数学模型作业

东 北 大 学

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考试科目： 数学模型 课程编号： 阅 卷 人： 考试日期： 2012.12 姓 名： 李良友（2班） 学 号： *******

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东北大学研究生院

数学模型在计算机控制理论中的应用

目录

第1章 绪论 .........................................................1

1.1数学模型 .....................................................1

1.1.1数学模型简介 ...........................................1 1.1.2数学模型的构建步骤 .....................................1 1.2本论文内容 ...................................................2 第2章 数学模型与计算机控制理论 .....................................3

2.1 基本概念 ....................................................3 2.2 计算机控制理论中的数学模型 ..................................3

2.2.1 传递函数模型和状态空间模型 .............................3 2.2.2 确定性系统模型和不确定性系统模型 .......................6 2.2.3三种常用观测器模型 .....................................7 2.2.4卡尔曼（Kalman）滤波模型 ...............................9 2.2.5 数字PID模型 ...........................................9

第3章 数学模型的发展展望 ..........................................11 参考文献 ...........................................................12

数学模型在计算机控制理论中的应用

第1章 绪论

1.1数学模型

1.1.1数学模型简介

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构.从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论.因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学.从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达.

数学模型所表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但必须以定量的方式体现出来.因此，数学模型法的操作方式偏向于定量形式.

1.1.2数学模型的构建步骤

1、提出问题并用准确的语言加以表述. 2、分析各种因素，作出理论假设. 3、建立数学模型.

4、按数学模型进行数学推导，得出有意义的数学结果.

5、对数学结论进行分析.若符合要求，可以将数学模型进行一般化和体系化按此解

决问题若不符合，则进一步探讨，修改假设，重建模型，直止符合要求为止. 6、优化.对一个问题的假设和数学模型不断加以修改，进行最优化处理.因为对一

个问题或一类问题也可能有几个模型，以对它们要进行比较，直到找到最优模型.

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1.2本论文内容

本论文主要讲述的是数学模型在计算机控制理论中的应用，对计算机控制理论中的一些经典的数学模型按照不同的标准进行了分类，并分别加以介绍.本文首先介绍了数学模型的基本概念及建模步骤，其次介绍了计算机控制理论中的几个数学模型，最后对数学模型的发展进行了展望.

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第2章 数学模型与计算机控制理论

2.1 基本概念

计算机控制理论是自动控制理论与计算机技术相结合而产生的一门新兴学科，计算机控制理论是随着计算机技术的发展而发展起来的.自动控制技术在许多工业领域获得了广泛的应用，但是由于生产工艺日益复杂，控制品质的要求越来越高，简单的控制理论有时无法解决复杂的控制问题.计算机的应用促进了控制理论的发展，先进的控制理论和计算机技术相结合推动计算机控制理论不断前进.

计算机控制理论就是利用计算机（通常称为工业控制计算机）来实现工业过程自动控制的理论.在计算机控制理论中，由于工业控制机的输入和输出是数字信号，而现场采集到得信号或送到执行机构的信号大多是模拟信号，因此与常规的按偏差控制的闭环负反馈系统相比，计算机控制系统需要有数/模转换器和模/数转换器这两个环节.

计算机把通过测量元件、变送单元和模数转换器送来的数字信号，直接反馈到输入端与设定值进行比较，然后根据要求按偏差进行运算，所得到数字量输出信号经过数模转换器送到执行机构，对被控对象进行控制，使被控变量稳定在设定值上.这种系统称为闭环控制系统.

2.2 计算机控制理论中的数学模型

2.2.1 传递函数模型和状态空间模型

1.传递函数模型 （1）传递函数模型概述

传递函数就是零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比.传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法—频率响应法和根轨迹法—都是建立在传递函数的基础之上.传递函数的模型为

𝐺 𝑠 =

𝑌 𝑠

（2.1） 𝑈 𝑠

其中Y(s)、U(s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换.在计算机控制理论中，因其主要研究的是离散系统，故利用z变换将其变为z传递函数模型.z传递函数模型为

𝐺 𝑧 =𝑈(𝑧) （2.2）

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𝑌(𝑧)

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其中Y（z）、U（z）分别为Y（s）、U（s）在采样点上的值.复变量z算子与s算子的数学关系为

z=eTs （2.3）

其中T为采样周期.

对象的离散化传递函数模型G(z)可以由描述对象的差分方程通过z变换求出，也可以通过对连续对象的s传递函数模型G(s)进行z变换得到，还可以有对象的单位脉冲响应序列得到.

（2）传递函数模型应用

a、 确定系统的输出响应.对于传递函数G(z)已知的系统，在输入作用u(z)给定后，系统的输出响应y(z)可直接由G(z)U(z)运用z反变换方法来定出.

b、分析系统参数变化对输出响应的影响.对于闭环控制系统，运用根轨迹法可方便地分析系统开环增益的变化对闭环传递函数极点、零点位置的影响，从而可进一步估计对输出响应的影响.

c、用于控制系统的设计.直接由系统开环传递函数进行设计时，可以采用零极点配置法.

（3）传递函数模型局限性

1960年以来关于能控性和能观测性的研究表明，传递函数只是对系统内部结构的一种不完全的描述，只能表征其中直接或间接地由输入可控制和从输出中可观测到的那一部分.引入状态空间描述（见状态空间法），可弥补这种缺陷. 2.状态空间模型 （1）状态空间模型概述

状态是指在系统中决定系统状态的最小数目的变量的有序集合.而所谓状态空间则是指该系统的全部可能状态的集合.简单来说，状态空间可以视为一个以状态变量为座标轴的空间，因此系统的状态可以表示为此空间中的一个向量.状态空间表示法即为一种将物理系统表示为一组输入、输出及状态的数学模式，而输入、输出及状态之间的关系可用许多一阶微分方程来描述.

为了使数学模式不受输入、输出及状态的个数所影响，输入、输出及状态都会以向量的形式表示，而微分方程（若是线性非时变系统，可将微分方程转变为代数方程）则会以矩阵的形式来来表示.

状态空间表示法提供一种方便简捷的方法来针对多输入、多输出的系统进行分析并

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建立模型.一般频域的系统处理方式需在常系数，启始条件为0的系统.而状态空间表示法对系统的系数及起始条件没有.

设一个n维线性控制系统的状态向量为X(t),输出向量为Y(t)，

u1(t)y1(t)x1(t)u(t)y(t)x(t)2 Y(t)2 (2.4) X(t)2 U(t)y(t)u(t)x(t)nqp状态模型=状态方程+输出方程

状态方程为描述输入作用引起状态变化的运动过程，为一一阶线性微分方程组

dx1a11x1a12x2a1nxnb11u1b12u2b1pupdtdx2a21x1a22x2a2nxnb21u1b22u2b2pup （2.5） dtdxnan1x1an2x2annxnbn1u1bn2u2bnpupdt输出方程为描述由状态和输入所决定的输出，为一代数方程组

y1c11x1c12x2c1nxnd11u1d12u2d1pupycxcxcxdududu22112222nn2112222pp （2.6）yqcq1x1cq2x2cqnxndq1u1dq2u2dqpup

a11aA21an1a12a22an2a1nb11b12b1pbbba2n21222p  Bbbban1n2npnnd12d22dq2d1pd2p dqpc11c12c1nd11cdcc21222n D21Ccccq1q2qndq1状态模型的矩阵表示为

dX(t)AX(t)BU(t)，X(0)X0 （2.7） dtY(t)CX(t)DU(t).显然，该系统完全由矩阵所确定.以后我们以{A,B,C,D}形式来简记该系统.

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系统A,B,C,D 称为线性定常系统；如果各矩阵诸元素为时间t的函数，则系统

A(t),B(t),C(t),D(t)称为线性时变系统.

同样在计算机控制理论中把连续的状态空间模型离散化得到其离散的状态空间模型

X(k1)FX(k)G(k) （2.8） Y(k)CX(k)

在控制系统中，尤其是工业过程中，由于管道的传输.热传导等均需要一定的时间，因此在被控对象中常常包含延时.连续的被控对象模型为

𝐴𝑡其中F=𝑒𝐴𝑇,𝐺= 𝑒𝑑𝑡𝐵0

𝑇

dX(t)AX(t)BU(t-)，X(0)X0 （2.9） dtY(t)CX(t)DU(t)（2）状态空间模型的特点

1、状态空间模型不仅能反映系统内部状态，而且能揭示系统内部状态与外部的输入和输出变量的联系.

2、状态空间模型将多个变量时间序列处理为向量时间序列，这种从变量到向量的转变更适合解决多输入输出变量情况下的建模问题.

3、状态空间模型能够用现在和过去的最小心信息形式描述系统的状态，因此，它不需要大量的历史数据资料，既省时又省力. （3）状态空间模型的优点

优点一:状态空间模型是一种结构模型，基于状态空间分解模型的时间序列预测，便于分析者利用存在的统计理论对模型进行统计检验.

优点二:状态空间模型求解算法的核心是Kalman滤波，Kalman滤波是在时刻t基于所有可得到的信息计算状态向量的最理想的递推过程.当扰动项和初始状态向量服从正态分布时，Kalman滤波能够通过预测误差分解计算似然函数，从而可以对模型中的所有未知参数进行估计，并且当新的观测值一旦得到，就可以利用Kalman滤波连续地修正状态向量的估计.

2.2.2 确定性系统模型和不确定性系统模型

在上一节所描述的传递函数模型和状态空间模型都是基于确定型系统所建立的，都

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没有考虑系统中存在的随机干扰的影响.在实际控制系统尤其是工业过程控制系统中，总存在着随机干扰，若想设计高性能的控制系统，就必须按照随机系统，并采用最优化的方法设计.随机变量不能用已知的时间函数来描述，只能了解它的某些统计特性.

不确定系统的离散状态空间模型为

X(k)FX(k-1)GU(k-1)V(k1) (2.10)Y(k)CX(k)W(k) 

其中X k ∈Rn,U k ∈Rm,Y k ∈Rr,V k ∈Rn为过程干扰向量，W k ∈Rr为测量噪声向量.假设V k 和W k 均为离散的高斯白噪声序列，且有

𝐸𝑉 𝑘 =0,𝐸𝑉 𝑘 𝑉𝑇 𝑘 =𝑉

𝐸𝑊 𝑘 =0,𝐸𝑊 𝑘 𝑊𝑇 𝑘 =𝑊 (2.11)

2.2.3三种常用观测器模型

在计算机控制原理中经常用到按照极点配置设计控制规律，在实际中并不能测到所有的状态变量，这时就应该构建一种状态观测器，利用输出和已知的状态变量去构建所有的变量，记x (k)为实际状态x(k)的重构，本节讨论三种观测器模型：预报观测器模型，现实观测器模型和降阶观测器模型，其中前两种观测器称为全阶观测器，即观测器阶次与系统阶次相等；而降阶观测器的阶次总是低于系统阶次.

1、预报观测器模型

预报观测器的机构形式可以较好的利用可以测量到的输出量修正预报参数，改善了状态重构的缺点.

图 1 观测器模型

针对图1写出相应的观测器模型为

ˆ(k1)FXˆ(k-1)GU(k-1)L[Y(k)-CXˆ(k)] (2.12) Xˆ(k-1)只用到了k时的输出量Y(k)，在上面的模型中，k+1时刻的状态重构X因此此方程称为“预测观测器模型”，其中L称为观测器增益矩阵.

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2、现实观测器模型

前面介绍的观测器模型，现实的状态重构只用到前一刻的输出量Y(k-1)，即在在现实的控制信号U(k)中只包括前一时刻的输出信息，也就是采用预报观测器时，输出信号将不能及时的得到反馈.但采用的周期较长时，这种模型将影响控制性能，可以采用如下的观测形式

ˆ(k)GU(k)X(k1)FX ˆ(2.13)

X(k1)X(k1)L[Y(k1)-CX(k1)]

第一式作为状态重构的一步预报，而第二式根据最新得到的输出量对同一时刻的状态重构进行修正，因此称之为现时观测器模型，另一种现时观测器的表达形式为

𝑘+1 = 𝐹−𝐾𝐶𝐹 𝑋 𝑘 + 𝐺−𝐾𝐶𝐺 𝑈 𝑘 +𝐾𝑌(𝑘+1) (2.14) 𝑋

3、降阶观测器模型

前面的两个模型都是根据输出量构出的全部状态，如果所测量的量便是其中的一部分状态，那么这些能测量的状态及没必要进行重构，降阶观测器模型就能解决这些问题.

将原来的状态量分成两部分

𝑋(𝑘)

𝑋 𝑘 = 𝑎 (2.15)

𝑋𝑏(𝑘)

其中𝑋𝑎(𝑘)表示能够测量的部分变量，Xb(k)表示需要重构的部分状态.据此，原来被控对象的状态空间模型可以分块为

𝑋 𝑘+1 𝐹

𝑎 = 𝑎𝑎

𝐹𝑏𝑎𝑋𝑏 𝑘+1

𝐹𝑎𝑏𝑋𝑎 𝑘 𝐺

+ 𝑎 𝑈 𝑘 (2.16) 𝐹𝑏𝑏𝑋𝑏 𝑘 𝐺𝑏

𝑋 𝑘

𝑌 𝐾 =[𝐼 𝑂] 𝑎 (2.17)

𝑋𝑏 𝑘

展开得

𝑋𝑎 𝑘+1 =𝐹𝑎𝑎𝑋𝑎 𝑘 +𝐹𝑎𝑏𝑋𝑏 𝑘 +𝐺𝑎𝑈 𝑘 (2.18) 𝑋𝑏 𝑘+1 =𝐹𝑏𝑎𝑋𝑎 𝑘 +𝐹𝑏𝑏𝑋𝑏 𝑘 +𝐺𝑏𝑈 𝑘 (2.19)

从而推导出观测器方程如下

𝑏 𝑘+1 =𝐹𝑏𝑏𝑋 𝑏 𝑘 +𝐹𝑏𝑎𝑋𝑎 𝑘 +𝐺𝑏𝑈 𝑘 𝑋

𝑏 𝑘 ] (2.20) 𝐾[𝑋𝑎 𝑘+1 −𝐹𝑎𝑎𝑋𝑎 𝑘 −𝐺𝑎𝑈 𝑘 −𝐹𝑏𝑎𝑋

上式便是根据已知测量Xa k 估计Xb k 的观测模型，由于该观测器的维数低于全部状态的维数，因此叫做降阶观测器模型.

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2.2.4卡尔曼（Kalman）滤波模型

1、卡尔曼滤波模型的概述

卡尔曼滤波器包括两个主要过程：预估与校正.预估过程主要是利用时间更新方程建立对当前状态的先验估计，及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计的值，以便为下一个时间状态构造先验估计值；校正过程负责反馈，利用测量更新方程在预估过程的先验估计值及当前测量变量的基础上建立起对当前状态的改进的后验估计.这样的一个过程，我们称之为预估－校正过程，对应的这种估计算法称为预估－校正算法.

卡尔曼滤波模型归纳如下

𝑘 =𝐹𝑋 𝑘−1 +𝐺𝑈 𝑘−1 (2.21) 𝑋

𝑘 =𝑋 𝑘 +𝐾 𝑘 𝑌 𝑘 −𝐶𝑋 𝑘 (2.22) 𝑋

𝐾 𝑘 =𝑀 𝑘 𝐶𝑇[𝐶𝑀 𝑘 𝐶𝑇+𝑊]−1 (2.23) 𝑀 𝑘 =𝐹𝑃 𝑘−1 𝐹𝑇+𝑉 (2.24) 𝑃 𝑘 = 𝐼−𝐾 𝑘 𝐶 𝑀 𝑘 𝐼−𝐾 𝑘 𝐶 𝑇+𝐾 𝑘 𝑊𝐾𝑇(𝑘) (2.25)

2、卡尔曼滤波模型的应用

卡尔曼滤波器模型是一个最优化自回归数据处理算法，它的广泛应用已经超过30年，包括航空器轨道修正、机器人系统控制、雷达系统与导弹追踪等.近年来更被应用于组合导航与动态定位，传感器数据融合、微观经济学等应用研究领域.特别是在图像处理领域如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等当前热门研究领域占有重要地位.卡尔曼滤波作为一种数值估计优化方法，与应用领域的背景结合性很强.因此在应用卡尔曼滤波解决实际问题时，重要的不仅仅是算法的实现与优化问题，更重要的是利用获取的领域知识对被认识系统进行形式化描述，建立起精确的数学模型，再从这个模型出发，进行滤波器的设计与实现工作.

2.2.5 数字PID模型

1.数字PID模型概述

PID控制模型,又称为PID调节器,是工业控制中常用的校正装置.它结构简单,技术成熟,对被控对象的精确数学模型要求不高,调节参数可以根据现场调试或经验确定.PID控制器的数学模型如下

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1tde(t)u(t)Ke(t)e()dTpd (2.26) 0Tdti1 (2.27) Gc(s)Kp1TdsTis由于计算机控制是一种采样的离散控制，因此要实现PID的数字化，就必须对模拟

PID进行离散化处理，用数字形式的差分方程替代连续系统的微分方程.离散PID表达式为

TTk (2.28) P(k)Kp{e(k)e(j)d[e(k)e(k1)]}Tij0T2.数字PID模型的优点

在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节.PID控制器问世至今已有近70年历史，它 以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一.当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的 其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便.PID控制，实际中也有PI和PD控制.PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、 积分、微分计算出控制量进行控制的.

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第3章 数学模型的发展展望

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步.建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.

所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定研究对象,为了某个特定的目的,做一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,并通过数学语言表述出来的一个数学结构.数学模型的建立需要创造性的思维和抽象的思维.创造性思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程.通过这种思维不仅能揭露客观事物的本质及其内部联系,而且能在此基础上产生新颖的、独创的、有社会意义的思维成果.创造性思维在数学建模中起着不可替代的引导作用,从而推进着数学科学的发展,同时也向人们提供有效地解决大量实际间题的思维方法和手段.抽象思维指人们借助于概念、判断、推理这些思维形式所进行的思考活动.它是人脑对客观事物间接的、概括的反映,属于理性认识阶段.科学的抽象是在概念中反映自然界或社会物质过程的内在本质的思想,它是在对事物的本质属性进行分析、综合、比较的基础上,抽取出事物的本质属性,撇开其非本质属性,使认识从感性的具体进入抽象的规定,形成概念.抽象思维凭借科学的抽象概念对事物的本质和客观世界发展的深远过程进行反映,使人们通过认识活动获得远远超出靠感觉器官直接感知的知识.而建模的过程,即是将实际问题转化为某个数学结构的过程.

数学模型在计算机控制理中有很多的应用，从建模的开始到模型分析与控制器模型的建立，数学模型贯穿其中.因此学好数学模型这门课对于学习计算机控制理论有非常重要.

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参考文献

1. 王锦标.计算机控制系统.北京：清华大学出版社,2006,70-103.

2. 李铁桥.计算机控制理论与应用.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2006,212-275. 3. 陶永华.新型PID控制及其应用.机械工业出版社, 2002,36-79.

4. 徐琳中.基于粒子滤波和卡尔曼滤波的复杂场景下视觉跟踪.浙江大学，2009. 5. 杨文,侍洪波,汪小帆.卡尔曼一致滤波算法综述.控制与决策,2011. 6. 何芝强. PID控制器参数整定方法及其应用研究.浙江大学.2005.

7. 李钟慎.PID控制器的解析法整定及其MATLAB实现.计算技术与自动化. 2003. 8. 宋金来,甘作新,韩京清.自抗扰控制技术滤波特性的研究.控制与决策.2003. 9. 陈晨,周玉国,朱志伟.观测器特征向量配置的方法在控制系统故障诊断中的应用[J].

煤矿现代化. 2010.

10. 李振营,沈毅,胡恒章.干扰解耦观测器设计的新方法[J].控制与决策. 2000. 11. 王清印,刘志勇,赵秀恒.广义不确定性系统概念及其基本原理[J]. 华中科技大学学

报(自然科学版). 2005.

12. 王光远.未确知信息及其数学处理[J].哈尔滨建筑工程学院学报.1990. 13. 袁南儿.计算机新型控制策略及其应用.北京：清华大学出版社.1998. 14. 鲍立威,申志强.预测控制在大型焦炉上的应用[J].控制与决策.1996.

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