精品文档
一、方程的根与函数的零点 1、 函数零点的概念： 对于函数
y f (x)(x D) ， 把使 f (x) 0 成立的实数 x 叫做函数
y f (x)(x D) 的零点。
2、函数零点的意义：函数 y f (x) 的零点就是方程 f (x) 0 实数根，亦即函数 y f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。
即：方程 f (x) 0 有实数根 函数 y f (x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y f (x) 有零点． 3、函数零点的求法：
○1 （代数法）求方程 f (x) 0 的实数根；
○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y f (x) 的图象联系起来，并利
用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点：
①正比例函数 y kx(k 0) 仅有一个零点。 k
②反比例函数 y (k 0) 没有零点。
x ③一次函数 y kx b(k 0) 仅有一个零点。
④二次函数 y ax 2 bx c(a 0) ．
（1） △＞０，方程ax2 bx c 0(a 0) 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次
函数有两个零点．
（2） △＝０，方程ax2 bx c 0(a 0) 有两相等实根，二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次
函数有一个二重零点或二阶零点．
（3） △＜０，方程ax2 bx c 0(a 0) 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点．
⑤指数函数 y ax (a 0,且a 1) 没有零点。
⑥对数函数 y loga x(a 0,且a 1) 仅有一个零点 1.
⑦幂函数 y x，当n 0 时，仅有一个零点 0，当n 0 时，没有零点。
精品文档
精品文档
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把 f x 转化成 f x 0 ，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数 y1 , y2 （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是 函数 f x 零点的个数。即 f(x)=g(x)的解集f(x)的图像和 g(x)的图像的交点。 6、选择题判断区间a, b 上是否含有零点，只需满足 f a f b 0 。
7、确定零点在某区间a, b 个数是唯一的条件是:① f x 在区间上连续，且 f a f b 0 ②在区间a, b 上单调。 8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使 f (x) 0 的实数；
从“形”的角度看：即是函数 f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标；
若函数 f (x) 的图象在 x x0 处与 x 轴相切，则零点 x0 通常称为不变号零点； 若函数 f (x) 的图象在 x x0 处与 x 轴相交，则零点 x0 通常称为变号零点． 9、二分法的定义
对于在区间[a ， b] 上连续不断，且满足 f (a) f (b) 0 的函数 y f (x) ，通过不断地把函数 f (x) 的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
10、给定精确度 ε，用二分法求函数 f (x) 零点近似值的步骤：
（1） 确定区间[a ， b]，验证 f (a) f (b) 0 ，给定精度；
（2） 求区间(a ， b) 的中点 x1 ；
（3） 计算 f (x1 ) ：
x1 就是函数的零点； ①若 f (x 1 ) = 0 ，则
②若 f (a) f (x ) < 0 ，则令b = x （此时零点 x (a, x ) ）；
1
1
0
1
③若 f (x ) f (b) < 0 ，则令a = x （此时零点 x (x , b) ）；
1
1
0
1
(4)判断是否达到精度；即若| a b | ，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤(2)-(4)．
11、二分法的条件 f (a) · f (b) 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 12、解决应用题的一般程序：
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；
精品文档
精品文档
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
例题分析
【例 1】若方程 x2 4x 3 m 有 4 个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 . 【例 2】若函数 f（x）＝x2－（2a－4）x－3 在[1，3]上的最小值是 g（a），求 g（a）的函数表达式．
针对练习
一、选择题
1. 已知函数 f (x) 唯一的零点在区间(1, 3) 内，那么下面命题错误的（
）
A 函数 f (x) 在(1, 2) 或2, 3 内有零点 C 函数 f (x) 在(2, 5) 内有零点
B 函数 f (x) 在(3, 5) 内无零点 D 函数 f (x) 在(2, 4) 内不一定有零点
）
2. 函数 f (x) 2x3 3x 1 零点的个数为（
A 1 B 2 C 3 D 4
2
3. 若关于 x 的方程 x+mx+1=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. (-1,1) B. (-2,2) C. (-∞，-2) ∪（2，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞） 4．函数 f (x) ln x 2x 6 的零点落在区间 （
）
A．（2，2.25） B．（2.25，2.5） C．（2.5，2.75） D．（2.75，3） 5. 方程 lgx＋x＝0 在下列的哪个区间内有实数解（ ）
1 1
[ A.[-10，- ] B. (, 0] C.[1,10] D. ,1] 10 10
6. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s
看作时间 t 的函数，其图象可能是（ ）
精品文档
精品文档
7. 若方程ax x a 0 有两个解，则实数a 的取值范围是（
） D、
A、(1, )
B、(0,1) C、(0, )
x
f (x) e 4x 3 的零点所在的区间为（ 8. 在下列区间中，函数 ）
1 , 0 0, 1 1 , 1 1 , 3 4 4 4 2 2 4 C. D. A. B.
29. 方程
x1
x 5 的解所在的区间是（
B.(1,2)
）
D.(3,4)
）
A.(0,1) C.(2,3)
，1] 上有解，则m 的取值范围是（ x 2 x (m 1) 0 在[110. 若关于 x 的方程
A． [
5
,1]
4
B. [1,1]
5
C． [ ,)
4
） C、2
）
D． (,1]
11、方程 x 1 2x 根的个数为（
A、0 B、1 D、3
x
12. 方程 log (2 x 4) 3 0 的实根的个数是（
A．1
B.2 C.3 D.4
二、填空题
13. 用“二分法”求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为 x0=2.5，那么下一个有
根的区间是
14. 若方程3x x 2 2 的实根在区间m, n内，且m, n Z , n m 1 ， 则m n
.
15. 设 y=f（x）的图象在[a,b]上连续，若满足 ，则方程 f（x）=0 在[a,b]上有实根. 三、解答题
16、有一块长为 20cm，宽为 12cm 的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，然
后折成一个无盖的盒子，写出这个盒子的体积 V 与边长 x 的函数关系式，并讨论这个函数的定义域。
精品文档
精品文档
17. 设 x 与 x 分别是实系数方程ax2 bx c 0 和ax2 bx c 0 的一个根，且 x x , x 0, x 0
1
2
1
2
1
2
a
，求证：方程 x2 bx c 0 有且仅有一根介于 x 和 x 之间。
1 2
2
18. 已知函数 f(x)= （a，b 为常数，且 a≠0）满足 f(2)= 1 且方程 f(x)= x 有唯一解，求函数 f(x)
ax+b
的解析式
x
19．已知函数 f (x) 的定义域为（0，+∞），且满足对任意的 x ＞0，y＞0， f (xy) f (x) f ( y) ， f (3) 1 .
当 x ＞1 时， f (x) ＞0.
（1） 求 f (9) 的值；(2)判断 f (x) 的单调性，并加以证明；（3）解不等式 f (x) f (x 8) 2 .
精品文档
精品文档
三、布置作业
1. 方程4x3 5x 6 0 的根所在的区间为
（ ）
C、(1, 0)
D、(0,1)
A、(3, 2)
2.
B、(2, 1)
已知 f (x) 2x2 2x ，则在下列区间中， f (x) 0 有实数解的是 （ ） (A)（-3，-2）
(B)（-1，0）
(C) （2，3）
(D) （4，5）
3.下列说法不正确的是
A. 方程f ( x) =0有实根 函数y=f ( x) 有零点 B. - x2+3x+5=0有两个不同实根
( )
C. y=f ( x) 在a, b上满足f ( a) f ( b) <0, 则y=f ( x) 在a, b内有零点 D. 单调函数若有零点, 则至多有一个
精品文档
