拓扑学教案7

§2-6 拓扑空间中的序列

在实分析中，函数的连续性往往是由序列收敛概念来刻画的。我们也可以在拓扑空间中引入序列收敛的概念，但是会发现，它失去了实分析中序列收敛的许多重要性质，后面会看到，以至于在许多拓扑空间中，不能用其刻画连续性质。

设x1,x2,,xn,（简记{xn}）为拓扑空间X中点的序列。（注：是X总点列，不是 中） 定义 1 设{xn}为拓扑空间X中的序列，如果对于点xX的任一邻域U，存在mN，使得当nm时，有xnU，则称点x位序列{xn}的极限，或称序列{xn}收敛到点x，并记

limxix， 或xnx

i如果序列{xn}至少有一个极限，则称序列{xn}为收敛序列。（这是度量空间定义的照搬） ★ 下面解释：“至少有一个极限”的含义。

与一般度量空间不同的是，拓扑空间序列可能收敛到多个点。

例如：在余有限拓扑(R,f)中，只要序列{xn}的项两两不同，则任一点xR的邻域（必须是有限集的余集）包含{xn}的几乎所有项，从而xnx（即，xn收敛于R中任何点x）。

★ 下面说明：拓扑空间与度量空间序列收敛的性质区别。

① 在实分析中，若点x是集合A的聚点，则A中必有收敛于x的序列，而在拓扑空

间中这一性质不成立。

例如，在余可数拓扑(R,C)中，若xnx存在正整数N，使得当nN时，有xnx.

解释上述结论： 利用反证法。

{xn,xn1,}UC。,xn,是一个可数集，如果nN时，xn,xn1,都不等于x，则{xn1}而xU，即U是x的邻域，且xn,xn1,都不在U中，故xn↛x（即，nN时，xn不落在x的邻域里）。

又设A是一个不可数无穷集，且AR（闭包）。我们取xA，则x是A的聚点。但是，在A中的任何序列{xn}都有xnx，所以{xn}不收敛于x.

② 拓扑空间序列收敛概念不能刻画连续性。

事实上，若映射f:XY在点x处连续，则当xnx时必有f(xn)f(x)。但是，逆命题不成立。即当xnx，有f(xn)f(x)时，f在x处未必连续。

解释上述结论：例如，设f:XY是单射，其中X是具有余可数拓扑C的拓扑空间，Y是离散拓扑空间（即2）。

设X中序列{xn}有xnx，则由前面讨论知，当n充分大时，有xnx，从而f(xn)f(x)（事实上f(xn)f(x)）。由于Y是离散拓扑空间，则{f(x)}也是f(x)的一个邻域。又，f是单射，则f(x)的原象是{x}。因为X是余可数拓扑，故{x}并不是x的一个邻域（注：{x}是不可数集），则不连续。

由于拓扑空间中序列收敛性出现了这些不正常现象，它也失去了重要性。

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CCY书中还介绍了几个定理，此处略，同学们可以自己看一下。

§2-7 子空间

先回顾度量空间的子空间定义方法：

设(X,d)为度量空间，Y是X的非空子集。如果将Y视为子空间，则Y中也要赋予距离。由于Y中的点也是X中的点，所以，将X中的点到点的距离直接移植过来就可以了。

利用上述思想，只要将X的拓扑作为非空子集Y的拓扑（即开集），就可以得到拓扑子空间的概念。

定义 1 设A为集族，Y为集合，称集族{AYAA}为集族A在集合Y上的，记做

AY。（做图来解释）

引理： 若Y为拓扑空间(X, )的非空子集，则 Y为Y的拓扑。 证明：（证明思路，只要证明 Y满足拓扑的三个公理）

（1） （提示：证 Y Y和 Y）

由于X ， YXY，故 Y Y；

又 ，而Y，故  Y。 （2） （提示：证A,B AB Y）

设A,B Y，即存在A和B，使得AAY,BBY，于是 AB(AY)(BY)(AB)Y 由于AB，则AB(AB)Y Y。

（3）（提示：证

A Y，其中A Y）

设1为 Y的子族，即对每一A1，存在A，使得AAY。于是 而

AA(AY)(A)Y 1A1A1AA，所以A 1Y。

A1 证毕。

定义 2 设Y为拓扑空间(X, )的非空子集，Y的拓扑 Y称为相对拓扑（即相对于 的）；拓扑空间(Y, Y) 称为(X, )的子空间。

定理 1 设X,Y,Z都是拓扑空间，若Y为X的子空间，Z为Y的子空间，则Z为X的子空间。

证明提示：Y作为X的拓扑子空间，则拓扑为 Y；

Z作为Y的拓扑子空间，则拓扑为( Y)Z。

因此，只要证明( Y)Z =  Z。

证明略。请同学们自证。

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定理 2 设Y为拓扑空间X的子空间，yY，则 （1）若 ，J分别为X和Y的拓扑，则 J= Y

（2）若F,F分别为X和Y的全体闭集族，则 FFY

（3）若Uy,Uy分别为点y在X和Y的邻域系，则 UyUyY

（定理含义说明：子空间上的拓扑、闭集、邻域均为原空间的拓扑、闭集、邻域在子空间上的）

证明：

（1）是相对拓扑的定义，无需证明。

C（2）F为Y的全体闭集，设FF，即FY且F为开集，FJCY。于是，存在U，

使得FUY。从而

C F(UY)UY （注：F是关于Y上的余集） C因为U，则UF，故FFY。这表明FFY。

CCC（3） 若UUy，则存在VJ，使得yVU。因而存在V，使得VVY。 我们令UVU，由于yVU（因为UVUV），故UUyy，且 Uy(VU)Y(VY)(UY)VUU 故UUyY，于是UyUyY；

类似的，可证UyUyY，从而有UyUyY。 证毕。

定理 3 设Y为拓扑空间X的子空间，有 （1）若B为X的基，则BY为Y的基。

（2）若Vy为点yY在X中的局部基，则VyY为点y在Y中的局部基。 （证明略）

§2-8 有限积空间（简介）

有关积空间的相关问题不一一介绍，同学可以看书，这里只是让大家了解积空间的定义就行了。

定义： 设(X1,1),(X2,2),,(Xn,n)为拓扑空间，则XX1X2Xn的以子集族 B{U1U2UnUii,i1,2,,n}

为基的拓扑 ，称为的积拓扑；(X, )成为拓扑空间(X1,1),(X2,2),,(Xn,n)的拓扑积空间。 注释：  中元素为B中元素的并集。

下面的定理说明上述定义的集族 是XX1X2Xn上的拓扑。

定理： 设(X1,1),(X2,2),,(Xn,n)为拓扑空间，则XX1X2Xn有唯一拓扑 以

X的子集族

B{U1U2UnUii,i1,2,,n}

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为基。

（证明思路：利用§2-4中关于基的判定条件）

证明：

（1） 因为Xii,i1,2,,n，则XX1X2XnB，自然X可以表示成B中成员的并，即

BBBX；

(A1A2)(B1B2)

（2）若U1U2UnB，V1V2VnB，其中Ui,Vii,i1,2,,n，则由

(U1U2Un)(V1V2Vn)B 由§2-4 中定理2，则B是拓扑基。

注释：AiX,BiY,i1,2，有 (A1B1)(A2B2)

(A1A2)(B1B2)

B2 B1 A1 A2

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