专题05 万有引力定律应用模型-高考物理模型法之算法模型法(解析版)

模型界定

本模型中归纳万有引力定律及其适用条件，在天体问题中主要是涉及中心天体的质量与密度的计算，沿椭圆轨道运行的天体及变轨问题． 模型破解 １.万有引力定律 (i)内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小F与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比.

公式

Gm1m2Fr2N·m2/kg2.

适用条件

-11

式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N.G是比例系数，叫做引力常量，

万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算.

对于可视为质点的物体间的引力的求解也可以利用万有引力公式，如两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看做质点；均匀球体可视为质量集中于球心的质点，公式中r是球心间距离.

当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力，然后求合力.例如将物体放在地球的球心时，由于物体各方面受到相互对称的万有引力，故合外力为零. 2.万有引力与重力的区别 (i)自转的影响

当物体位于赤道上时：00，mgFFn0GMm2 mR2RGMm当物体位于两极时：90，mgFR2

1

GMm2当物体位于纬度时，万有引力为F，物体所需向心力FmRcos是万有引力的一n2R个分力，所谓重力是与地面对物体的支持力相平衡的万有引力的另一个分力．

物体的重力产生的原因是万有引力，但在一般情况下万有引力不等于重力，重力的方向不指向地心，由于地球自转的影响，随着纬度的增加，向心力越来越小，重力越来越大，因而重力加速度也随着纬度的增加而增大．

(ii)地面到地心距离与Ｒ与地球密度的影响

由于地球是椭圆体，质量分布也不均匀，重力与重力加速度也会发生变化．如果只考虑地球的形状，从赤道到两极，地面到地心的距离越来越小，重力与重力加速度越来越大；如果只考虑地球自转的影响，从赤道到两极，所需向心力越来越小，重力与重力加速度也越来越大． (iii)赤道上的物体

由于赤道上的物体重力与万有引力的差别在千分之四以下，因此在忽略地球处置的影响下可近似认为地球引力等于重力，有所谓的＂黄金代换＂式：GMgR2．

例１.如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。

（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度

2

（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与k（k>1）之间变 化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。 答案：（1）

GVd(d2x2)3/2（2）

kL2/3，1L2kG(k2/31)

(2)由⑤式得,重力加速度反常g的最大值和最小值分别为gmaxGV……⑥ d2gminGVd……………⑦由提设有gmaxk、gmin……⑧

(d2L2)3/2联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

L2k,V d2/32/3G(k1)k1L例２.地球可视为球体，自转周期为T，在它两极处，用弹簧秤测某物体重力为P，在它的赤道上，用弹簧秤测同一物体的重力为0.9P，地球的平均密度是多少？

2340答案：R

2M30GT24VGT3R3解析：设物体质量为m，地球质量为M，半径为R。 在两极处：物体重力等于万有引力PGMm， 2R在赤道处：地球对物体的万有引力与弹簧对物体的拉力的合力提供向心力。由牛顿第二定律：

3

Mm42G20.9Pm2R RT402R3两式联立可得：M 2GT402R32M30GT地球的平均密度 24VGTR33模型演练

1.一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为

1113413)2 D．()2 A．()2 B．()2 C．(GG3G4G答案：D

２.据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为 A.0.5 答案：B

解析：（l）在该行星表面处，G行=mg行，g行=16m/s2．在忽略自转的情况下，万有引力等于物体所受的重力得GMmR2 B2. C.3.2 D.4

mg，有 RRGM，故行gR地M行g地M地g行＝2，B正确。

３.应用之一：测天体质量和密度 (i)测质量的两种方法 ＂地上的方法＂

在天体的表面，忽略星体的自转则有万有引力等于重力：表面的重力加速度，故称之为＂地上的方法＂． ＂天上的方法＂

4

mgGMmR2gR2，解得M，此法中小腹星体

G

若天体围绕某中心天体作匀速圆周运动时，万有引力充当向心力：量M42r3GT2GMmr2mr(22)，可解得中心天体的质T

(ii)测密度的方法

3g3r3M43天体的平均密度：，而天体的体积：VR，故有或．若运行天体的轨道r23V34RGGTR3近似等于中心天体R的半径时：,只需测出运行天体绕中心天体表面运行的周期即可．

GT2

例3.（1）开普勤行星运动第三定律指出，行星绕太阳运动的椭圆轨道的正半长轴a的三次方与它的公转周

a3期T的二次方成正比，即2k,k是一个所有行星都相同的常量，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，

T请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立，经测定月地距离为3.84×108 m月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地=（G=6.67×10

11

N·m/kg，结果保留一位有效数字）

2242k答案：（1）（2）6×1024kg

G（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得

R3T2G42M地 ⑤

解得 M地=6×1024kg

5

（M地=5×1024kg也算对）

例４.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计）

（1）求该星球表面附近的重力加速度g’；

（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。 答案：（1）2m/s2（2）1:80

2v01解析：（1）t＝ ，所以g’＝ g＝2m/s2，

g5

GMgR2

（2）g＝2 ，所以M＝ ，可解得：M星:M地＝112:542＝1:80，

RG模型演练

3.“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常数G，半径为R的球体体积公式VA.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期 答案：A

3R3，则可估算月球的 44.一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则

v3T42v3A．恒星的质量为 B．行星的质量为

2GGT2C．行星运动的轨道半径为答案：ACD

解析：根据圆周运动知识得：由vGMmr242T22rvT得到行星运动的轨道半径为r，C正确。根据万有引力提供向 T2vT2v D．行星运动的加速度为 2T心力得：mrv3T ②由①②得M，故A正确；根据题意无法求出行星的质量，故B错误．根2G2vv2据a= ③由①③得：行星运动的加速度为．故D正确．

rT

6

5.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,,由此估算该行星的平均密度为 A.1.8×103kg/m3 B. 5.6×103kg/m3

C. 1.1×104kg/m3 D.2.9×104kg/m3

答案：D

6.已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为 A．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时 答案：B

解析：地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为r1=7R1，密度ρ1。某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2=3.5R2，密度ρ2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有

，

正确。

，两式化简得 ，B

4.应用之二：行星表面重力加速度、轨道重力加速度（重力近似等于万有引力） 表面重力加速度：GMmGM mgg00R2R2mghghGMR2(Rh)2g0

轨道重力加速度：GMmRh2Rh2GMRd(Rd)343g(Rd)g0 地面下的重力加速度：，M'(Rd)Mmgdd3RR3(Rd)2R3GM'm从行星中心到无限远重力加速度的变化规律如图所示：

7

例５.2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗导航系统同步卫星和GPS导航的轨道半径分别为R1和R2，向心加速度分别为a1和a2，则R1:R2=_____。

a1:a2=_____（可用根式表示）

3aR2， R1TaR44R2T22211答案：33122

例６.晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内。一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了。已知地球的半径

R地6.4106m，地面上的重力加速度为10m/s2，估算：（答案要求精确到两位有效数字）

（1）卫星轨道离地面的高度。 （2）卫星的速度大小。

4106（11）6.4106m6.526.4105.7103m/s cos60答案：（12）（2）

解析：从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示，设卫星离地高h，Q点日落后8小时时能看到它反射的阳光。日落8小时Q点转过的角度设为θ

（1）

836012024

8

h轨道高

R地R地1cos6.4106（1）6.4106m2cos60

（2）因为卫星轨道半径rrh2R地 根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比

1grg地2.5m/s24卫星轨道处的重力加速度 v2mgrmr

vg'r2.526.41065.7103m/s 模型演练

7.质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的 A．线速度vGM B．角速度wgR RGmR D．向心加速度a2

RgC．运行周期T2答案：AC

8.月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则

（A）g1a （B）g2a （C）g1g2a （D）g2g1a 答案：B

解析:根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供m月am月g2GM地m月R２地月，可知B正确。而

9

mg`1Gmm月2R月与a、g2无关，ＡＣＤ错误．

9.火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍，根据以上数据，以下说法正确的是 A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B．火星公转的周期比地球的长 C．火星公转的线速度比地球的大 D．火星公转的向心加速度比地球的大 答案：AB

10.英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界科学之最，在XTEJ1650-500双星系

Mc2统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关系满足（其中R2G，则该黑洞表面重力加速度的数量级为 c为光速，G为引力常量）

82102A．10m/s B．10m/s

122142C．10m/s D．10m/s

答案：C

10

解析：可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力，即＝1×1012 m/s2，C正确。

GMmR2Mc2c2即2g，将代入上式得gmg，2RR2GRGM11.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则

gTA．11g2T24/3

2

gTB． 12g2T14/3

2g1T1 D．

g2T2答案：B

g1T2 D．

g2T112.据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运行周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 ．．A.月球表面的重力加速度 C.卫星绕月球运行的速度 答案：B

B.月球对卫星的吸引力 D.卫星绕月运行的加速度

解析：根据万有引力提供向心力，有，，月球表面的重

力加速度，A可以；在不知卫星的质量，月球对卫星的吸引力无法求得，B不行；

，C可以；

5.应用之三：宇宙速度 (i)宇宙速度

，D可以。

11

GMgR7.9km/s，第二宇宙速度宇宙速度是发射速度的三个临界值．第一宇宙速度vIRvII2GM11.2km/s，第三宇宙速度vIII16.7km/s． R在地球表面以平抛的方式发射天体时，若发射速度v匀速圆周运动；若vIvI时物体将落回到地面上；若vvI沿地球表面做

vvII时物体绕以地心为一个焦点的椭圆轨道运动；若vIIvvIII时脱离地球vIII时脱离太阳束缚进入宇宙空间中．

束缚绕太阳运行；若v在地球表面以竖直方式发射物体时，物体不落回地球表面的最小发射速度等于第二宇宙速度． 例７.在地面上以速度v抛射一飞船后,这艘飞船绕地球转动,当将抛射速度提高到2v时,飞船将可能 A、地球转动，轨道半径增大 B、仍绕地球转动，轨道半径减小

C、摆脱地球引力的束缚，成为太阳系的小行星 D、摆脱太阳引力的束缚，飞向宇宙 答案：CD

例８.万有引力作用下的物体具有引力势能,取无穷远处引力势能为零,物体距星球球心距离为r时的引力势能为:Ep=-G

mM(G为万有引力常量),设宇宙中有一半径为R的星球,宇航员在该星球上以速度v0竖直向上r

( )

抛出一质量为m的物体,不计空气阻力,经t秒后落回手中,则 A.在该星球表面上以

2v0R的初速度水平抛出一个物体,物体将不再落回星球表面 tv0R的初速度水平抛出一个物体,物体将不再落回星球表面 tB.在该星球表面上以2

C.在该星球表面上以

2v0R的初速度竖直抛出一个物体,物体将不再落回星球表面 tv0RD.在该星球表面上以2的初速度竖直抛出一个物体,物体将不再落回星球表面

t答案：ABD

12

模型演练

13.已知地球半径为R，质量为M，自转角速度为，地面重力加速度为g，万有引力常量为G，地球同步卫星的运行速度为v，则第一宇宙速度的值不可表示为 ．．A．Rg 答案：C

GMGMmv2解析：第一宇宙速度可表示为vI及 gR，A正确C错误．由同步卫星的运行可知：2mrRr

B．v3/R C．R/GM

D．4GMg

vr有 GM正确，答案为C．

v3，故有vIv3/R，B正确．由

GMmR2mg有RGM，故vIgR4GMg，Dg14.由于地球的自转，使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动。对于这些做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是

A．向心力指向地心 B．速度等于第一宇宙速度 C．加速度等于重力加速度 D．周期与地球自转的周期相等 答案：D

解析：绕地轴做匀速圆周运动的物体,只有在赤道上的物体向心力才指向地心,速度远小于第一宇宙速度(近地卫星的速度),加速度小于重力加速度,但周期等于地球的自转周期,故A、B、C错误,D正确

１５.已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是

3A.卫星距离地面的高度为

GMT2 24B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C.卫星运行时受到的向心力大小为GMm R213

D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 答案：BD

（ii)椭圆轨道及变轨时的运动 （I）椭圆轨道运动

除了天体经过椭圆轨道的两个长轴端点时,中心天体对运行天体的万有引力一部分(垂直于速度方向上分力)提供运行天体所需向心力,改变天体的运行方向;另一部分(沿速度方向上的分力)改变天体的速率. 在椭圆两个长轴端点处,中心天体对运行天体的万有引力恰好提供其所需向心力,但需注意两端点处的轨道半径是椭圆在该处的曲率半径,而不是该点到中心天体间的距离.

运转天体沿椭圆轨道远离中心天体时,动能减小、势能增加,只受到中心天体的万有引力时总机械能不变. ④涉及运动时间问题时可利用开普勒第三定律. (ＩＩ)变轨运动

天体从低轨道运动到高轨道上时,首先要在低轨道上加速即向运动的反方向喷气,瞬间加速后进入椭圆转移轨道而远离地球,此过程中速度逐渐减小.到达椭圆上远地点后再次加速而进入圆形高轨道. 天体从高轨道上向低轨道上转移时操作过程则相反.

同一轨道上同向运行的两颗人造卫星,后者要追上前者,需首先将后者瞬间减速使进入低轨道,进入低轨道后角速度反而较在原轨道上时大,然后在合适的时机再将其加速,使其恢复到原轨道上而达到目的.

例９.一人造地球卫星质量为m，其绕地球运动的轨道为椭圆轨道，它在近地点时到地心的距离为r1，速度为v1，加速度为a1，在远地点时，到地心的距离为r2，速度为v2，加速度为a2，则下列关系式正确的是 A.

v1rvrarar=2 B. 1=1 C. 1=(2)2 D. 1=(1)2a2r1a2r2v2r1v2r2

答案：C

GMmv12解析:在近地点和远地点,椭圆轨道的曲率半径相同,设为r,则由牛顿第二定律有mma1、 2r1r2GMmv2v1r2a1r22,两式联立可得、mma()故只有C正确. 2r22rv2r1a2r1 14

例10. 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

（B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 （C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 答案：ABC

例11.2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。

（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；

（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G

Mm(设粒子在离黑洞无限R远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。 答案：（1）4×106（2）17

15

综合上述三式得

MArMSrETET 32式中 TE=1年 ④ rE=1天文单位 ⑤ 代入数据可得

MA4106 ⑥ MS（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有

12MmmcG0 ⑦ 2R依题意可知

RRA，MMA

可得

RA2GMA ⑧ c2代入数据得

RA1.21010m ⑨ RA17 ⑩ RS

16

模型演练

16.如图所示，在某次卫星发射过程中，卫星由近地圆轨道l通过椭圆轨道2变轨到远地圆轨道3．轨道l与轨道2相切于a点,轨道2与轨道3相切于b点．则下面说法正确的是

練１６图

A．在轨道1运行的角速度大于轨道3上运行的角速度 B．在轨道2上过a点时的速度大于轨道3上过b点时的速度 C．在轨道3上过b点时的加速度大于轨道2上过b点时的加速度 D．在轨道2上运动时，从a点到b点机械能守恒 答案：ABD

17.如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球作椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P点是BC两卫星轨道的交点。已知A、B、C绕地心运动的周期相同。相对于地心，下列说法中不正确的是

17图 A．物体A和卫星C具有相同大小的加速度 B．卫星C的运行速度大于物体A的速度

C．可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方

17

D．卫星B在P点的运行加速度大小与卫星C的运行加速度大小相等 答案：A

18.人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将 (填“减小”或“增大”)；其动能将 (填“减小”或“增大”)。 答案：增大、增大 解析：万有引力公式F动。由

GMmr2GMmr2，r减小，万有引力增大．轨道半径缓慢减小，短时间内仍可认为是圆周运1GMmv2得卫星的动能Ekmv2，故动能增大． m22rr

18