高考物理一轮复习 第五章 曲线运动 万有引力与航天 第4节 万有引力与航天教案

一、开普勒行星运动定律

定律 开普勒第一定律(轨道定律) 开普勒第二定律(面积定律) 开普勒第三定律(周期定律) 内容 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点上 太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等 行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比 r3=k,k是一个与行星无T2图示或公式 关的常量 二、万有引力定律 1.内容

自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的方向沿两物体的连线,引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比,与这两个物体间距离r的平方成反比. 2.表达式

F=Gmrm,G为引力常量,其值为G=6.67×10N·m/kg.

122-1122

3.适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点.

(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离.

自 (1)应用公式F=G主 m1m2可讨论或计算万有引力的大小,若两物体间距r→0时,万有引力Fr2为无穷大吗? 探 (2)如图所示,太阳对行星的引力为F,行星对太阳的引力为F′,太阳的质量远大于行星究 自 主 探 的质量,引力F与F′的大小关系是怎样的? 答案:(1)两物体间距r→0时,公式不适用,故用F=G(2)大小相等. m1m2计算无意义. r2究 三、宇宙速度 1.三种宇宙速度

宇宙速度 第一宇宙速度 7.9 (环绕速度) 第二宇宙速度 11.2 (脱离速度) 第三宇宙速度 16.7 (逃逸速度) 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 地球卫星最小发射速度 数值(km/s) 意义 2.第一宇宙速度的计算方法

v(1)由GMm=m得v=RR22GMR.

(2)由mg=m得v=v2RgR.

在地球的周围,有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动,请思考: 自 (1)这些卫星的轨道平面有什么特点? 主 (2)这些卫星的线速度、角速度、周期、加速度跟什么因素有关呢? 探 答案:(1)轨道平面过地心. v2Mm2究 (2)由G2=m=mrω=mr=ma.可知,线速度、角速度、周期、加速度都与轨道半径有rr关. 四、经典时空观、相对论时空观和高速世界的两个基本原理 1.经典时空观

(1)在经典力学中,物体的质量是不随速度的改变而改变的. (2)在经典力学中,同一物理过程的位移和时间的测量在不同的参考系中是相同的. 2.相对论时空观

同一过程的位移、时间和质量的测量与参考系有关,在不同的参考系中结果不同.

3.高速世界的两个基本原理

(1)相对性原理:所有物理规律在一切惯性参考系中都具有相同的形式.

(2)光速不变原理:在一切惯性参考系中,测量到的真空中的光速c都一样.

4.经典力学的适用范围

只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界. 1.思考判断

(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F=Gmrm决定,其方向总

122是指向地心.( √ )

r(2)开普勒第三定律T=k中k值与中心天体质量无关.( × )

23(3)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度.( √ ) (4)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越小.( √ )

(5)发射速度大于7.9 km/s,小于11.2 km/s时,人造卫星围绕地球

沿椭圆轨道运动.( √ ) 2.

土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为1.2×10 km,已知引力常量G=6.67×10 N·m/kg,则土星的质量约为( B ) A.5×10 kg B.5×10 kg C.7×10 kg D.4×10 kg

解析:土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力,设土星质量为M,则有

GMmR233

36

17

266

-11

2

2

=mR,解得M=

4π2R3GT2,将相关数据代入得M≈5×10 kg,故B

26

正确. 3.

中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统,是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统.预计2020年左右,北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力.如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图,已知a,b,c三颗卫星均做圆周运动,a是地球同步卫星,则( A )

A.卫星a的角速度小于c的角速度 B.卫星a的加速度大于b的加速度 C.卫星a的运行速度大于第一宇宙速度 D.卫星b的周期大于24 h

解析:由题图可知,ra=rb>rc,根据万有引力提供向心力有

GMmr2=

mv2r=mrω=

2

mr4π2T2=ma,则v=

GMr,ω=

GMr3,T=

4π2r3GM,a=GM,故r2ωa<ωc,aa=ab,Tb=Ta=24 h,故A正确,B,D错误;a的轨道半径大于地球半径,因此卫星a的运行速度小于第一宇宙速度,选项C错误.

考点一 开普勒行星运动定律的理解与应用

1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.

2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动等.

r3.在开普勒第三定律T=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同

23的中心天体k值不同.

[例1] 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( C )

A.太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

解析:木星绕太阳运行的轨道为椭圆轨道,故太阳应位于其椭圆轨道的一个焦点上,A项错误;由于火星和木

星在不同的轨道上,且是椭圆轨道,速度大小变化,火星和木星的运行速度大小不一定相等,B项错误;由开普勒第三定律可知,同一中心天体T=T=k,即T=R,C项正确;开普勒第二定律是指,对同

2223火木木木R火3R木3T火2R火3一行星而言,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积,D项错误.

[针对训练]

(2019·宁夏石嘴山模拟)2018年2月12日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,以“一箭双星”方式成功发射第二十八、二十九颗北斗导航卫星.发射过程中“北斗”28星的某一运行轨道为椭圆轨道,周期为T0,如图所示.则( C ) A.“北斗”28星的发射速度小于第一宇宙速度 B.“北斗”28星在A→B→C的过程中,速率逐渐变大 C.“北斗”28星在A→B过程所用的时间小于T40

D.“北斗”28星在B→C→D的过程中,万有引力对它先做正功后做负功

解析:绕地球运行的卫星,其发射速度都大于第一宇宙速度,故A错误;根据开普勒第二定律,卫星在A→B→C的过程中,卫星与地球的距离增大,速率逐渐变小,故B错误;卫星在A→C的过程中所用的时间是T2,由于卫星在A→B→C的过程中,速率逐渐变小,A→B与B→C

0的路程相等,所以卫星在A→B过程所用的时间小于T4,故C正确;卫

0星在B→C→D的过程中,万有引力方向先与速度方向成钝角,过了C点后与速度方向成锐角,所以万有引力对它先做负功后做正功,故D错误.

考点二 万有引力定律的理解与应用

1.万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图所示. (1)在赤道上:GMm=mg1+mωR.

R22

(2)在两极上:GMm=mg2.

R2(3)在一般位置:万有引力GMm等于重力mg与向心力F向的矢量和.

R2越靠近南北两极g值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即GMm=mg.

R22.天体表面重力加速度的计算

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg=GMm,得R2g=GM.

R2(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度为

GMmg′,mg′=(R,

h)2得g′=

GM(Rh)2,所以=

gg(Rh)2R2.

3.有关万有引力的两个推论

推论Ⅰ:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零.

推论Ⅱ:如图所示,在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力,即

mF=GM.

r2[例2]

(多选)如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R.下列说法正确的是

( BC )

A.地球对一颗卫星的引力大小为(rGMmR)22

B.一颗卫星对地球的引力大小为GMm

rC.两颗卫星之间的引力大小为

Gm2 3r22D.三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm

r解析:地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离,选项A错误,B正确;两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角,间距为3r,代入数据得,两颗卫星之间引力大小为Gm,选项C正确;三3r22颗卫星对地球引力的合力为零,选项D错误.

[针对训练] 某星球的质量约为地球的9倍,半径约为地球的三分之一,若从地球上高h处平抛一物体,射程为 63 m,则在该星球上,从同样高度,以同样的初速度平抛同一物体,射程应为( C ) A.1 m B.21 m C.7 m D.567 m

解析:设地球质量为M,半径为R,表面重力加速度为g.则在地球表

Mm面GMm=mg,在星球表面G=mg′,即GRR229Mm1(R)23=mg′,解得g′=81g.

2hg根据平抛规律,在地球上x=v0t=v0x′=v0t′=v02hg.在星球上

=v02h81g.所以x′=1x=7 m,故C项正确.

9考点三 中心天体的质量和密度的估算

1.中心天体质量和密度的计算方法

方法 利用运 r,T 行天体 已知量 利用公式 GMm= r2表达式 4π2r3M= GT2备注 只能得到中心天体的质量 mr Gr,v Mm= r2mGv2 rrv2M= GMm= r2v3TM= 2πGv,T v2m, rGMm= r2mr 利用天体 表面重力 加速度 MmG2= r3πr3ρ=23 GTRg,R GMmmg=2 RgR2M= G— 利用运 行天体 r,T, R mr, M=ρ·πR 利用天体 表面重力 加速度 g,R GMm R2当r=R时 3利用近地卫星只需测出其运行周期 43ρ=3π GT2mg=ρ=43M=ρ·πR 33g 4πGR— 2.估算天体问题应注意三点

(1)天体质量估算中常有隐含条件,如地球的自转周期为24 h,公转周期为365天等.

(2)若已知地球表面重力加速度时,注意黄金代换式GM=gR的应用.

3π(3)注意密度关系式ρ=GT中的T是近地卫星的周期.

22

[例3] (多选)利用引力常量G和下列有关数据,能计算出地球质量的是( ABC )

A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)

B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

解析:A项,因为不考虑地球的自转,所以相对地面静止的某一物体的万有引力等于重力,即GMR项,根据根据

r02GM地m卫R2地2m=mg,得M地=gR,能求出地球的质量;BGv3T2πG2=m

月

v2卫R和T=

2πRv,得M地=

4π2r3GT2,可求出地球的质量;C项,

GM地m月r2=mr,得M

地

=,可求出地球的质量;D项,根据

GM太M地4π2=M地r02T04π2r03,得M太=2GT0,可求出太阳的质量,但不能求出地球质

量.故A,B,C正确,D错误.

对天体质量和密度估算问题的两点提醒 (1)区分两个质量:利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的质量. (2)区别两个半径:天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有r≈R;计算天体密度时,V=4πR中的R只能是中心3天体的半径. [针对训练] (多选)公元2100年,航天员准备登陆木星,为了更准确了解木星的一些信息,到木星之前做一些科学实验,当航天器与木星表面相对静止时,航天员对木星表面发射一束激光,经过时间t,收到激光传回的信号,测得相邻两次看到日出的时间间隔是T,测得航天员所在航天器的速度为v,已知引力常量G,激光的速度为c,则( AD ) A.木星的质量M=

v3T 2πG3ctB.木星的质量M=π2GT2332

3πC.木星的密度ρ=GT2D.木星的密度

3πv3Tρ=

G(vTπct)3解析:由题意知,航天器到木星表面的距离h=ct,航天器绕木星运动2πr的周期为T,根据v=2T可得,航天器的轨道半径r=vT,根据万有引2π力提供向心力,有R=r-h=确.

vT2πct2GMmr2=m,得M=

v2rv3T2πG,故A正确,B错误;木星的半径

3πv3T=43G(vTπct)3πR3M-,所以木星的密度ρ==

MV,故C错误,D正

考点四 卫星的运行规律

1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 2.卫星运动中的机械能

(1)只在万有引力作用下,卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动,机械能均守恒,这里的机械能包括卫星的动能和卫星(与中心天体)的重力势能.

(2)质量相同的卫星,圆轨道半径越大,动能越小,势能越大,机械能越大. [例4]

如图所示,A为近地气象卫星,B为远地通讯卫星,假设它们都绕地球做匀速圆周运动.已知地球半径为R,卫星A距地面高度可忽略不计,卫星B距地面高度为h,不计卫星间的相互作用力.则下列说法正确的是( D )

A.若两卫星质量相等,发射卫星B需要的能量少

B.卫星A与卫星B

R3运行周期之比为

(Rh)3h

C.卫星A与卫星B运行的加速度大小之比为RR

D.卫星A与卫星B运行速度大小之比为Rh R解析:若两卫星质量相等,圆轨道半径越大,卫星所具有的机械能越大,所以发射卫星B需要的能量大,选项A错误;根据开普勒第三定律可知,所有行星的轨道的半长轴的立方跟它的公转周期的平方的比值都相等,即卫星A与卫星B运行周期之比为2R3(Rh)3,故B错误;

GM由GMm=ma,则a=,所以卫星A与卫星B运行的加速度大小之比为RR2(Rh)2R2mv,故C错误;由GMm=,得v=RR22GMR,卫星A与卫星B运行速度

大小之比为RhR,所以D正确.

[针对训练]

我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射.量子卫星成功运行后,我国在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信,构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系.假设量子卫星轨道在赤道平面,如图所示.已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍,同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍,图中P点是地球赤道上一点,由此可知( D )

nA.同步卫星与量子卫星的运行周期之比为m33

B.同步卫星与P点的速度之比为1

nnC.量子卫星与同步卫星的速度之比为m

D.量子卫星与P点的速度之比为解析:由开普勒第三定律

R同3R量3n3 mT同T量=

T同2T量2可知,=n3m3,选项A错误;由于同

步卫星的周期与地球自转周期相同,由v=rω=

同

2πrT可得,v

nm∶vP=n∶1,选项B错误;由G

Mmr2=m得v==v量v同v2rGMr,则v=量v同R同R量=,选项

C错误;量子卫星与P1.

点的速度之比v量vP·v同vP=n3m,选项D正确.

(2015·福建卷,14)如图,若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动,a,b到地心O的距离分别为r1,r2,线速度大小分别为v1,v2,则( A )

vA.v=121r2r12v B.v=12r1 r211vvC.v=(rr) D.v=(rr)

2122 2 2

解析:万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力,有G

Mmr2=m,所以v=v2rGMrv,v=12r2r1,A项正确.

2.(2019·全国Ⅱ卷,14)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆,在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图象是( D )

GMm解析:根据万有引力定律可得F=(R,探测器与地球表面的距离hh)2越大,它所受的地球引力F越小,故D正确.

3.(2019·全国Ⅲ卷,15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金,a地,a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金,v地,v火.已知它们的轨道半径R金A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金

C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金

解析:金星、地球和火星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,由GMm=ma可知,轨道半径越小,向心加速度越大,故A正R2确,B错误;由G故C,D错误.

MmR2=m得v=v2RGMR,可知轨道半径越小,运行速率越大,

4.(2018·全国Ⅱ卷,16)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10 N·m/kg.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( C ) A.5×10 kg/m B.5×10 kg/m C.5×10 kg/m D.5×10 kg/m

解析:设脉冲星的质量为M,半径为r,密度为ρ,假设有一质量为m的物体在脉冲星表面随脉冲星的自转而转动,物体所需的最大向心力为mr,则必须满足万有引力GMm≥mr,否则脉冲星将由于自转而r2-11

22

93123

153183

瓦解.又知M=ρ·4πr,解得ρ≥5.2×10 kg/m.故选项C正确.

35.

(2019·河南南阳模拟)(多选)轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星,它运行时能到达南北极的上空,需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道.如图所示,若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟,则( AC ) A.该卫星的运行速度一定小于7.9 km/s

3153

B.该卫星绕地球运行的周期与地球同步卫星的周期之比为1∶4 C.该卫星的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径之比为1∶4 D.该卫星的加速度与地球同步卫星的加速度之比为2∶1

解析:由于卫星的轨道半径大于地球半径,所以卫星的线速度一定小于第一宇宙速度,即卫星的线速度小于 7.9 km/s,故A正确;由题

意可知,卫星的周期T=360×45 min=180 min=3 h,而地球同步卫星90的周期是 24 h,故它与地球同步卫星的周期之比为1∶8,故B错误;根据万有引力提供向心力,有G

rr同步aa同步Mmr2=mr(

2πT2),解得r=

2

3GMT24π22,则

==

3(T2)?T同步=

3(32)?24MmGM=1,故C正确;根据G=ma,解得a=,则4rrr同步2r2=16,故D错误.

1