第5节 周期函数注意点以及常见抽象函数的周期性

周期函数

一.周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数．．．．T，使得当x取定义域内的每一个值．．．．时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

注意：

① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界的集合。 理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n是整数),即x+nT也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。

② 变的只能是x

T的变化只能发生在x 上。例如f(x)sin(3 是周期函数，则x8)f(xT)sin[3(xT)8]，不能写成f(xT)sin(3xT8)。

xxx 例题：sin2sin ，那么2 是sin()的周期吗？

333

③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。 例如：f(x)x[x]（3x3 ）（[x] 是取整函数，表示不超过x的最大整数），该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域两端都有界，所以其必不为周期函数。

二.周期函数问题的相关题型及解答。

核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期T，即将题目里各种f(x)的等式往f(xT)f(x)方向化简。

化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意f(x) 本身的对称性和奇偶性。

三.抽象函数的周期总结

1. f(x)f(xT)型：f(x)的周期为T。

证明：对x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，则f(x)为周期函数，T叫函数f(x)的周期。

2. f(xa)f(xb)型：f(x)的周期为|ba|。 证明：f(xa)f(xb)f(x)f(xba)。 3. f(xa)f(x)型：f(x)的周期为2a。

证明：f(x2a)f[(xa)a]f(xa)[f(x)]f(x)

4. f(xa)1型：f(x)的周期为2a。 f(x)1f(xa)1f(x)。 1f(x)证明：f(x2a)f[(xa)a]5. f(xa)1型：f(x)的周期为2a。 f(x)1f(xa)1f(x)。 1f(x) 证明：f(x2a)f[(xa)a]6. f(xa)1f(x)型：f(x)的周期为4a。

1f(x)111f(xa) 证明：f(x2a)f[(xa)a] 11f(xa)111∴f(x4a)f[(x2a)2a]f(x)1f(x)， f(x)f(x)f(x)1f(x2a)1f(x)。 1f(x)7. f(xa)1f(x) yf(x)的周期为T2a

1f(x)11f(xa)1证明：f(x2a)f[(xa)a]=11f(xa)111f(x)f(x)f(x)。 f(x)f(x)8、 f(xa)1 yf(x)的周期为T3a

f(x)11f(x)11f(x)1f(x)111证明：f[(x2a)a]f(x)

f(x)1f(x2a)11f(x)f(x3a)f(x)f[(xa)a]9、f(x2a)f(xa)f(x) yf(x)的周期为T6a 证明：f(x2a)f(xa)f(x)

1f(xa)1f(x3a)f(x2a)f(xa)

f(x3a)f(x)f[(x3a)3a](f(x))f(x)

10、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a是

它的一个周期。

11. 若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x) (a>0),若f(x)为奇函数，则其周期为

4a，若f(x)为偶函数，则其周期为2a

12、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0), 则f()=0.

T2命题角度1 函数的周期性求值

例1、函数fx对于任意实数x满足条件fx21，若f1,5则fxff5__________。

解析：由fx211f(x)，得fx4所以f(5)f(1)5，

fxfx211。

f(12)5则ff5f(5)f(1)【例】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－111

x)＝－f(x)；当x>2时，f x＋2＝f x－2.则f(6)＝( )

A.－2

B.－1

C.0

D.2

111

解析 当x>2时，由f(x＋2)＝f(x－2)， 得f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)，

又由题意知f(1)＝－f(－1)，且f(－1)＝(－1)3－1＝－2. 因此f(6)＝－f(－1)＝2.

答案 D

命题角度2 函数的奇偶性与周期性综合应用

【例】 (1)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

【例】 (1)(2017·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝A.(－1，4) C.(－1，0)

2a－3

，则实数a的取值范围为( ) a＋1

B.(－2，0) D.(－1，2)

(2)(2018·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析x（1－x），0≤x≤1，2941式为f(x)＝ 则f 4＋f 6＝________.

sin πx，1解析 (1)∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)， ∵f(1)<1，f(5)＝解得－132941

(2)由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f 4＋f 6＝f2×4－4＋f

π57337372×4－－－＝f 4＋f 6＝－f 4－f 6＝－16＋sin 6＝16. 65答案 (1)A (2)16 规律方法 ：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.

2a－3a＋1

，∴2a－3a＋1

<1，即

a－4a＋1

<0，