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2012届高三年级二月调研考试
数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分 ）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．）
1．若集合 , , 则 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知命题p、q,“非p为真命题”是“p或q是假命题”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的最小正周期为 ，则函数 的图像的一条对称轴方程是（ ）
☆
A． B． C． D．
4．如图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图。经过周期后，甲
点的位置将移至（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ） A．若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x), (x y≠ 0 )，则a⊥b B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是.
C．点G是△ABC的重心，则 + + = D．△ABC中， 和 的夹角等于180°－A
6.设 、 、 是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：（ ）
①若a∥ ，b∥ ，则a∥b； ②若a∥ ，b∥ ，a∥b，则 ∥ ； ③若a⊥ ，b⊥ ，a⊥b，则 ⊥ ；④若a、b在平面 内的射影互相垂直，则a⊥b. 其中正确命题是:( )
A. ④ B.③ C. ①③ D. ②④ 7.某企业2010年初贷款 万元，年利率为 ，按复利计算，从2010年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（ ）万元．
A． B． C． D． 8.已知二次不等式的 且 ，则的最小值为 解集为
A.1 B. C.2 D.
9．在棱锥 中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面 内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为（ ） A．100 B．50 C． D．
10．已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
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二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．4.向量V=()为直线y=x的方向向量，a =1,则数列 的前2011项的和为
__________.
12．已知定义在R上的减函数 的图像经过点 、 ，若函数 的反函数为 （ ），则不等式 的解集为 。
13．已知点M是抛物线y =4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:(x-4) +(y-1) =1上，则的最小值为__________
14.在平面直角坐标系 中，已知集合，则集合表示的平面区域的面积
为 .
15．已知对任意平面向量 =(x,y),把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ，
叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 角得到点P. 设平面内曲线C上的每一点绕
原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线 ，则原来曲线C的方程是____
三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题满分12分）设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点， 是坐标原点，且， .
（Ⅰ）若点Q的坐标是 ，求的值；
（Ⅱ）设函数 ，求 的值域．
17．（本小题满分12分）在长方体 中， 点 是 上的动点，点 为 的中点. （1）当 点在何处时，直线 //平面，并证明你的结论；
（2）在（Ⅰ）成立的条件下，求二面角的大小.
18、（本小题满分12分）已知数列的前n项和 满足(a>0，且 )。数列满足
（1）求数列的通项。
（2）若对一切 都有 ，求a的取值范围。
19.(本小题满分13分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)．．．．模型
的基本要求；
（2）现有两个奖励函数模型：(1)y＝；(2)y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型
是否符合公司要求？
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20、（本小题满分13分）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，右准线与 轴
交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又 ， 过点F的直线
与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于 轴的对称点。 （1）求双曲线的方程；
（2）证明：B、P、N三点共线； （3）求 面积的最小值。
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