一、单项选择题（每小题2分，共10小题，共计20分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．“向东10米”与“向西10米”不是相反意义的量
B．如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米 C．如果气温下降6℃，记为-6℃，那么+8℃的意义就是下降8℃
D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么－0.05米所表示的高是0.95米 2．若x为整数，且满足
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．若数轴上点A表示的数是A．
B．
或
C．7 D．
，则与它相距2个单位的点B表示的数是（ ） 或3
，则满足条件的x的值有（ ）
4．2021年10月16日6时56分，神舟十三号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻距离地球表面大约393 700米的天和核心舱，中国空间站开启了有人长期驻留的时代．将393 700用科学记数法表示为（ ） A．
B．
C．
D．
5．某校组织初一年级学生外出旅游，景点电瓶车有8座的和12座的两种．若租用8座的电瓶车x辆，则余下6人无座位；若租用12座的电瓶车则可少租用1辆，且最后一辆电瓶车还没坐满，则乘坐最后一辆12座电瓶车的人数是（ ）
A．（30﹣4x）人 B．（6﹣4x）人 C．（18﹣4x）人 D．（18﹣8x）人 6．已知5xmy4与x3y4是同类项，则m的值是（ ） A．3 B．2 C．5 D．4 7．若关于的方程
的解是
，则代数式
的值为（ ）
A． B． C． D．
8．小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，恰好准时到达，则小明原来的速度是（ ）
A．12千米/小时 B．17千米/小时 C．18千米/小时 D．20千米/小时 9．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简
的结果（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积和周长分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
二、填空题（每小题2分，共8小题，共计16分）
11．比较大小：
_______________
12．已知与互为相反数，则_______．
13．的倒数等于_______．
14．有两组数，第一组：，第二组：26，91，﹣12，从这两组数中各取一个数，将它们相乘，那
么所有这样的乘积的总和是_______． 15．如果代数式
，则代数式
_____．
16．去括号并合并：3（a-b）-2（2a+b）=___________． 17．如果
是关于的方程
的解，那么
的值是______．
18．已知关于的一元一次方程
的解为________．
的解为，那么关于的一元一次方程
三、解答题（共10小题，共计分）
19.（本题满分4分）计算： (1)（－99
）×5；
(2)．
20.（本题满分6分）解方程： (1)2﹣2（x﹣2）＝3（x﹣3）； (2)
．
21.（本题满分4分）先化简，再求值：3（x2y+xy）﹣2（x2y﹣xy）﹣4x2y﹣3，其中x、y满足|x+1|+（y﹣1）
2＝0．
22.（本题满分6分）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索 (1)求|5﹣（﹣2）|＝ ．
(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 ．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
23.（本题满分6分）已知多项式．
(1)化简多项式；
的值．
(2)从下面①②两组条件中选取一组作为已知条件，求多项式
．
①；②
24.（本题满分6分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程
和
为“美好方程”．
与方程与方程
是否互为“美好方程”； 是“美好方程”，求m的值；
(1)请判断方程(2)若关于x的方程
(3)若关于x方程的解．
与是“美好方程”，求关于y的方程
25.（本题满分6分）某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠为所有商品八折，设购买书架a只．
(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用含a的式子表示）；
(2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？
(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？
26.（本题满分8分）某校为准备运动会，在一条笔直的跑道上画一段跑道AB，如图，台O为原点，A点表示数a米，B点表示数b米，且关于x多项式
不含x的3次项和
2次项．
(1)a＝ ；b＝ ；AB跑道为 米赛跑跑道．
(2)甲、乙两机器人同时从O出发，甲向A以3米/分速度画线，乙向B以2米/分速度画线，甲、乙两机器人到达终点A、B后，立刻按原速度返回到O点．设两机器人运动时间为t分钟，用含t的式子求出它们从O出发到回到O的过程中，甲、乙两机器人的距离．
(3)在（2）的条件下，t为何值时，两机器人相距60米？并直接写出两机器人相距60米时，各自所在位置所表示的数．
27.（本题满分9分）（1）尝试：比较下列各式的大小关系：(用
___________
； ②
_________
填空) ；
①
③_________； ④__________；
（2）归纳：观察上面的数量关系，可以得到：
___________(用填空)
（3）应用：利用上面得到的结论解决下面问题：
若＝16，＝2，则=______________．
（4）拓展：当满足什么条件时，＞(请直接写出结果，不需过程)
28.（本题满分9分）【情景再现】
通过“活动 思考”一节的学习，小红知道了：把一张长方形纸片按下图要求折叠、裁剪、展开，可以得到由长方形裁剪出的一个最大正方形．
【操作探究】
聪明的小红在学习了这一个知识后给出了一个“可裁长方形”的定义：当相邻两边长分别为的长方
形通过上述方法裁剪掉一个最大的正方形后，再在剩下的部分裁剪出一个最大的正方形，如此反复，最后剩下的部分也是一个正方形，像这样一类长方形称为可裁长方形．并进行了以下探索：
当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则a的值为 ；
当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的的值为 ；
当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出所有符合条件可裁长方形，标注出裁剪线，并在对应的图形下方写出的值． 【方法迁移】
取一个自然数，若它是奇数，则乘以加上；若它是偶数，则除以，按此规则经过若干步的计算最终可得到．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数，最少经过下面步运算可得．即：
自然数
最少经过 步运算可得到；
如果自然数最少经过步运算可得到，则所有符合条件的的值为 ．
期中模拟测试03
一、单项选择题（每小题2分，共10小题，共计20分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．“向东10米”与“向西10米”不是相反意义的量
B．如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米 C．如果气温下降6℃，记为-6℃，那么+8℃的意义就是下降8℃
D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么－0.05米所表示的高是0.95米 【答案】D
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，依次判断各可． 【详解】A.“向东10米”与“向西10米”是相反意义的量，故本选项错误；
B.如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降15米，故本选项错误； C.如果气温下降6℃，记为-6℃，那么+8℃的意义就是气温上升8℃，故本选项错误；
D.若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20，那么－0.05米所表示的高是0.95米，故本选项正确， 故选：D．
【点睛】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．若x为整数，且满足
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D
【分析】根据数轴的性质可得【详解】∵
表示x到2和-4的距离之和，故可求出整数x的值． ，则满足条件的x的值有（ ）
∴x到2和-4的距离之和为6
故x的值在-4到2之间的整数，即-4，-3，-2，-1,0,1,2 故选D．
【点睛】此题主要考查数轴的性质应用，解题的关键是熟知数轴上两点的距离公式． 3．若数轴上点A表示的数是A．
B．
或
C．7 D．
，则与它相距2个单位的点B表示的数是（ ） 或3
【答案】B
【分析】根据B点在A点左侧和右侧分类讨论，加2或减2即可． 【详解】解：当B点在A点左侧时，点B表示的数是：-5-2=-7； 当B点在A点右侧时，点B表示的数是：-5+2=-3； 故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上表示的数，根据表示两个数的两点的位置进行分类讨论，根据距离进行加减是解题关键．
4．2021年10月16日6时56分，神舟十三号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻距离地球表面大约393 700米的天和核心舱，中国空间站开启了有人长期驻留的时代．将393 700用科学记数法表示为（ ） A．【答案】C
【分析】根据较大数的科学记数法的要求表示即可． 【详解】∵393700＝故选C．
【点睛】本题考查了大数的科学记数法，熟练掌握表示法的基本要求是解题的关键．
，
B．
C．
D．
5．某校组织初一年级学生外出旅游，景点电瓶车有8座的和12座的两种．若租用8座的电瓶车x辆，则余下6人无座位；若租用12座的电瓶车则可少租用1辆，且最后一辆电瓶车还没坐满，则乘坐最后一辆12座电瓶车的人数是（ ）
A．（30﹣4x）人 B．（6﹣4x）人 C．（18﹣4x）人 D．（18﹣8x）人 【答案】A
【分析】由租用的8座船可求有（8x+6）人，再由12座船的情况可求得：(8x+6)﹣12(x﹣2)＝﹣4x+30． 【详解】解：∵租用8座的船x艘，则余下6人无座位， ∴一共有（8x+6）人， 租用12座的船（x﹣1）艘， ∵最后一艘还没坐满，
最后一艘船坐：(8x+6)﹣12(x﹣2)＝(﹣4x+30)（人）， 故选：A．
【点睛】本题考查列代数式．理解题意，根据所给信息找到等量关系，列出正确的代数式是解题的关键．
6．已知5xmy4与x3y4是同类项，则m的值是（ ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】A
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m的值． 【详解】∵5xmy4与x3y4是同类项， ∴m＝3， 故选：A．
【点睛】本题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项中的两个相同是关键，①所含字母相
同，②相同字母的指数相同． 7．若关于的方程A．
B． C．
D．
的解是
，则代数式
的值为（ ）
【答案】A
【分析】将方程的解代回方程得【详解】解：把
代入原方程得
．
，再整体代入代数式求值即可．
，即
，
则
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值和方程解的定义，解题的关键是掌握方程解的定义，以及利用整体代入的思想求值．
8．小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，恰好准时到达，则小明原来的速度是（ ）
A．12千米/小时 B．17千米/小时 C．18千米/小时 D．20千米/小时 【答案】C
【分析】设原来的速度是x千米/小时，则提高速度后为x+1千米/小时，根据出发半小时后，发现按原速行驶要迟到10分钟，将速度每小时增加1千米，恰好准时到达，分别表示路程建立方程求解即可．
【详解】解：设小明原来的速度是x千米/小时，则提高速度后为x+1千米/小时，由题意得
（3.5+）x=x+（x+1）×（3.50.5），
解得：x=18．
答：小明原来的速度是18千米/小时．
故选：C
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，利用行程问题中的速度、时间、路程之间的等量关系是解决问题的关键．
9．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简
的结果（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据数轴判断
、
、
与0的大小关系，然后根据绝对值的意义化简，根据
整式的运算法则计算即可． 【详解】解：由数轴可知：∴
、
、
，
，
∴
＝＝＝
，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的运算，化简绝对值，数轴，解题的关键是根据数轴判断相应式子与0的大小关系是解本题的关键．
10．在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积和周长分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】B
【分析】观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．
【详解】解：周长依次为32a，a，128a，…，2n+4a，即无限增加， 所以不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为2n+4a；
图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一个定值16a2． 故选：B．
【点睛】此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度．
二、填空题（每小题2分，共8小题，共计16分）
11．比较大小：【答案】>
【分析】根据有理数大小比较的性质分析，即可得到答案．
_______________
【详解】∵，，
∴
故答案为：>．
【点睛】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的性质，从而完成求解． 12．已知【答案】-12
【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意得：|a-3|+|b+4|=0, a-3=0，b+4=0， 解得：a=3，b= -4， 则原式= 3×（-4）= -12． 故答案是：-12．
【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 13．
的倒数等于_______．
_______．
与互为相反数，则
【答案】
【分析】先把待分数化为假分数，然后根据倒数的定义求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为 ，把带分数化为假分数是解答此题的关键．
14．有两组数，第一组：，第二组：26，91，﹣12，从这两组数中各取一个数，将它们
相乘，那么所有这样的乘积的总和是_______． 【答案】-29
【分析】根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
）×26+（﹣
）×91+（﹣
）×（﹣12）+
×26+
×91+
×（﹣12）+（﹣
【详解】解：（﹣×26+（﹣
）
）×91+（﹣）×（﹣12）
＝（﹣）×（26+91﹣12）+×（26+91﹣12）+（﹣）×（26+91﹣12）
＝﹣×105+×105﹣×105
＝﹣35+21﹣15 ＝﹣50+21 ＝﹣29． 故答案为：﹣29．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，逆运用乘法分配律计算更加简便． 15．如果代数式【答案】
，则代数式
_____．
【分析】首先提公因式把到答案．
变形为，然后将整体代入求值即可得
【详解】解：，
将代入可得，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求代数式的值，运用整体代入求值法：整体代入求值法是将已知条件适当变形，
然后作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法． 16．去括号并合并：3（a-b）-2（2a+b）=___________． 【答案】-a-5b
【分析】根据乘法分配律去括号，再合并同类项. 【详解】3（a-b）-2（2a+b）=3a-3b-4a-2b=-a-5b 故答案为-a-5b
【点睛】本题考核知识点：整式的运算.解题关键点：正确去括号，合并同类项. 17．如果【答案】4
【分析】把x=-2代入方程得到关于m的方程，求得m的值即可． 【详解】解：把x=-2代入方程得-1+m=3， 解得：m=4． 故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．
18．已知关于的一元一次方程
的解为________．
的值是______．
是关于的方程的解，那么
的解为，那么关于的一元一次方程
【答案】2024
【分析】根据关于x的一元一次方程的解，可以得到m的值，把m的值代入关于y的方程式中，可以得到y的解．
【详解】法一：∵的解为，
∴，
解得：，
∴方程可化为
，
∴，
∴
， ，
，
∴∴
故答案为：2024．
法二：将所求方程两边同乘-1，
对照
比较发现， x=y-5,而x=2019, 所以y=2024
【点睛】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键．
三、解答题（共10小题，共计分）
19.（本题满分4分）计算： (1)（－99
）×5；
(2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先把所求式子变形，然后根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘法，最后计算减法即可．
【详解】（1）解：（1）（－99＝（－100+
）×5
）×5
＝－100×5+×5
＝－500+
＝；
（2）＝
＝
＝－1－×11
＝－1－
＝－．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20.（本题满分6分）解方程： (1)2﹣2（x﹣2）＝3（x﹣3）；
(2)．
【答案】(1)x＝3；(2)
【分析】（1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）去括号：2﹣2x+4＝3x﹣9， 移项：﹣2x﹣3x＝﹣9﹣2﹣4， 合并同类项：﹣5x＝﹣15， 系数化为1：x＝3；
（2）去分母：2（5x+1）﹣（2x﹣1）＝6， 去括号：10x+2﹣2x+1＝6， 移项：10x﹣2x＝6﹣2﹣1， 合并同类项：8x＝3，
系数化为1：．:
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
21.（本题满分4分）先化简，再求值：3（x2y+xy）﹣2（x2y﹣xy）﹣4x2y﹣3，其中x、y满足|x+1|+（y﹣1）2＝0．
【答案】原式化简为﹣3x2y+5xy﹣3，代入求值结果为-11．
【分析】先由绝对值和偶次方的非负性求得x和y的值，再对题中的多项式去括号、合并同类项，然后将x与y的值代入计算即可．
【详解】解：∵|x+1|+（y﹣1）2＝0，且|x+1|≥0，（y﹣1）2≥0，
∴x+1＝0，y﹣1＝0， ∴x＝﹣1，y＝1，
∴3（x2y+xy）﹣2（x2y﹣xy）﹣4x2y﹣3 ＝3x2y+3xy﹣2x2y+2xy﹣4x2y﹣3 ＝﹣3x2y+5xy﹣3
＝﹣3×（﹣1）2×1+5×（﹣1）×1﹣3 ＝﹣3×1×1﹣5﹣3 ＝﹣3﹣5﹣3 ＝﹣11．
∴原式化简为﹣3x2y+5xy﹣3，代入求值结果为-11．
【点睛】本题考查整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是正确计算的关键．
22.（本题满分6分）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索 (1)求|5﹣（﹣2）|＝ ．
(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 ．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7
(2)﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2 (3)|x﹣2|+|x﹣6|有最小值，最小值是3
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题； （2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；
（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】（1）解：|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7， 故答案为：7； （2）当x＞2时，
|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得，故此种情况不存在； 当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，
故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2； 当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x-3＝7，解得存在；
故答案为：-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2； （3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3，
理由：当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3， 当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3， 当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3， 故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
与x＜﹣5矛盾，故此种情况不
23.（本题满分6分）已知多项式．
(1)化简多项式；
的值．
(2)从下面①②两组条件中选取一组作为已知条件，求多项式
①；②．
【答案】(1)
(2)选①和②的结果都为-6．
【分析】（1）根据整式的加减法则计算即可；
（2）①根据绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，再代入（1）所求的化简后的式子求值即可；②将（1）所求的化简后的式子变形为
，再整体代入即可．
【详解】(1)
；
(2)①∵；
∴，
解得：，
将代入，得：；
②∵∴将
，
代入上式，得：
．
【点睛】本题考查整式加减混合运算中的化简求值，非负数的性质，代数式求值．掌握整式加减混合运算的运算法则是解答本题的关键．
24.（本题满分6分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程
和
为“美好方程”．
(1)请判断方程(2)若关于x的方程
与方程与方程
是否互为“美好方程”； 是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x方程与的解．
是“美好方程”，求关于y的方程
【答案】(1)是 (2)(3)
【分析】（1）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解； （2）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；
（3）先求出解为：
的解为
，然后把，即可求解．
，根据“美好方程”的定义，可得方程
化为
，可得
的
【详解】（1）解：是，理由如下： 由由
方程
与方程
是“美好方程”．
解得解得：
； ．
（2）解：由解得；
由解得．
方程与方程是“美好方程”
，
解得
．
（3）解：由解得；
方程与方程是“美好方程”
方程的解为：，
又
，
解得：
．
可化为
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键．
25.（本题满分6分）某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠为所有商品八折，设购买书架a只．
(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用含a的式子表示）；
(2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？
(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？ 【答案】(1)（70a+2800），（56a+3360）
(2)购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样
(3)第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款额为8680元．
【分析】（1）根据A、B两个超市的优惠即可求解；
（2）由（1）和两家超市所付货款都一样可列出方程，再解即可；
（3）去A超市买、去B超市买和去A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，三种情况讨论即可得出最少付款额．
【详解】（1）解：根据题意得A超市所需的费用为：20×210+70（a﹣20）=70a+2800 B超市所需的费用为：0.8×（20×210+70a）=56a+3360 故答案为：（70a+2800），（56a+3360） （2）解：由题意得：70a+2800=56a+3360 解得：a=40，
答：购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样． （3）解：学校购买20张书柜和100只书架，即a=100时； 第一种方案：
到A超市购买，付款为：20×210+70（100﹣20）=9800元； 第二种方案：
到B超市购买，付款为：0.8×（20×210+70×100）=60元； 第三种方案：
到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架， 付款为：20×210+70×（100﹣20）×0.8=8680元． 因为8680＜60＜9800，
所以第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款额为8680元．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再
列出方程．
26.（本题满分8分）某校为准备运动会，在一条笔直的跑道上画一段跑道AB，如图，台O为A点表示数a米，B点表示数b米，原点，且关于x多项式含x的3次项和2次项．
不
(1)a＝ ；b＝ ；AB跑道为 米赛跑跑道．
(2)甲、乙两机器人同时从O出发，甲向A以3米/分速度画线，乙向B以2米/分速度画线，甲、乙两机器人到达终点A、B后，立刻按原速度返回到O点．设两机器人运动时间为t分钟，用含t的式子求出它们从O出发到回到O的过程中，甲、乙两机器人的距离．
(3)在（2）的条件下，t为何值时，两机器人相距60米？并直接写出两机器人相距60米时，各自所在位置所表示的数． 【答案】(1)-60；40；100；
(2)当0≤t≤20时，甲、乙两机器人的距离为5t米；当20 到关于a，b的方程，求得a，b，即可求得两点A、B间的距离； （2）分两种情况：①如果0≤t≤20；②如果20 【详解】（1）∵关于x多项式 不含x的3次项和2次项， ∴120+2a=0，40-b=0， 解答a=-60，b=40， ∴AB=40-（-60）=100． 故答案为：-60；40；100； （2）甲到达A点用时t==20（分），乙到达B点用时t==20（分）． ①如果0≤t≤20，甲在数轴上表示的数为-3t，乙在数轴上表示的数为2t， 所以甲、乙两机器人的距离为：2t-（-3t）=5t（米）； ②如果20 综上，当0≤t≤20，甲、乙两机器人的距离为 5t米；当20 ②如果20 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，多项式，列代数式等知识，理解题意正确表示t分时甲、乙在数轴上表示的数是解题的关键． 27.（本题满分9分）（1）尝试：比较下列各式的大小关系：(用① ___________ ； ② _________ 填空) ； ③_________； ④__________； （2）归纳：观察上面的数量关系，可以得到： ___________ (用 填空) （3）应用：利用上面得到的结论解决下面问题： ＝16， ＝2，则 =______________． 若 （4）拓展：当满足什么条件时，＞(请直接写出结果，不需过程) ；（4）1个正数，2个负数；2个正数， 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）或1个负数；1个0，1个正数，1个负数． 【分析】（1）①根据绝对值运算、有理数的加法即可得； ②根据绝对值运算、有理数的加法即可得； ③根据绝对值运算、有理数的加减法即可得； ④根据绝对值运算、有理数的加减法即可得； （2）根据（1）的结果归纳类推即可得； （3）先根据上述结论得出m、n异号，再分m为正数，n为负数和m为负数，n为正数两种情况，然后代入解绝对值方程即可得； （4）先根据 中0的个数进行分类，再结合上述结论、绝对值运算分析即可得． 【详解】（1）①，， 则， 故答案为：； ②，， 则， 故答案为：； ③，， 则 故答案为：； ， ④，， 则， 故答案为：； （2）由（1）的结果，归纳类推得： ， 故答案为：； （3） ， ， 由上述结论可得：m、n异号， ①当m为正数，n为负数时，则，即， 将代入得：， 解得或，符合题设； ， ②当m为负数，n为正数时，则，即 将代入得：， 解得综上， 或或 ，符合题设； ， 故答案为：或； （4）由题意，分以下四类： 第一类：当 三个数都不等于0时， ， ①1个正数，2个负数，此时 ②2个正数，1个负数，此时， ③3个正数，此时，不符题意，舍去， ④3个负数，此时，不符题意，舍去； 第二类：当三个数中有1个等于0时， ，不符题意，舍去， ①1个0，2个正数，此时 ②1个0，2个负数，此时，不符题意，舍去， ③1个0，1个正数，1个负数，此时； 第三类：当三个数中有2个等于0时， ，不符题意，舍去， ①2个0，1个正数，此时 ②2个0，1个负数，此时，不符题意，舍去； 第四类：当三个数都等于0时， ，不符题意，舍去； 此时 综上， 个正数，1个负数． 成立的条件是：1个正数，2个负数；2个正数，1个负数；1个0，1 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减运算，熟练掌握绝对值运算，并正确归纳出规律是解题 关键． 28.（本题满分9分）【情景再现】 通过“活动 思考”一节的学习，小红知道了：把一张长方形纸片按下图要求折叠、裁剪、展开，可以得到由长方形裁剪出的一个最大正方形． 【操作探究】 聪明的小红在学习了这一个知识后给出了一个“可裁长方形”的定义：当相邻两边长分别为 的长方形通过上述方法裁剪掉一个最大的正方形后，再在剩下的部分裁剪出一个最大的 正方形，如此反复，最后剩下的部分也是一个正方形，像这样一类长方形称为可裁长方形．并进行了以下探索： 当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则a的值为 ； 当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的的值为 ； 当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出所有符合条件可裁长方形，标注出裁剪线，并在对应的图形下方写出的值． 【方法迁移】 取一个自然数，若它是奇数，则乘以加上；若它是偶数，则除以，按此规则经过若干步的计算最终可得到．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数，最少经过下面步运算可得．即： 自然数 最少经过 步运算可得到； 如果自然数最少经过步运算可得到，则所有符合条件的的值为 ． 【答案】[操作探究]（1）2；（2）1.5或3；（3）见解析；[方法迁移]（1）9；（2）128、21、20、3 【分析】操作探究（1）根据操作的方法可得a=2； （2）当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的a的值为3个1或1为2个（a-1）； （3）结合（1）、（2）题作出图形； 方法迁移（1）利用列举法，尝试最小的几个非0自然数，再结合“自然数5．最少经过5步运算可得1”，即可得出结论； （2）首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可． 【详解】解：操作探究： （1）当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则a的值为2个1， 故答案为：2； （2）当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的a的值为3个1或1为2个（a-1）， 故答案为：1.5或3； （3）当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出符合条件可裁长方形如图： 方法迁移： （1）如图， 自然数12最少经过9步运算可得到1， 故答案为：9； （2）根据分析，可得 则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3． 故答案为：128、21、20、3． 【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．此题还考查了推理和论证问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
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