上海市松江区2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷(一模) 解析版

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（ ） A．1：2

B．1：4

C．1：8

D．1：16

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（ ） A．2sinα

B．2cosα

C．2tanα

D．2cotα

3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（ ） A．y＝2x2+3

2

B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）

4．已知＝2，下列说法中不正确的是（ ） A．﹣2＝0 C．∥

B．与方向相同 D．||＝2||

5．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）

A．15千米

B．10千米

C．10

千米

D．5

千米

6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知

，则

＝ ．

8．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是 cm．

9．计算：sin30°•cot60°＝ ．

10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，那么AB的长为 ．

11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ．

12．已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1 y2

（填“＞”、“＝”或“＜”）．

13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1

∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝ ．

14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为 ．

15．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，的面积等于7，则△ADE的面积为 ．

＝，四边形DBCE

16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设向量示

为 ．

＝，

＝，用向量、表

17．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为 cm．

18．如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为 ．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）用配方法把二次函数y＝3x2﹣6x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

20．（10分）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，AB＝6，BE＝4，BC＝9，联结AC． （1）求线段CD的长；

（2）如果AE＝3，求线段AC的长．

21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝． （1）求边AC的长； （2）求cot∠BAD的值．

22．（10分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4． （1）求斜坡DE的高EH的长； （2）求信号塔AB的高度．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

23．（12分）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC． （1）求证：∠EBC＝∠DCE； （2）求证：BE•EF＝BF•AE．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），与y轴交于点C． （1）求这个抛物线的表达式；

（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，①求P点坐标；

②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．

．

25．（14分）如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）． （1）求边BC的长；

（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG＝4，求线段AD的长； （3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长．

，tan∠ABC＝2，BF⊥AC，垂足

2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）

参与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（ ） A．1：2

B．1：4

C．1：8

D．1：16

【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案． 【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4， ∴它们的周长比是：1：4． 故选：B．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（ ） A．2sinα

B．2cosα

C．2tanα

D．2cotα

【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可． 【解答】解：∵cotA＝

，BC＝2，

∴AC＝BC•cotα＝2cotα， 故选：D．

3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（ ） A．y＝2x2+3

2

B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移3个单位， 能得到的抛物线是y＝2（x﹣3）2． 故选：D．

4．已知＝2，下列说法中不正确的是（ ） A．﹣2＝0 C．∥

B．与方向相同 D．||＝2||

【分析】根据平面向量的性质进行一一判断．

【解答】解：A、由＝2得到：﹣2＝，故本选项说法不正确． B、由＝2知，与方向相同，故本选项说法正确．

C、由＝2知，与方向相同，则∥，故本选项说法正确． D、由＝2知，||＝2||，故本选项说法正确． 故选：A．

5．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）

A．15千米

B．10千米

C．10

千米

D．5

千米

【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．

【解答】解：如图，

∵BC⊥AE， ∴∠AEB＝90°，

∵∠EAB＝30°，AB＝10米， ∴BE＝5米，AE＝5

米，

∴CE＝BC﹣CE＝20﹣5＝15（米）， ∴AC＝

（米），

故选：C．

6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得到CD＝BD＝4，AG＝2GD，再证明GE∥CD，则可判断△AEG∽△ACD，然后利用相似比可求出EG的长． 【解答】解：延长AG交BC于D，如图， ∵点G是△ABC的重心，

∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD， ∵GE⊥AC， ∴∠AEG＝90°， 而∠C＝90°， ∴GE∥CD， ∴△AEG∽△ACD， ∴

＝

＝

＝，

∴EG＝CD＝×4＝． 故选：C．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知

，则

＝ ．

【分析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得【解答】解：由题意，设x＝5k，y＝3k， ∴

＝

＝．

的值．

故答案为：．

8．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是 （2﹣2） cm．

【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝【解答】解：∵P是线段MN的黄金分割点， ∴MP＝

MN，

MN，把MN＝4cm代入计算即可．

而MN＝4cm， ∴MP＝4×故答案为（2

＝（2﹣2）．

． ﹣2）cm．

9．计算：sin30°•cot60°＝

【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案． 【解答】解：原式＝×＝

．

．

故答案为：

10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，那么AB的长为 8 ． 【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可． 【解答】解：∵cosA＝∴AB＝

＝8，

＝，AC＝6，

故答案为：8．

11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 y＝x2+4x ．

【分析】根据“面积的增加量就是边长增加前后的两个正方形的面积差”可得答案．

【解答】解：由题意得， y＝（2+x）2﹣22＝x2+4x， 故答案为：y＝x2+4x．

12．已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

【分析】先求得开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，

∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵1＜2＜3， ∴y1＜y2， 故答案为：＜．

13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1

∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝

． ＝1，

【分析】直接根据平行线分线段成比例定理得到出DE的长．

【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴

＝

，即． ．

＝，

＝

，然后根据比例的性质可计算

∴DE＝故答案为

14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为

．

【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值． 【解答】解：由图可得， AC＝

＝

，AB＝

＝

，BC＝

＝2

，

∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB是直角三角形， ∴sin∠ABC＝故答案为：

．

＝，四边形DBCE

＝

，

15．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，的面积等于7，则△ADE的面积为 9 ．

【分析】由DE∥BC可判定△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得为9．

【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴

＝（

）2＝

，

＝（

）2＝

，从而求得

＝，即可求得△ADE的面积

∴＝，

∵四边形DBCE的面积等于7，

∴S△ADE＝9． 故答案为：9．

16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设向量示

为

+2 ．

＝，

＝，用向量、表

【分析】根据梯形的性质和三角形法则解答．

【解答】解：如图，在梯形ABCD中，∵AD∥BC，BC＝2AD，∴∴

＝2＝

＝2， +

＝+2，

＝，

故答案是：+2．

17．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为

cm．

【分析】设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm，所以AP＝（10﹣x）cm，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到

＝

，然后根据比例的性质求出x．

【解答】解：如图，设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm， ∴AP＝AH﹣PH＝（10﹣x）cm， ∵DG∥BC，

∴△ADG∽△ABC， ∴∴x＝

＝

，即（cm），

．

＝

，

故答案为

18．如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为

．

【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，根据折叠的性质得到CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE＝1，DC＝DE，证明△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，

∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处， ∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE＝1，∠CEB＝∠CEF， ∵矩形ABCD中，DC∥AB， ∴∠DCE＝∠CEB， ∴∠CEF＝∠DCE， ∴DC＝DE，

设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1， ∵∠AFE＝∠CFD＝90°， ∴∠AFE＝∠DAE＝90°， ∵∠AEF＝∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴

，

∴解得x＝∴AE＝

，

或x＝．

．

（舍去），

故答案为：

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）用配方法把二次函数y＝3x2﹣6x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【解答】解：y＝3x2﹣6x+5 ＝3（x2﹣2x）+5 ＝3（x2﹣2x+1﹣1）+5 ＝3（x﹣1）2+2，

开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，2）．

20．（10分）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，AB＝6，BE＝4，BC＝9，联结AC． （1）求线段CD

的长；

（2）如果AE＝3，求线段AC的长．

【分析】（1）证明△ABE∽△DCE，由相似三角形的性质得出（2）由相似三角形的性质求出DE＝出

，则可求出答案．

，则可得出答案；

，证明△ABC∽△ECD，由相似三角形的性质得

【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴△ABE∽△DCE， ∴

，

∵AB＝6，BE＝4，BC＝9，

∴∴CD＝

， ；

（2）∵AE＝3，△ABE∽△DCE， ∴∴∴DE＝∵

， ， ， ，

＝，

∴，

∵AB∥DC， ∴∠ECD＝∠ABC， ∴△ABC∽△ECD， ∴∴

， ，

∴AC＝．

21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝． （1）求边AC的长； （2）求cot∠BAD的值．

【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；

（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的

长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到cot∠BAD的值．

【解答】解：（1）设AC＝3x， ∵∠C＝90°，sin∠ABC＝， ∴AB＝5x，BC＝4x， ∵tan∠DAC＝， ∴CD＝2x，

∵BD＝4，BC＝CD+BD， ∴4x＝2x+4， 解得x＝2， ∴AC＝3x＝6；

（2）作DE⊥AB于点E，

由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4， ∵∴解得DE＝

，

， ，

∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°， ∴AD＝∴AE＝

＝2＝

，

＝

，

∴cot∠BAD＝＝＝，

即cot∠BAD的值是．

22．（10分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4． （1）求斜坡DE的高EH的长； （2）求信号塔AB的高度．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

【分析】（1）过点E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EH＝x，则DH＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EH； （2）结合（1）得DH的长，故可得出CH的长．由矩形的判定定理得出四边形EHCM是矩形，故可得出EM＝HC，CM＝EH，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．

【解答】解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，

∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米， ∴设EH＝x，则DH＝2.4x． 在Rt△DEH中，

∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652， 解得，x＝25（米）（负值舍去）， ∴EH＝25米；

答：斜坡DE的高EH的长为25米； （2）∵DH＝2.4x＝60（米），

∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）． ∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD， ∴四边形EHCM是矩形，

∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米． 在Rt△AEM中， ∵∠AEM＝37°，

∴AM＝EM•tan37°≈120×0.75＝90（米）， ∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）． ∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）． 答：信号塔AB的高度为23米．

23．（12分）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC． （1）求证：∠EBC＝∠DCE； （2）求证：BE•EF＝BF•AE．

【分析】（1）通过证明△DEC∽△ECB，可得结论；

（2）通过证明△ABE∽△EBF，可得△ABE∽△EBF，可得结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵CE2＝DE•BC， ∴

，

∴△DEC∽△ECB， ∴∠EBC＝∠DCE； （2）∵AD∥BC，AB∥CD，

∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD， ∴∠AEB＝∠F， 又∵∠ABE＝∠EBF， ∴△ABE∽△EBF， ∴

，

∴BE•EF＝BE•AE．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），与y轴交于点C． （1）求这个抛物线的表达式；

（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，①求P点坐标；

②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．

．

【分析】（1）由待定系数法可求解析式；

（2）①过点P作PE⊥x轴于E，由平行线分线段成比例可求PE的长，代入解析式可求解；

②分两种情况讨论，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1）， ∴

，

解得：，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；

（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于E，

∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点C， ∴点C（0，﹣2）， ∴OC＝2， ∵PE∥OC， ∴

∴PE＝，

∴＝x2﹣x﹣2，

∴x＝﹣2或x＝（不合题意舍去）， ∴点P（﹣2，）；

②如图2，过点B作BH⊥CO于H，

＝

，

由①可知DO＝

＝，

∵B（﹣1，﹣1），点C（0，﹣2），A（2，0） ∴OA＝OC＝2，BH＝CH＝1，

∴∠BCH＝45°＝∠OCA， ∴∠BCA＝90°， 当点Q在线段AO上时， ∵∠QCA＝∠PCB， ∴∠DCO＝∠QCO，

又∵CO＝CO，∠DOC＝∠QOC＝90°， ∴△DOC≌△QOC（ASA）， ∴DO＝QO＝， ∴点Q坐标为（，0）， 当点Q'在射线OA上时， ∵∠Q'CA＝∠PCB， ∴∠DCQ'＝90°，

∴∠CDO+∠DQ'C＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠DQ'C＝∠DCO， 又∵∠DOC＝∠Q'OC＝90°， ∴△DOC∽△COQ'， ∴

，

∴4＝×Q'O， ∴Q'O＝∴点Q'（

， ，0），

，0）．

，tan∠ABC＝2，BF⊥AC，垂足

综上所述：点Q坐标为（，0）或（

25．（14分）如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）． （1）求边BC的长；

（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG＝4，求线段AD的长； （3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长．

【分析】（1）先利用等腰三角形的性质判断出BC＝2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论；

（2）先利用勾股定理和三角函数求出CF，再判断出△CFK∽△AFD和△CGK∽△BGD，得出比例式，即可得出结论； （3）先求出BF＝4＝5m，BE＝2

，再判断出△BEQ∽△BFC，得出

，设EQ＝

m，则BQ

m，进而表示出BD＝10m，DQ＝3m，∠DQF＝∠C，再分两种情况，

利用相似得出比例式表示出FQ，最后用BF＝4建立方程求出m，即可得出结论．

【解答】解（1）如图1，过点A作DH⊥BC于H， ∴∠AHB＝90°， ∵AB＝AC＝5∴BC＝2BH，

在Rt△AHB中，tan∠ABC＝∴AH＝2BH，

根据勾股定理得，AH2+BH2＝AB2， ∴（2BH）2+BH2＝（5∴BH＝5， ∴BC＝2BH＝10；

（2）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵tan∠ABC＝2， ∴tan∠ACB＝2， 由（1）知，BC＝10，

）2，

＝2，

，

∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°，

在Rt△BFC中，tan∠ACB＝∴BF＝2CF，

根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2， ∴（2CF）2+CF2＝102， ∴CF＝2

，

﹣2

＝3

， ＝2，

∴AF＝AC﹣CF＝5

如图2，过点C作CK∥AB交FG于K， ∴△CFK∽△AFD， ∴∴

， ＝，

∴△CGK∽△BGD， ∴

，

∴CG＝4， ∴∴∴∴AD＝

（3）如备用图，

在Rt△BFC中，根据勾股定理得，BF＝∵DE⊥BC，

∴∠BEQ＝90°＝∠BFC， ∵∠EBQ＝∠FBC， ∴△BEQ∽△BFC，

＝

＝4

，

， ， AB＝

×5

＝

；

＝，

∴∵CF＝2∴∴∴设EQ＝

，

，BC＝10， ， ，

m，则BQ＝5m，

m，

＝2，

根据勾股定理得，BE＝2

在Rt△BEQ中，tan∠ABC＝∴DE＝2BE＝4

m，

根据勾股定理得，BD＝10m， ∴DQ＝DE﹣EQ＝3∵DE⊥BC， ∴∠BEQ＝90°， ∴∠CBF+∠BQE＝90°， ∵∠BQE＝∠DQF， ∴∠CBF+∠DQF＝90°， ∵∠BFC＝90°， ∴∠CBF+∠C＝90°， ∴∠DQF＝∠C， ∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝∠DQF， ∵△DQF和△ABC相似， ∴①当△DQF∽△ACB时， ∴∴

∴QF＝6m， ∵BF＝4

，

， ，

，

m，

∴5m+6m＝4

∴m＝，

，

，

∴BD＝10m＝

②当△DQF∽△BCA时，∴∴FQ＝∴

m，

， ，

m+5m＝4

，

∴m＝

∴BD＝10m＝即BD的长为

， 或

．