中考数学二模测试(附答案解析)

学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________

满分：150分

一．选择题(共8小题,满分24分,每小题3分) 1．(3分)﹣3的相反数是( ) A．﹣3

B．−3

1

测试时间：120分钟

C．3 D．±3

2．(3分)下列运算正确的是( ) A．a•a6＝a6

B．(﹣a4)2＝a8

C．a10÷a2＝a5

D．a2+a2＝a4

3．(3分)如图所示的几何体,从正面看到的平面图形是( )

A． B． C． D．

4．(3分)已知两个不等式的解集在数轴上如图表示,那么这个解集为( )

A．x≥﹣1

B．x＞1

C．﹣3＜x≤﹣1

D．x＞﹣3

5．(3分)从长度分别为4、6、7、11的四条线段中任选三条,能构成三角形的概率是( ) A．

21

B．

3

1

C． 3

2

D． 4

3

6．(3分)若一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两个实数根分别是a、b,则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过( ) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

7．(3分)如图已知扇形AOB的半径为6cm,圆心角的度数为120°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面,则围成的圆锥的底面积为( )

A．4πcm2

B．6πcm2

C．9πcm2

D．12πcm2

8．(3分)反比例函数y=,y=图象如图所示,点A在y=图象上,连接OA交y=图象于点B,则AB：BO的比为( )

9𝑥4𝑥9𝑥4𝑥

A．1：2

B．2：3

C．4：5

D．4：9

二．填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)

9．(3分)据测算,我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元,这个数用科学记数法表示为 万元．

10．(3分)当x的值为 时,分式

𝑥+4𝑥

的值为0．

11．(3分)把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是 ．

12．(3分)若一组数据1,2,x,4,5,6的唯一众数是2,则这组数据的中位数为 ．

̂,点P是OC上的一个动̂=2𝐶𝐷13．(3分)如图,已知AB是半圆O的直径,AB＝6,点C,D在半圆上,OC⊥AB,𝐵𝐷点,则BP+DP的最小值为 ．

14．(3分)将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠,如图(1),AD∥BC,ED'∥FC',设∠AED'＝x°

(1)∠EFB＝ ．(用含x的代数式表示)

(2)若将图1继续沿BF折叠成图(2),∠EFC″＝ ．(用含x的代数式表示)． 15．(3分)经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是 ．

16．(3分)如图,已知正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接

AP,EF,给出下列结论：①PD=√2EC;②四边形PECF的周长为8;③△APD一定是等腰三角形;④AP＝EF; ⑤EF的最小值为2√2,其中正确结论的序号为 ．

三．解答题(共11小题,满分102分)

17．(6分)计算：2cos45°+(−2)1+(2020−√2)0+|2−√2|．

﹣

1

18．(6分)解不等式组：{2𝑥+1＞−1．

𝑥+1≤319．(6分)先化简,再求值：(

4𝑥−1

−

2𝑥−2

𝑥2−2𝑥+1

)÷

𝑥2−1𝑥−1

,其中x=√3．

20．(8分)学校开展“书香校园”活动以来,受到同学们的广泛关注．学校为了了解全校学生课外阅读的情况,随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数,并制成下列不完整的统计图： 借阅图书的次

数 人数

7

13

a

10

3

0次

1次

2次

3次

4次及以上

请你根据统计图表中的信息,解答下列问题： (1)a＝ ,b＝ ;

(2)请计算扇形统计图中“3次“所对应的扇形的圆心角的度数;

(3)若该校共有2000名学生,根据调查结果,估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

21．(10分)小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球和一个黄球,共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同,试验规则：先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一次．

(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,求这10次中摸出红球的频率;

(2)若小丽打算随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球没有红球的概率． 22．(10分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,将△ODC沿CD翻折,点O落在点E处． 求证：四边形OCED是菱形．

23．(10分)如图,反比例函数y=𝑥(k＞0)的图象与正比例函数y=4x的图象交于A、B两点(点A在第一象限)． (1)当点A的横坐标为2时,求k的值;

(2)若k＝12,点C为y轴正半轴上一点,∠ACB＝90°, ①求△ACB的面积;

②以A、B、C、D为顶点作平行四边形,直接写出第四个顶点D的坐标．

𝑘

3

24．(10分)时代购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡的倾斜角为18°,一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m,一楼到地平线的距离BC＝1m．

(1)为保证斜坡的倾斜角为18°,应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？(结果精确到0.1m) (2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m,那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．(参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)

25．(10分)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条．为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单

价每降2元,则每月可多销售10条,设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条． (1)直接写出y与x的函数关系式;

(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生,为了保证捐款后每月利润不低于4175元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价？ 26．(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C：y=

√33𝑥2+

2√3𝑥−√3与x轴交于A、B两点(点A在点B323的左侧),与y轴交于点C,点D为y轴正半轴上一点．且满足OD=OC,连接BD,

(1)如图1,点P为抛物线上位于x轴下方一点,连接PB,PD,当S△PBD最大时,连接AP,以PB为边向上作正△BPQ,连接AQ,点M与点N为直线AQ上的两点,MN＝2且点N位于M点下方,连接DN,求DN+MN+的最小值

(2)如图2,在第(1)问的条件下,点C关于x轴的对称点为E,将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′,将抛物线y=

√3√32AM3𝑥2+

2√3𝑥−√3沿着射线PA方向平移,使得平移后的抛物线C′经过点E,此时抛3物线C′与x轴的右交点记为点F,连接E′F,B′F,R为线段E’F上的一点,连接B′R,将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT,在平面内找一个点S,使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形,求点S的坐标．

27．(14分)(1)如图1,正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB＞DE),连接CE,AG交于点H,请直接写出线段AG与CE的数量关系 ,位置关系 ;

(2)如图2,矩形ABCD和矩形DEFG,AD＝2DG,AB＝2DE,AD＝DE,将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°＜α＜360°),连接AG,CE交于点H,(1)中线段关系还成立吗？若成立,请写出理由;若不成立,请写出线段AG,CE的数量关系和位置关系,并说明理由;

(3)矩形ABCD和矩形DEFG,AD＝2DG＝6,AB＝2DE＝8,将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°＜α＜

360°),直线AG,CE交于点H,当点E与点H重合时,请直接写出线段AE的长．

参

一．选择题(共8小题,满分24分,每小题3分) 1．(3分)﹣3的相反数是( ) A．﹣3

B．−3

1

C．3 D．±3

【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答． 【解答】解：﹣3的相反数是3． 故选：C．

【点评】本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键． 2．(3分)下列运算正确的是( ) A．a•a6＝a6

B．(﹣a4)2＝a8

C．a10÷a2＝a5

D．a2+a2＝a4

【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法的计算法则进行计算即可． 【解答】解：a•a6＝a1+6＝a7,因此选项A不正确; (﹣a4)2＝a42＝a8,因此选项B正确;

×

a10÷a2＝a102＝a8,因此选项C不正确;

﹣

a2+a2＝2a2,因此选项D不正确; 故选：B．

【点评】本题考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法,掌握计算法则是正确计算的前提． 3．(3分)如图所示的几何体,从正面看到的平面图形是( )

A． B． C． D．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看易得此几何体的主视图是一个梯形． 故选：C．

【点评】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图． 4．(3分)已知两个不等式的解集在数轴上如图表示,那么这个解集为( )

A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3

【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法可知,不等式组的解集是指它们的公共部分,即﹣1及其右边的部分．

【解答】解：两个不等式的解集的公共部分是：﹣1及其右边的部分．即大于等于﹣1的数组成的集合． 故选：A．

【点评】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(＞,≥向右画;＜,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“＜”,“＞”要用空心圆点表示．

5．(3分)从长度分别为4、6、7、11的四条线段中任选三条,能构成三角形的概率是( ) A．

21

B．

3

1

C． 3

2

D． 4

3

【分析】从四条线段中任意选取三条,找出所有的可能,以及能构成三角形的情况数,即可求出所求的概率． 【解答】解：从长度分别为4、6、7、11的四条线段中任选三条有如下4种情况： 4、6、7;4、7、11;4、6、11;6、7、11;

其中能构成三角形的有4、6、7;6、7、11这两种情况, 所以能构成三角形的概率是=,

4

22

1

故选：A．

【点评】此题考查了列表法与树状图法,以及三角形的三边关系,用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

6．(3分)若一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两个实数根分别是a、b,则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过( ) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝7、ab＝5,再结合一次函数图象与系数的关系,即可找出一次函数y＝abx+a+b的图象经过的象限,此题得解．

【解答】解：∵方程x2﹣7x+5＝0的两个实数根分别是a、b, ∴a+b＝7、ab＝5,

则一次函数的解析式为y＝5x+7,

∴该一次函数图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限, 故选：D．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系,利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系,找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．

7．(3分)如图已知扇形AOB的半径为6cm,圆心角的度数为120°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面,则围成的圆锥的底面积为( )

A．4πcm2

B．6πcm2

C．9πcm2

D．12πcm2

【分析】根据圆锥的计算公式即可求出答案． ̂=【解答】解：由弧长公式可知：𝐴𝐵∴底面圆的周长为4π, 设底面圆的半径为CD＝r, ∴4π＝2πr ∴r＝2,

∴圆锥的底面积为π×22＝4π, 故选：A．

120𝜋×6

=4π 180

【点评】本题考查圆锥的计算,解的关键是熟练运用圆锥的计算公式,本题属于基础题型．

8．(3分)反比例函数y=,y=图象如图所示,点A在y=图象上,连接OA交y=图象于点B,则AB：BO的比为( )

9𝑥4𝑥9𝑥4𝑥

A．1：2 B．2：3 C．4：5

𝑘

D．4：9

1

9

【分析】作AM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N,根据反比例函数y=𝑥系数k的几何意义得到S△AOM=2×9=2,S

△BOC

=

1

×4=2,然后根据三角形相似的性质求得结论． 2【解答】解：作AM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N, ∵点A在y=图象上,连接OA交y=图象于点B, ∴S△AOM=2×9=2,S△BOC=2×4=2, ∵AM∥BN, ∴∴∴

𝑆△𝐴𝑂𝑀𝑆△𝐵𝑂𝑁𝑂𝐴𝑂𝐵

321

9

1

9𝑥4𝑥=(

𝑂𝐴29)=,

4𝑂𝐵

=,

=

3−22

𝑂𝐴−𝑂𝐵𝑂𝐵

,即

𝐴𝐵

𝑂𝐵

=,

2

1

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数的图象,根据三角形相似的性质得到

𝑂𝐴𝑂𝐵

=是解题的关键．

2

3

二．填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)

9．(3分)据测算,我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元,这个数用科学记数法表示为 5.4×106 万元．

【分析】在实际生活中,许多比较大的数,我们习惯上都用科学记数法表示,使书写、计算简便．将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时,其中1≤|a|＜10,n为比整数位数少1的数． 【解答】解：5 400 000＝5.4×106万元． 故答案为5.4×106．

【点评】用科学记数法表示一个数的方法是(1)确定a：a是只有一位整数的数;(2)确定n：当原数的绝对值≥10时,n为正整数,n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值＜1时,n为负整数,n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零)． 10．(3分)当x的值为 ﹣4 时,分式

𝑥+4𝑥

的值为0．

【分析】利用分式值为零的条件进行解答即可． 【解答】解：由题意得：x+4＝0,且x≠0, 解得：x＝﹣4,

故答案为：﹣4．

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件,关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少．

11．(3分)把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是 3a(x+2)(x﹣2) ． 【分析】先提公因式,再利用公式法进行因式分解． 【解答】解：3ax2﹣12a＝3a(x2﹣4)＝3a(x+2)(x﹣2), 故答案为：3a(x+2)(x﹣2)．

【点评】本题考查提公因式法,公式法因式分解,掌握公因式的意义和公式的结构特征是正确应用的关键． 12．(3分)若一组数据1,2,x,4,5,6的唯一众数是2,则这组数据的中位数为 3 ． 【分析】根据众数的定义求出x的值,再根据中位数的定义即可得出答案． 【解答】解：∵一组数据1,2,x,4,5,6的唯一众数是2, ∴x＝2,

∴这组数据的中位数是(2+4)÷2＝3; 故答案为：3．

【点评】此题考查了众数和中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);众数是一组数据中出现次数最多的数．

̂,点P是OC上的一个动̂=2𝐶𝐷13．(3分)如图,已知AB是半圆O的直径,AB＝6,点C,D在半圆上,OC⊥AB,𝐵𝐷点,则BP+DP的最小值为 3√3 ．

【分析】如图,连接AD,PA,PD,OD．首先证明PA＝PB,再根据PD+PB＝PD+PA≥AD,求出AD即可解决问题．

【解答】解：如图,连接AD,PA,PD,OD．

∵OC⊥AB,OA＝OB,

∴PA＝PB,∠COB＝90°, ̂, ̂=2𝐶𝐷∵𝐵𝐷

∴∠DOB=3×90°＝60°, ∵OD＝OB,

∴△OBD是等边三角形, ∴∠ABD＝60° ∵AB是直径, ∴∠ADB＝90°,

∴AD＝AB•sin∠ABD＝3√3, ∵PB+PD＝PA+PD≥AD, ∴PD+PB≥3√3,

∴PD+PB的最小值为3√3, 故答案为：3√3．

【点评】本题考查圆周角定理,垂径定理,圆心角,弧,弦之间的关系等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型．

14．(3分)将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠,如图(1),AD∥BC,ED'∥FC',设∠AED'＝x°

2

(1)∠EFB＝ 90°−x° ．(用含x的代数式表示) (2)若将图1继续沿BF折叠成图(2),∠EFC″＝ 321

2𝑥°−90° ．(用含x的代数式表示)．

【分析】(1)由平行线的性质得∠DEF＝∠EFB,∠AEH+∠EHB＝180°,折叠和三角形的外角得∠D'EF＝∠EFB,∠EFB=2∠EHB,最后计算出∠EFB＝90°−2x°;

(2)由折叠和平角的定义求出∠EFC'＝90°+2𝑥°,再次折叠经计算求出∠EFC''＝． 【解答】解：(1)如图1所示：

1

1

1

∵AD∥BC,

∴∠DEF＝∠EFB,∠AEH+∠EHB＝180°, 又∵∠DEF＝∠D'EF, ∴∠D'EF＝∠EFB,

又∵∠EHB＝∠D'EF+∠EFB, ∴∠EFB=∠EHB, 又∵∠AED'＝x°, ∴∠EHB＝180°﹣x°

∴∠EFB=2(180°−𝑥°)=90°−2x° (2)如图2所示：

1

1

12

∵∠EFB+∠EFC'＝180°,

∴∠EFC'＝180°﹣(90°−𝑥°)＝90°+𝑥°, 又∵∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC'', ∴∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB ＝90°+2𝑥°−2(90°−2𝑥°) =2𝑥°−90°, 故答案为𝑥°−90°．

23

3

1

1

1212【点评】本题综合考查了平行线的性质,折叠问题,等腰三角形的性质,三角形的外角定理,平角的定义和角

的和差等相关知识,重点掌握平行线的性质,难点是折叠前后的变及不变的问题,二次折叠角的前后大小等量关系．

15．(3分)经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是 线段AB的垂直平分线 ．

【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心,则圆心应满足到点A和点B的距离相等,从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．

【解答】解：根据同圆的半径相等,则圆心应满足到点A和点B的距离相等,即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线． 故答案为：线段AB的垂直平分线．

【点评】此题考查了点的轨迹问题,熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键．

16．(3分)如图,已知正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接AP,EF,给出下列结论：①PD=√2EC;②四边形PECF的周长为8;③△APD一定是等腰三角形;④AP＝EF; ⑤EF的最小值为2√2,其中正确结论的序号为 ①②④⑤ ．

【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质,得△PDF是等腰直角三角形,在Rt△DPF中,DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2,求得DP=√2EC．

②先证明四边形PECF为矩形,根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC,则四边形PECF的周长为8;

③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形;

④由②可知,四边形PECF为矩形,则通过正方形的轴对称性,证明AP＝EF; ⑤当AP最小时,EF最小,EF的最小值等于2√2．

【解答】解：①如图,延长FP交AB与G,连PC,延长AP交EF与H,

∵GF∥BC,

∴∠DPF＝∠DBC, ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠DBC＝45°

∴∠DPF＝∠DBC＝45°, ∴∠PDF＝∠DPF＝45°, ∴PF＝EC＝DF,

∴在Rt△DPF中,DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2, ∴DP=√2EC． 故①正确;

②∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD＝90°, ∴四边形PECF为矩形,

∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8, 故②正确;

③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点,∠ADP＝45度, ∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时,△APD是等腰三角形, 除此之外,△APD不是等腰三角形, 故③错误．

④∵四边形PECF为矩形, ∴PC＝EF,

由正方形为轴对称图形, ∴AP＝PC, ∴AP＝EF, 故④正确; ⑤由EF＝PC＝AP, ∴当AP最小时,EF最小,

则当AP⊥BD时,即AP=2BD=2×4√2=2√2时,EF的最小值等于2√2, 故⑤正确;

综上所述,①②④⑤正确, 故答案为：①②④⑤．

1

1

【点评】本题考查了正方形的性质,垂直的判定,等腰三角形的性质,勾股定理的运用．本题难度较大,综合性较强,在解答时要认真审题． 三．解答题(共11小题,满分102分)

17．(6分)计算：2cos45°+(−)1+(2020−√2)0+|2−√2|．

﹣

12【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝2×2−2+1+2−√2 =√2−2+1+2−√2 ＝1．

【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键． 18．(6分)解不等式组：{2𝑥+1＞−1．

𝑥+1≤3

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可． 2𝑥+1＞−1①【解答】解：{,

𝑥+1≤3②由①得：x＞﹣1, 由②得：x≤2,

则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 19．(6分)先化简,再求值：(

4𝑥−1

√2−

2𝑥−2

𝑥2−2𝑥+1

)÷

𝑥2−1𝑥−1

,其中x=√3．

【分析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式,约分后进行分式的减法运算,然后再进行分式的除法运算进行化简,最后把x的值代入进行计算即可． 【解答】解：(

4

𝑥−1𝑥2−2𝑥+1𝑥−1

42(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥−1)=[𝑥−1−]÷ 2𝑥−1(𝑥−1)

−

2𝑥−2

)÷

𝑥2−1

=(𝑥−1−𝑥−1)⋅(𝑥+1)(𝑥−1) =𝑥−1⋅𝑥+1 =

2

, 𝑥2−12(√3)242𝑥−1

21

当𝑥=√3时,原式=

−1

=1．

【点评】本题考查了分式的混合运算﹣﹣化简求值,涉及了二次根式的运算、分式的约分、分式的除法运算、减法运算等,熟练掌握各运算法则是解题的关键．

20．(8分)学校开展“书香校园”活动以来,受到同学们的广泛关注．学校为了了解全校学生课外阅读的情况,随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数,并制成下列不完整的统计图： 借阅图书的次

数 人数

7

13

a

10

3

0次

1次

2次

3次

4次及以上

请你根据统计图表中的信息,解答下列问题： (1)a＝ 17 ,b＝ 20 ; (2)请计算扇形统计图中“3次“所对应的扇形的圆心角的度数;

(3)若该校共有2000名学生,根据调查结果,估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

【分析】(1)从两个统计图中“1次”的有13人,占调查人数的26%,可求出调查人数,进而计算a的值,计算出“3次”所占的百分比,即可确定b的值;

(2)“3次”占调查人数的20%,因此所占的圆心角的度数占360°的20%; (3)样本估计总体,样本中“4次及以上”占调查人数的

350

,可求出总体中“4次及以上”的人数．

【解答】解：(1)13÷26%＝50人,a＝50﹣7﹣13﹣10﹣3＝17,10÷50＝20%,即,b＝20, 故答案为：17,20． (2)360°×20%＝72°,

答：扇形统计图中“3次“所对应的扇形的圆心角的度数为72°． (3)2000×50=120人,

答：该校2000名学生中在一周内借阅图书“4次及以上”的有120人．

【点评】考查扇形统计图、统计表的意义,理清统计图表之间的关系是解决问题的关键．

21．(10分)小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球和一个黄球,

3

共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同,试验规则：先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一次．

(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,求这10次中摸出红球的频率;

(2)若小丽打算随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球没有红球的概率． 【分析】(1)由频率定义即可得出答案;

(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球没有红球的情况,利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,这10次中摸出红球的频率6÷10＝0.6; (2)画树状图得：

∵共有16种等可能的结果,这两次摸出的球没有红球的有4种情况, ∴这两次摸出的球没有红球的概率为

416

=．

4

1

【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

22．(10分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,将△ODC沿CD翻折,点O落在点E处． 求证：四边形OCED是菱形．

【分析】依据矩形的性质以及折叠的性质,即可得到OD＝ED＝OC＝EC,进而得出四边形OCED是菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴DO＝CO,

由折叠可得,OD＝ED,OC＝EC, ∴OD＝ED＝OC＝EC, ∴四边形OCED是菱形．

【点评】本题主要考查了菱形的判定,四条边都相等的四边形是菱形．

23．(10分)如图,反比例函数y=(k＞0)的图象与正比例函数y=x的图象交于A、B两点(点A限)．

(1)当点A的横坐标为2时,求k的值;

(2)若k＝12,点C为y轴正半轴上一点,∠ACB＝90°, ①求△ACB的面积;

②以A、B、C、D为顶点作平行四边形,直接写出第四个顶点D的坐标．

𝑘𝑥

34

在第一象

【分析】(1)先求出点A坐标,代入解析式可求k的值;

(2)①联立方程组可求点A,点B坐标,由直角三角形的性质可求OB＝OA＝OC＝5,由三角形的面积公式可求解;

②分三种情况讨论,由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【解答】解：(1)当x＝2时,y=∴点A坐标为(2,),

23

33×2=, 42∵点A在反比例函数y=(k＞0)的图象上, ∴k＝2×2=3, (2)①∵k＝12,

∴反比例函数解析式为y=𝑥, 𝑦=𝑥联立方程组可得：{,

3𝑦=4𝑥𝑥=4𝑥

解得：{1或{

𝑦1=3𝑦

2

𝑘𝑥3

12

12

=−4

, =−32

∴点A(4,3),点B(﹣4,﹣3), ∴AO＝BO＝5,

又∵∠ACB＝90°, ∴CO＝AO＝BO＝5, ∴点C(0,5), ∴△ACB的面积=

11

×5×4+×5×4＝20; 22②设点D坐标为(x,y),

若AB为对角线,则四边形ACBD是平行四边形, ∴AB与CD互相平分, ∴

5+𝑦2

=

−3+3−4+42

,

2

=

𝑥+02

,

∴x＝0,y＝﹣5, ∴点D(0,﹣5);

若AC为对角线,则四边形ABCD是平行四边形, ∴AC与BD互相平分, ∴

4+02

=

−4+𝑥5+32

,

2

=

−3+𝑦2

,

∴x＝8,y＝11, ∴点D(8,11);

若BC为对角线,则四边形ACDB是平行四边形, ∴BC与AD互相平分, ∴

−4+02

=

𝑥+4−3+52

,

2

=

3+𝑦2

,

∴x＝﹣8,y＝﹣1, ∴点D(﹣8,﹣1),

综上所述：点D坐标为(0,﹣5)或(8,11)或(﹣8,﹣1)．

【点评】本题是反比例综合题,考查了反比例函数的性质,平行四边形的性质,三角形的面积公式,中点坐标公式等知识,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

24．(10分)时代购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡的倾斜角为18°,一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m,一楼到地平线的距离BC＝1m．

(1)为保证斜坡的倾斜角为18°,应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？(结果精确到0.1m) (2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m,那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．(参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)

【分析】(1)根据题意可得∠BAD＝18°,再根据锐角三角函数即可求出结果;

(2)如图,过点C作CE⊥AD于点E,根据锐角三角函数求出CE的长,再进行比较即可得结论． 【解答】解：(1)由题意可知：∠BAD＝18°, 在Rt△ABD中,AB＝18

𝐵𝐷𝑡𝑎𝑛18°

≈

2.8−10.32

≈5.6(m),

答：应在地面上距点B约5.6m远的A处开始斜坡的施工; (2)能,理由如下：

如图,过点C作CE⊥AD于点E,

则∠ECD＝∠BAD＝18°,

在Rt△CED中,CE＝CD•cos18°≈2.8×0.95＝2.66(m), ∵2.66＞2.5,

∴能保证货车顺利进入地下停车场．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 25．(10分)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条．为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元,则每月可多销售10条,设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条． (1)直接写出y与x的函数关系式;

(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生,为了保证捐款后每月利润不低于4175元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价？

【分析】(1)直接利用销售单价每降2元,则每月可多销售10条得出y与x的函数关系式; (2)利用销量×每件利润＝总利润可得出函数关系式,再利用二次函数的性质求出最值即可; (3)利用总利润＝4175+200,求出x的值,进而得出答案． 【解答】解：(1)由题意可得： y＝100+

80−𝑥

×10 2＝100+5(80﹣x) ＝﹣5x+500,

∴y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+500; (2)由题意得： w＝(x﹣40)(﹣5x+500) ＝﹣5x2+700x﹣20000 ＝﹣5(x﹣70)2+4500, ∵a＝﹣5＜0,

∴当x＝70时,w有最大利润,最大利润是4500元; ∴应降价80﹣70＝10(元)．

∴当销售单价降低10元时,每月获得的利润最大,最大利润是4500元; (3)由题意得：﹣5(x﹣70)2+4500＝4175+200, 解得：x1＝65,x2＝75,

∵抛物线开口向下,对称轴为直线x＝70, ∴当65≤x≤75时,符合该网店要求, 而为了让顾客得到最大实惠,故x＝65．

∴当销售单价定为65元时,既符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠．

【点评】本题主要考查了二次函数的应用,正确建立函数模型、结合实际选择最优方案及正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键．

26．(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C：y=3𝑥2+3𝑥−√3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为y轴正半轴上一点．且满足OD=3OC,连接BD,

(1)如图1,点P为抛物线上位于x轴下方一点,连接PB,PD,当S△PBD最大时,连接AP,以PB为边向上作正△BPQ,连接AQ,点M与点N为直线AQ上的两点,MN＝2且点N位于M点下方,连接DN,求DN+MN+2AM√3√32√32

的最小值

(2)如图2,在第(1)问的条件下,点C关于x轴的对称点为E,将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′,将抛物线y=3𝑥2+3𝑥−√3沿着射线PA方向平移,使得平移后的抛物线C′经过点E,此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F,连接E′F,B′F,R为线段E’F上的一点,连接B′R,将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT,在平面内找一个点S,使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形,求点S的坐标．

√32√3

【分析】(1)由抛物线解析式求点A、B、C坐标,由OD=3OC求点D坐标．设点P横坐标为t,可用待定系数法求得用t表示的直线PB解析式,即能用t表示PB与y轴交点G的坐标,进而用t表示DG的长．以DG为界把△PBD分成左右两边的△PDG与△BDG,则以DG为底计算易求得△PBD面积与t的二次函数关系式,求对称轴即得到△PBD最大时t的值,进而得到点P坐标．求得∠ABP＝30°,即x轴平分∠PBQ,故点P、Q关于x轴对称,得到点Q坐标,进而得到直线AQ解析式,发现∠QAB＝∠PAB＝60°．作直线AP,可得直线AQ与AP夹角为60°,过点M作MH⊥AP于H,即构造出特殊Rt△MAN,得到MH=2AM．把点D平移到D',使DD'∥MN且DD'＝MN,构造平行四边形MNDD',故DN＝D'M．所以DN+MN+

√3√32

2AM可

转化为MN+D'M+MH．易得当点D'、M、H在同一直线上时,线段和会最短,即过D'作D'K⊥AP于K,D'K的值为所求．根据平移性质求D'坐标,求直线D'K与直线AP解析式,联立方程组求得K的坐标,即求得D'K的长．

(2)抛物线平移不改变开口方向和大小,再求得点E坐标和点A坐标,可用待定系数法求平移后的解析式,进而求得点F．由旋转性质可得△ABB'与△AEE'为等边三角形,求出点E'、B'坐标,B'F⊥x轴且△B'E'F为含30°的直角三角形．把点R从E'移动到F的过程,发现∠RB'T一定小于90°,不可能成为矩形内角,故只能是∠B'RT或∠B'TR＝90°．点T可以在E'F上,也可以在B'F上,画出图形,根据含30°的直角三角形三边关系计算各线段长,即能求点S坐标．

【解答】解：(1)如图1,过点D作DD'∥MN,且DD'＝MN＝2,连接D'M;过点D'作D'J⊥y轴于点J;

作直线AP,过点M作MH⊥AP于点H,过点D'作D'K⊥AP于点K ∵y=3𝑥2+3𝑥−√3=0 解得：x1＝﹣3,x2＝1 ∴A(﹣3,0),B(1,0) ∵x＝0时,y=

√3√32√33𝑥2+

2√3𝑥−√3=−√3 3∴C(0,−√3),OC=√3 ∴OD=OC=设P(t,

232√32√3,D(0,) 33

√322√3t+t−√3)(﹣3＜t＜1)

33

设直线PB解析式为y＝kx+b,与y轴交于点G

𝑘=3𝑡+√3√3∴{ 解得：{ 2√3√3𝑘𝑡+𝑏=𝑡2+𝑡−√333𝑏=−3𝑡−√3∴直线PB：y＝(∴DG=

√3√3√3t+√3)x−3t−√3,G(0,−3t−√3) 3

𝑘+𝑏=0

√3√3√32√35√3−(−t−√3)=t+ 3333∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG=2DG•xB+2DG•|xP|=2DG•(xB﹣xP)=2(3t+3)(1﹣t)=−6(t2+4t﹣5) ∴t=−2=−2时,S△BPD最大

∴P(﹣2,−√3),直线PB解析式为y=3x−3,直线AP解析式为y=−√3x﹣3√3

𝑃∴tan∠ABP=|𝑥−𝑥=1+2=3 𝐵𝑃|√3√31111√35√3√34

|𝑦|

√3√3∴∠ABP＝30°

∵△BPQ为等边三角形 ∴∠PBQ＝60°,BP＝PQ＝BQ ∴BA平分∠PBQ

∴PQ⊥x轴,PQ与x轴交点I为PQ中点 ∴Q(﹣2,√3)

∴Rt△AQI中,tan∠QAI=∴∠QAI＝∠PAI＝60°

∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60° ∵MH⊥AP于点H

∴Rt△AHM＝90°,sin∠MAH=∴MH=2AM

∵DD'∥MN,DD'＝MN＝2 ∴四边形MNDD'是平行四边形 ∴D'M＝DN ∴DN+MN+

√3√3√3𝑄𝐼==3 𝐴𝐼−2−(−3)√

𝑀𝐻√3= 𝐴𝑀22AM＝2+D'M+MH

∵D'K⊥AP于点K

∴当点D'、M、H在同一直线上时,DN+MN+2AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短 ∵DD'∥MN,D(0,

2√3) 3

√3∴∠D'DJ＝30°

∴D'J=2DD'＝1,DJ=2DD'=√3 ∴D'(1,

5√3) 31

√3∵∠PAI＝60°,∠ABP＝30°

∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90° ∴PB∥D'K

设直线D'K解析式为y=3x+d, 把点D'代入得：

√35√3+d=3 3

√3解得：d=

4√3 3√3∴直线D'K：y=

3x+

4√3 3把直线AP与直线D'K解析式联立得： 𝑦=−√3𝑥−3√3𝑥=−

4{ 解得：{ √3√43√3𝑦=3𝑥+3𝑦=4∴K(−4,4)

∴D'K=√(1+4)2+(3−4)2=∴DN+MN+

√313

13√3135√3√317√3 62AM的最小值为

12+17√3 6

(2)连接B'A、BB'、EA、E'A、EE',如图2

∵点C(0,−√3)关于x轴的对称点为E ∴E(0,√3) ∴tan∠EAB=𝑂𝐴=3 ∴∠EAB＝30°

∵抛物线C'由抛物线C平移得到,且经过点E ∴设抛物线C'解析式为：y=3x2+mx+√3, ∵A(﹣3,0),P(﹣2,−√3),E(0,√3),B(1,0), ∴BE∥PA,BE＝PA, ∴抛物线C'经过点A(﹣3,0), ∴

√3×9﹣3m+√3=0 3

√3𝑂𝐸√3解得：m=

4√3 3√32

∴抛物线C'解析式为：y=∵

3x+

4√3x+√3 3√324√3x+x+√3=0,解得：x1＝﹣3,x2＝﹣1

33

∴F(﹣1,0)

∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′

∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°,AB'＝AB＝1﹣(﹣3)＝4,AE'＝AE=√𝑂𝐴2+𝑂𝐸2=√32+(√3)2=2√3 ∴△ABB'、△AEE'是等边三角形

∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°,点B'在AB的垂直平分线上 ∴E'(﹣3,2√3),B'(﹣1,2√3) ∴B'E'＝2,∠FB'E'＝90°,E'F=√(−1+3)2+(2√3)2=4 ∴∠B'FE'＝30°,∠B'E'F＝60° ①如图3,点T在E'F上,∠B'TR＝90°

过点S作SW⊥B'E'于点W,设翻折后点E'的对应点为E'' ∴∠E'B'T＝30°,B'T=2B'E'=√3 ∵△B′E′R翻折得△B'E''R

∴∠B'E''R＝∠B'E'R＝60°,B'E''＝B'E'＝2 ∴E''T＝B'E''﹣B'T＝2−√3

∴Rt△RTE''中,RT=√3E''T＝2√3−3 ∵四边形RTB'S是矩形

∴∠SB'T＝90°,SB'＝RT＝2√3−3

√3∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60° ∴B'W=SB'=√3−,SW=

1

1232√32SB'＝3−

3√3 2√3∴xS＝xB'﹣B'W=2−√3,yS＝yB'+SW＝3+2 ∴S(−√3,3+

21

√32) ②如图4,点T在E'F上,∠B'RT＝90°

过点S作SX⊥B'F于点X

∴E'R=B'E'＝1,点E'翻折后落在E'F上即为点T ∴B'S＝RT＝E'R＝1

∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30° ∴XS=2B'S=2,B'X=2B'S=2 ∴xS＝xB'+XS=−2,yS＝yB'﹣B'X=2 ∴S(−,

13√3) 221

3√31

1

√3√312③如图5,点T在B'F上,∠B'TR＝90°

∴RE''∥E'B',∠E''＝∠B'E'R＝60° ∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120° ∴四边形B'E'RE''是平行四边形 ∵E'R＝E''R ∴▱B'E'RE''是菱形 ∴B'E'＝E'R

∴△B'E'R是等边三角形 ∵∠B'SR＝90°,即RS⊥B'E' ∴点S为B'E'中点 ∴S(﹣2,2√3) 综上所述,使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为(−√3,3+2)或(−2,2)或(﹣2,2√3)．

2【点评】本题考查了二次函数的图象与性质,解二元一次方程组和一元二次方程,特殊三角函数的应用,勾股定理,垂线段最短,等边三角形的性质,平移、旋转、轴对称的性质,菱形、矩形的判定和性质．第(1)题求线段和的最小值,要把长度会变化的线段转化到能连成一条直线的位置上,第(2)题要充分利用30°特殊直角三角形三边关系计算,运用旋转、轴对称性质解题．整题考查知识点全面,计算较复杂,难度较大． 27．(14分)(1)如图1,正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB＞DE),连接CE,AG交于点H,请直接写出线段AG与CE的数量关系 相等 ,位置关系 垂直 ;

(2)如图2,矩形ABCD和矩形DEFG,AD＝2DG,AB＝2DE,AD＝DE,将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°＜α＜360°),连接AG,CE交于点H,(1)中线段关系还成立吗？若成立,请写出理由;若不成立,请写出线段AG,CE的数量关系和位置关系,并说明理由;

(3)矩形ABCD和矩形DEFG,AD＝2DG＝6,AB＝2DE＝8,将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°＜α＜360°),直线AG,CE交于点H,当点E与点H重合时,请直接写出线段AE的长．

1

√313√3

【分析】(1)证明△GDA≌△EDC(SAS),即可求解;

(2)根据两边对应成比例且夹角相等证明△GDA∽△EDC,即可求解;

(3)①当点E在线段AG上时,如图3,证明△DGP∽△EGD,列比例式可得AE的长;②当点G在线段AE上时,如图4,同理可解． 【解答】解：(1)如图1,

在正方形ABCD和正方形DEFG中,∠ADC＝∠EDG＝90°, ∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE, 即∠ADG＝∠CDE, ∵DG＝DE,DA＝DC, ∴△GDA≌△EDC(SAS), ∴AG＝CE,∠GAD＝∠ECD, ∵∠COD＝∠AOH, ∴∠AHO＝∠CDO＝90°, ∴AG⊥CE,

故答案为：相等,垂直;

(2)不成立,CE＝2AG,AG⊥CE,理由如下：

如图2,由(1)知,∠EDC＝∠ADG, ∵AD＝2DG,AB＝2DE,AD＝DE, ∴

𝐷𝐺𝐴𝐷

=

1𝐷𝐸2𝐶𝐷

,=

𝐷𝐸𝐴𝐵

=,

2

1

∴

𝐷𝐺𝐴𝐷

=

𝐸𝐷𝐷𝐶

=, 2

1

∴△GDA∽△EDC, ∴

𝐴𝐷𝐷𝐶

=

𝐴𝐺𝐸𝐶

=,即CE＝2AG,

2

1

∵△GDA∽△EDC, ∴∠ECD＝∠GAD, ∵∠COD＝∠AOH, ∴∠AHO＝∠CDO＝90°, ∴AG⊥CE;

(3)①当点E在线段AG上时,如图3,

在Rt△EGD中,DG＝3,ED＝4,则EG＝5, 过点D作DP⊥AG于点P,

∵∠DPG＝∠EDG＝90°,∠DGP＝∠EGD, ∴△DGP∽△EGD, ∴

𝐷𝐺𝐸𝐺

=

𝑃𝐺𝐷𝐺

=

𝑃𝐷𝐸𝐷

,即=

5

3𝑃𝐺3

=

𝑃𝐷4

, ∴PD=

129,PG=, 55126√21, 5则AP=√𝐴𝐷2−𝑃𝐷2=√62−(5)2=则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE=

6√2196√21−16+−5=; 555②当点G在线段AE上时,如图4,

过点D作DP⊥AG于点P,

∵∠DPG＝∠EDG＝90°,∠DGP＝∠EGD, 同理得：PD=5,AP=

12

6√21, 512

16

由勾股定理得：PE=√42−(5)2=5, 则AE＝AP+PE=综上,AE的长为

6√21166√21+16+=; 5556√21±16． 5

【点评】本题是四边形综合题,涉及旋转的性质,矩形的性质,三角形全等和相似的性质和判定,勾股定理等知识,难度适中,其中(3)正确画图和分类讨论是解题的关键．