2021-2022学年广东省深圳实验学校高二上学期第二阶段考试数学试题(Word版)

深圳实验学校高中部2021-2022学年度第一学期第二阶段考试

高二数学

时间：120分钟 满分：150分

第 I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．直线ytan2x2的斜率是 33 C．3A．3 B．323 D． 3 2. 已知抛物线y2px上的点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3,则抛物线的方程是 A．y2x

2B．y4x

2C．y2x

2D．y4x

23. 若圆C1:(x1)2y29和圆C2:(x3)2(y2)29关于直线l对称，则直线l的方程是

A．y2x3 B．y2x3

1313 C．yx D．yx

22224. 已知等差数列an满足a2a5a84，则数列an的前9项和S9 A.9 B.18 C. 36 D. 72

5．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若

ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是

A.

3322 B. C. D. 32326．已知数列an，如果a1,a2a1,a3a2,...,anan1,...是首项为1，公比为列，则an

1的等比数2121n1 2237．已知数列an满足2a12a22a3A. 211n B. 2111 D. n1 222nannnN*，若

C.

11122nbnA.

1，则数列bn的前2021项和S2021

log2anlog2an12021202020212022 B. C. D. 2020202120222021 1

8. 已知F1, F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2则椭圆和双曲线的离心率e1,e2的倒数之和的最大值为 A．2 B． 3 C．

3 ，

4323 D． 33二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

29. 已知圆C:(x2)y24上的点到直线l:ykx2的距离等于d,那么d的值可以

是

A．2 B．22 C．32 D．42 10. 在等差数列{an}中a100,a110,且a11|a10|，则下列结论正确的有 A．SnS10

B．S9S10

C．S190

D．S200

x2y211.已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1，F2，点P2,3在椭圆内部，点Q在

2521椭圆上，则QF2QP可以是

A． 5 B．10 C．15

D． 20

12．已知两点M(5,0),N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM||PN|6，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是 A．yx1 B．y2

C．y44x D．yx+1 33第 Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知直线l平行于直线xy20，且与圆x2y22相切，则直线l的方程是___．

a1a5a9_____．

a2a10a1814．已知等差数列{an}的公差d0, 且a1，a3，a9成等比数列,

x2y21的左、右焦点分别为F1，F2， P是椭圆C上的一点，且15．已知椭圆C:129F1PF2600，则PF1F2面积为 ．

16．设有穷数列an的前n项和为Sn，令Tn

S1S2Sn，称Tn为数列a1，a2，…，

n2

an的“凯森和”，已知数列a1，a2，…，a2021的“凯森和”为2022，那么数列

2，a1，a2，…，a2021的“凯森和”为 ．

四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）

已知圆C：x2y24x0，经过点P(1,3)的一条直线与圆C交于A，B两点，

若AB的弦长|AB|

23,求直线AB的方程．

18．（本题满分12分）

设数列{a}的前n项和为S， 已知S2nnnn10n3．

(１) 求数列{an}的通项公式； (２) 求数列{|an|}的前n项的和Tn． ． 19．（本题满分12分）

已知过点M(2,23)的直线l与双曲线E:x2y2431交于A,B． （1）求与双曲线E:x2y2431共渐近线且过点M的双曲线的方程； （2）若线段AB的中点为M，求直线l的方程和三角形AOB面积

20.（本题满分12分）

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若Sn是an和a1的等差中项．

(1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若bann=2n，求bn的前n项和Tn．

3

21.（本题满分12分）

x2y2在直线l：xy80上任取一点M，过M且以椭圆：1的焦点为焦点作

259椭圆．

（1）若所作的椭圆的长轴最短，求椭圆E的方程； （2）求（１）问所求椭圆E上的点到直线l距离的最大值．

22.（本题满分12分）

已知动直线l:ykxb（b0）与抛物线x22py (p为常数，且p0)相交于A，

B两点，以弦AB为直径的圆C恒经过坐标原点．

（1）求证：直线l过定点，并求出这个定点； （2）求动圆C的圆心C的轨迹方程．

4

高二数学答案

一、选择题： DBACB ACC

二、9. ABC 10. ACD 11.ABC 12．AB

三、13. xy20 14． 12 15． 33 16． 2019 四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）

已知圆C：x2y24x0，经过点P(1,3)的一条直线与圆C交于A，B两点．若AB的弦长|AB|

23,求直线AB的方程．

解：（1）若直线斜率不存在，即直线l:x1，满足条件 （2）若直线斜率存在，设直线l:y3k(x1) 所以所求的直线AB的方程为x1，3x3y430 18．（本题满分12分）

设数列{an}的前n项和为Sn， 已知Snn210n3． (１) 求数列{an}的通项公式； (２) 求数列{|an|}的前n项的和Tn．

(1）a6,n1,n2n11,n2.．

…………5分

2(2）所以数列{|a|}的前n项的和为Tn10n3,n5,nn10n47,n6. …………12分

n2

19．（本题满分12分）

已知过点M(2,23)的直线l与双曲线E:x2y2431交于A,B． （1）求与双曲线E:x2y2431共渐近线且过点M的双曲线的方程； （2）若线段AB的中点为M，求直线l的方程和三角形AOB面积 2222（1）设所求双曲线为

x24y22233，点M(2,23)代入得433 5

y2x21 …………4分 912（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，点A,B在双曲线上

x12y12x22y221，1 所以4343x12x22y12y22yy3x1x230，即12相减得 43x1x24y1y24所以所求的直线l的方程为y设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

333x 42333yx42得9x236x3940 则由22xy134所以x1x24，x1x2394 9x0代入y33333x的y 422所以SAOB

13333|x1x2|(x1x2)24x1x212 22420.（本题满分12分）

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若Sn是an和a1的等差中项．

(1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若bn=an，求bn的前n项和Tn． n2解：①因为Snana1，所以当n1，a11 …………1分 2(an1)2(an11)2所以Sn，Sn1(n2)，

44 因此当n2时：

22(an1)2(an11)2anan12an2an1， ……2分 anSnSn144所以(anan1)(anan12)0

， ………………4分

6

因为anan10，

所以n2时anan120，即anan12

所以数列{an}因为是首项为1，公差为2的等差数列，

an12(n1)2n1．

(2) bn=

…………6分

an2n11， (2n1)2n2n2n(2n1)1……①n2 1(2n1)n1……②

2211(2n1)2n2n1………………8分

Tn=1111352122231111Tn=1233542222①-②得：

1111Tn=12223222211(1n1)112=2(2n1)n1

12212111………………10分=1n1(2n1)n1 222131所以Tn(2n3)n1 ………………11分

222 Tn3(2n3)1 ………………12分 2n21.（本题满分12分）

x2y2在直线l：xy80上任取一点M，过M且以椭圆：1的焦点为焦点作

259椭圆．

（1）若所作的椭圆的长轴最短，求椭圆E的方程； （2）求（１）问所求椭圆E上的点到直线l距离的最大值．

x2y2解: （Ⅰ）椭圆1的焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，………………………2分

259（法一）因为点M在所求的椭圆上，所以长轴长2a|MF1||MF2|．

又长轴要求最短，即在直线l：xy80上求一点M，使得|MF1||MF2|的值最小．

设点F1(4,0)关于直线l：xy80的对称点为F1'(x1,y1)，

y11x18x14则，解得，所以F1'(8,4)． ………………6分

y41x14y18022所作的椭圆的长轴长2a(|MF1||MF2|)min|F1'F2|410．

7

x2y2即a210，c4，bac24，所求椭圆E的方程为1 ……8分

4024222x2y21 (a216) ……………2分 （法二）设所求椭圆E的方程为2aa16

xy8022224则由x2， 得 (2a16)x16ax80aa0 …………4分 y2122a16a

a216,2a2160

△ =8a4568a2080

解得：a240或a216（舍去）

x2y2所求椭圆E的方程为1． ……………………………………………8分

4024x2y2（Ⅱ）（法一）设直线l'：xym0与直线l平行且与椭圆E：1相切，

4024xym0则由x2y2，得3x25(xm)2120，即8x210mx5m21200，

14024令△100m232(5m2120)0，解得m8，所以l'：xy80，………11分

l'：xy80与l：xy80之间的距离d|88|282，

即椭圆E上的点到直线l距离的最大值为82．………………………………12分 （注：也可以由（Ⅰ）知l与椭圆E相切，又椭圆E关于原点对称，所以l关于原点的对称直线xy80即为l'．）

（法二）设椭圆E上任点P(210cos,26sin)， …………………………9分 则点P到直线l距离d|210cos26sin8|2|25cos23sin42|

106，sin． 44而1cos()1，所以椭圆E上的点到直线l距离的最大值为82．………12分 |42cos()42|，其中cos22.（本题满分12分）

已知动直线l:ykxb（b0）与抛物线x22py (p为常数，且p0)相交于A，

B两点，以弦AB为直径的圆C恒经过坐标原点．

（1）求证：直线l过定点，并求出这个定点； （2）求动圆C的圆心C的轨迹方程．

解：（1）直线l:ykxb，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则以弦AB为直径的圆恒经过坐标原点OAOB0x1x2y1y20．……1分

8

ykxb2由2得x2pkx2pb0，所以x1x22pk，x1x22pb．… 3分 x2pyy1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2bk(x1x2)b2

k2(2pb)bk2pkb2b2．………………………………4分 所以x1x2y1y22pbb20，解得b2p或b0（舍去）…………5分 所以l:ykx2p恒经过定点(0，2p)．……………………………………6分 （2）因为圆心C是线段AB的中点，设圆心C(x,y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线x22py上，

所以x2py2212py1，x2222，相减得x1x22p(y1y2) ky2x1x2xy2pABy1x化简得x2py2p2 1x22ppx所以动圆C的圆心C的轨迹方程x2py2p2……………………………………12分

9

10