2）空间的子空间仍是C1（或C2）空间。

定理4 若X1,X2,,Xn是C1（或C2）空间，则X1X2Xn也是C1（或C2）空间。

上述几个定理均不证明，只做解释：

定理4 称为可遗传性；定理5称为可乘性。

有上述定理，我们自然会得出如下结论：

“n维欧氏空间En的任一子空间均满足第一和第二可数公理” 因为，E1是C2空间，由定理1知也是C1空间； 又由定理5，EnE1E1E1也是C2空间（C1空间）；再由定理4，故有此结论。

●（以下为重要结论） 下面的讨论可以看出，在C1空间中的序列性质与微积分（实分析）中序列的性质有较多相似之处。

定理6 设X为拓扑空间，且在点xX处有可数局部基，则点x有可数局部基{V1,V2,}满足条件V1V2Vn。

证明： 设点x的可数局部基为{U1,U2,}，令

ViU1U2Ui,i1,2,

显然，{V1,V2,}是x的可数邻域族，且满足V1V2Vn。

下面仅需证明它是x的局部基。

因为，对于x的任一邻域U，由于{U1,U2,}是x的局部基，故存在UjU。于是

VjU1U2UjUjU

即VjU，故{V1,V2,}是x的局部基。

定理7 设A是C1空间X的子集，则点xX为A的聚点A{x}中有序列收敛于x。

证明：

（充分性） 设序列{xi}iN在A{x}中，且limxix。由序列收敛的定义有，若U是x的

i任一邻域，则存在nN，使得当in时，所有的xiU（且xiA{x}）。于是U(A{x})，

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故x是A的聚点。

（必要性）设x是A的聚点，由于x处有可数局部基，由定理6，设{V1,V2,}是点x的局部基，并满足条件V1V2Vn。

因为x是A的聚点，于是，对于i1,2,，由于Vi(A{x})。任取xiVi(A{x})，序列{xi}iN在A{x}中。

于是，对于x的每一邻域U，存在nN，使得VnU，从而当ViVi1VnU。于是in时，所有xiU，即limxix。

i定理8 设X，Y为拓扑空间，X满足公理C1，xX，映射f:XY在点x处连续若

X中序列{xi}iN收敛于x，则Y中序列{f(xi)}iN收敛于f(x)。

定理9 设X，则映射f:XY连续若X中序列{xi}iNY为拓扑空间，X满足公理C1，收敛于xX，则Y中序列{f(xi)}iN收敛于f(x)。

上述两个定理的证明可详见教材，证略。

定理8说明在点x处收敛的充要条件，定理9说明f连续的充要条件。

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