东丰县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试卷

东丰县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知两条直线L1:yx,L2:axy0，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,时，的取值范围是（ ）

内变动 1233A． 0,1 B．3,3 C．3,12． 已知x，y满足A．1

B．

C．

1,3 D．1,3

，且目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a的值是（ ） D．

3． 方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（ ） A．关于x轴对称

B．关于y轴对称

C．关于直线y=x轴对称

D．关于直线y=﹣x轴对称

x2y24． 设F为双曲线221(a0,b0)的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到

ab1另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（ ）

223A．22 B． C．23 D．3

3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想． 5． 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则 A、f(25)f(11)f(80) B、f(80)f(11)f(25) C、f(11)f(80)f(25) D、f(25)f(80)f(11) 6． 点A是椭圆

上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）

A．

B．

C．

D．

227． 若直线L：(2m1)x(m1)y7m40圆C：(x1)(y2)25交于A,B两点，则弦长|AB|的最小值为（ ）

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A．85 B．45 C．25 D．5 8． 下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）

A．总工程师和专家办公室 B．开发部

C．总工程师、专家办公室和开发部 D．总工程师、专家办公室和所有七个部

9． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A．33% B．49% C．62% D．88% 10．“a＞0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的（ ）条件． A．充分不必要 C．充要 A．（2，+∞）

B．必要不充分

D．既不充分也不必要 B．（0，2）

C．（4，+∞）

D．（0，4）

11．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（ ） 12．设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ） A．a2+b2 B．2ab C．a

D．

二、填空题

13．已知△ABC的面积为S，三内角A，B，C的对边分别为，，．若4Sabc， 则sinCcos(B2224)取最大值时C ．

14．已知函数，则__________；的最小值为__________．

15．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．

16．如图，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的 周长为 ．

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1111]

17．设x,y满足条件xya,，若zaxy有最小值，则a的取值范围为 ．

xy1,18．曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线与曲线y＝ax＋ln x相切，则a＝________．

三、解答题

19．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

20．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中AOB为

2，半3径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧

AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD//AO，设AOC．

（1）用表示CD的长度，并写出的取值范围； （2）当为何值时，观光道路最长？

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21．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m，鸡舍侧面的造价为20元/m，地面及其他费用合计为

2

2

1800元．

（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域． （2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

22．如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点． （1）求证：平面PDC⊥平面PAD；

（2）求二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值．

23．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣b（a，b∈R）

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（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值1，求a，b的值 （Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性

（Ⅲ）对于函数f（x）图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），不等式f′（x0）＜k恒成立，其中k为直线AB的斜率，x0=λx1+（1﹣λ）x2，0＜λ＜1，求λ的取值范围．

24．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10

经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b （1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；

（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？

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东丰县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C 【解析】1111]

试题分析：由直线方程L1:yx，可得直线的倾斜角为45，又因为这两条直线的夹角在0,0000，所以12直线L2:axy0的倾斜角的取值范围是3060且45，所以直线的斜率为

tan300atan600且tan450，即

考点：直线的倾斜角与斜率. 2． 【答案】B

【解析】解：由约束条件

3a1或1a3，故选C. 3作出可行域如图，

由图可知A（a，a），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，

由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=． 故选：B．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

3． 【答案】A

22222

【解析】解：方程x+2ax+y=0（a≠0）可化为（x+a）+y=a，圆心为（﹣a，0）， 22

∴方程x+2ax+y=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，

故选：A．

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【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．

4． 【答案】B 【

解

析

】

5． 【答案】D

【解析】∵f(x4)f(x)，∴f(x8)f(x4)，∴f(x8)f(x)， ∴f(x)的周期为8，∴f(25)f(1)，f(80)f(0)，

f(11)f(3)f(14)f(1)f(1)，

又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，∴f(x)在区间[2,2]上是增函数， ∴f(25)f(80)f(11)，故选D. 6． 【答案】B

【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则 S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r， ∵

∴|AF1|r=2

×|F1F2|r﹣|AF2|r，

|F1F2|．∴a=2=

．

， ，

整理，得|AF1|+|AF2|=2∴椭圆的离心率e==故选：B．

7． 【答案】B 【解析】

试题分析：直线L:m2xy7xy40，直线过定点是弦中点时，此时弦长AB最小，圆心与定点的距离d2xy70，解得定点3,1，当点（3,1）

xy405，弦长

132212第 7 页，共 16 页

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AB225545,故选B.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.

【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是l2R2d2，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离. 1111]

8． 【答案】C

【解析】解：按照结构图的表示一目了然， 就是总工程师、专家办公室和开发部． 故选C．

读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．

【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．

9． 【答案】B 【

解

析】

10．【答案】A

2

【解析】解：若方程y=ax表示的曲线为抛物线，则a≠0．

2

∴“a＞0”是“方程y=ax表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件．

故选A．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义是解决本题的关键，比较基础．

11．【答案】C 【解析】解：令f（x）=x﹣mx+3，

2

2

若方程x﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，

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则f（1）=1﹣m+3＜0， 解得：m∈（4，+∞）， 故选：C．

【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．

12．【答案】A

【解析】解：∵0＜a＜b且a+b=1 ∴∴2b＞1

∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a

222

又a+b﹣2ab=（a﹣b）＞0 22

∴a+b＞2ab

22

∴最大的一个数为a+b

故选A

二、填空题

13．【答案】【解析】

 4考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1

【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及

b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为

正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式

111abcabsinC,ah,(abc)r,. 2224R第 9 页，共 16 页

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14．【答案】

【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】当当故

时，时，的最小值为

故答案为：

15．【答案】 y=cosx ．

【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移故答案为：y=cosx．

16．【答案】8cm 【解析】

个单位长度，得

，即y=cos2x的图象，把y=cos2x

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；

考点：平面图形的直观图． 17．【答案】[1,)

xya,【解析】解析：不等式表示的平面区域如图所示，由zaxy得yaxz，当0a1时，

xy1,平移直线l1可知，z既没有最大值，也没有最小值；当a1时，平移直线l2可知，在点A处z取得最小值；当1a0时，平移直线l3可知，z既没有最大值，也没有最小值；当a1时，平移直线l4可知，在点

A处z取得最大值，综上所述，a1．

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yl4l3Ol2Al1x 18．【答案】

【解析】由y＝x2＋3x得y′＝2x＋3， ∴当x＝－1时，y′＝1，

则曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线方程为y＋2＝x＋1， 即y＝x－1，设直线y＝x－1与曲线y＝ax＋ln x相切于点（x0，y0），

1

由y＝ax＋ln x得y′＝a＋（x＞0），

x

1a＋＝1

x0



∴y＝x－1，解之得x＝1，y＝0，a＝0. y＝ax＋ln x

00

0

0

0

0

0

∴a＝0. 答案：0

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）． 设点P的坐标为（x，y）

22

化简得x+3y=4（x≠±1）．

22

故动点P轨迹方程为x+3y=4（x≠±1）

（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0） 则

因为sin∠APB=sin∠MPN， 所以所以

=

．

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22

即（3﹣x0）=|x0﹣1|，解得22

因为x0+3y0=4，所以

．

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为

【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．

20．【答案】（1）CDcos时，观光道路最长.

3sin,0,;（2）设当时，L取得最大值，即当6633CDODCO

sinCODsinDCOsinCDO233232sin CDsincossin，OD3333233ODOBsin1sin0

3233CDcossin,0,

33【解析】试题分析：（1）在OCD中，由正弦定理得：（2）设观光道路长度为L， 则LBDCD弧AC的长 = 12333sincossin= cossin1，0, 33333cos1 3Lsin由L0得：sin列表： 3，又 0,6623 6 0 极大值  0, 6 + ↗ , 63 - ↘ L L 第 12 页，共 16 页

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当6时，L取得最大值，即当6时，观光道路最长.

考点：本题考查了三角函数的实际运用

点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。 另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 21．【答案】 【解析】解：（1）=

定义域是（0，7]… （2）∵当且仅当

，…

即x=6时取=…

…

…

∴y≥80×12+1800=2760…

答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…

22．【答案】

【解析】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD ∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD ∵CD⊆平面PDC， ∴平面PDC⊥平面PAD； （2）取AD中点O，连接EO， ∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA ∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD， ∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC 过O作OF⊥AC于F，连接EF，则 ∵EO、OF是平面OEF内的相交直线， ∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC ∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角 由PA=2，得EO=1，

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在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=∵O是AD的中点，∴OF=×∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF=∴cos∠EFO=

=

=

=

【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣a， 由题意可得f′（1）=0，且f（1）=1， 即为1﹣a=0，且﹣a﹣b=1，

解得a=1．b=﹣2，经检验符合题意． 故a=1，b=﹣2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=﹣a，x＞1，0＜＜1， ①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；

②0＜a＜1，x∈（1，），f′（x）＞0，x∈（，+∞），f′（x）＜0； ③a≥1，f′（x）＜0．f（x）在（1，+∞）递减． 综上可得，a≤0，f（x）在（1，+∞）递增；

0＜a＜1，f（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减； a≥1，f（x）在（1，+∞）递减． （Ⅲ）f′（x0）=

﹣a=

﹣a，

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直线AB的斜率为k=f′（x0）＜k⇔即x2﹣x1＜ln即为令t=

﹣1＜ln

=

＜

，

=﹣a，

[λx1+（1﹣λ）x2]， [λ+（1﹣λ）

]，

＞1，t﹣1＜lnt[λ+（1﹣λ）t]，

即t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt）＜0恒成立， 令函数g（t）=t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt），t＞1， ①当0＜λ

时，g′（t）=﹣lnt+λ（lnt+1﹣）=

，

令φ（t）=﹣tlnt+λ（tlnt+t﹣1），t＞1，

φ′（t）=﹣1﹣lnt+λ（2+lnt）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1，

当0＜λ≤时，φ′（t）＜0，φ（t）在（1，+∞）递减，则φ（t）＜φ（1）=0， 故当t＞1时，g′（t）＜0，

则g（t）在（1，+∞）递减，g（t）＜g（1）=0符合题意； ②当＜λ＜1时，φ′（t）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1＞0， 解得1＜t＜当t∈（1，当t∈（1，则有当t∈（1，即有0＜λ≤．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．

24．【答案】

【解析】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，

，

），φ′（t）＞0，φ（t）在（1，），g′（t）＞0，g（t）在（1，

），g（t）＞0不合题意．

）递增，φ（t）＞φ（1）=0； ）递增，g（t）＞g（1）=0，

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∴=10，

且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12， 因此故

，

， （0≤t≤24）

（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即∴

，

解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z 又0≤t≤24

当k=0时，1≤t≤5；

当k=1时，13≤t≤17；

故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）． 注意由题中条件求出周期，最大最小值等．

【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式

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