高考物理复习方案 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力与航天(含解析)新人教版

知识点

1 开普勒行星运动定律 Ⅰ

1.定律内容

开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都

a3

相等，即2＝k。

T2．使用条件：各环绕中心天体相同，特别是开普勒第三定律是解决比较椭圆与椭圆之间和椭圆与圆周运动关系的唯一规律。

知识点

2 万有引力定律及应用 Ⅱ

1.内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。

2．公式：F＝Gm1m2－1122

N·m/kg，其值由卡文2，其中G为万有引力常量，G＝6.67×10

r迪许通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的距离。

3．使用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。 知识点

3 环绕速度 Ⅱ

1.第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。

2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 4．第一宇宙速度的计算方法。

Mmv2

(1)由G2＝m，解得：v＝RRGM； Rv2

(2)由mg＝m解得：v＝gR。

R知识点

4 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ

1.第二宇宙速度(脱离速度)

使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。 2．第三宇宙速度(逃逸速度)

使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。 知识点

5 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ1.经典时空观

(1)在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变；

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

2．相对论时空观

(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝

1

m0v21－2

c；

(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。

双基夯实

一、思维辨析

1．只有天体之间才存在万有引力。( )

2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝的万有引力。( )

3．牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量。( ) 4．不同的同步卫星的质量可以不同，但离地面的高度是相同的。( ) 5．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。( ) 6．发射探月卫星发射速度必须大于第二宇宙速度。( ) 答案 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 6.× 二、对点激活

1．[对万有引力定律的理解]关于万有引力公式F＝GGm1m2

来计算物体间r2m1m2

，以下说法中正确的是( ) r2

A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的 答案 C

解析 万有引力公式F＝G近于0时，F＝

m1m2

适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋r2

Gm1m2

已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误，两物体r2

间的万有引力也符合牛顿第三定律，C正确，G的值是卡文迪许测得的，D错误。

2．[对宇宙速度的理解](多选)关于第一宇宙速度，下列说法错误的是( ) A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B．它是人造地球卫星在近地圆轨道上的运行速度 C．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度 D．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度 答案 AD

解析 第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，也是环绕地球做圆周运动的最大速度，离地越远，速度越小；卫星沿椭圆轨道运行时，在近地点做离心运动，说明近地点的速度大于环绕速度。

2

3．[卫星变轨问题的分析方法](多选)发射地球同步卫星，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 答案 BD

Mmv2

解析 由G2＝m得，v＝

rrGMMm2

。因为r3>r1，所以v3因为r3>r1，所以ω3<ω1。卫星在轨道1上经Q点时的加速度为地球引力产生的加速度，在轨道2上经过Q点时，也只有地球引力产生加速度，故应相等。同理，卫星在轨道2上经P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。

考点

天体质量和密度的估算 拓展延伸

1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。

MmgR2

(1)由G2＝mg得天体质量M＝。

RG(2)天体密度ρ＝＝

MM3g＝。

V434πGRπR3

2．借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。

23

Mm4π2r4πr(1)由G2＝m2得天体的质量M＝。

rTGT2

3

MM3πr(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。

V43GT2R3

πR3

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝

3π

GT2

，3

可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

例1 [2015·邢台市四模]为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为( )

T2R2gA.22 B.23 TRg4πmr4πr2

23

C.

4πmgr2

r3T2

4πmr D.22 23

TRg(1)知道地球绕太阳公转的周期T和太阳与地球中心间距r，能求太阳质

量吗？

GMm4π2

提示：能。利用2＝m2r。

rT(2)太阳质量的四个选项中没有引力常量G，可以考虑用哪一信息替代？ 提示：地球表面重力加速度g＝2。 尝试解答 选D。

23

GMm4π24πr地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有2＝m2r，所以M＝，

rTGT2

23

Gmm0gR24πr地球表面物体m0的重力来源于万有引力，有2＝m0g，所以G＝，把G代入M＝，RmGT2

GmR4πr4πrm得M＝2＝22，故选项D正确。

2323

gR2

TmgRT总结升华

估算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天43

体密度时，V＝πR中的R只能是中心天体的半径。

3

1．[2015·洛阳二模]如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度。已知万有引力常量为G，则月球的质量是( )

4

A.C.

l2l3

Gθ3tGθt2

B.

θ

3

Gl2tt2

D.

Gθl3

答案 C

lθvl解析 嫦娥三号的线速度v＝，角速度ω＝，则嫦娥三号的轨道半径r＝＝。

ttωθGMmv2

由牛顿第二定律得：2＝m，

rrl2l2·v2rtθl3

得M＝＝＝2，故C选项正确。

GGGtθ

2．[2015·唐山一模]美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星。荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地。若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是( )

A．在火星表面使一个小球作自由落体运动，测出落下的高度H和时间t B．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T

C．火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H和运行周期T D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T 答案 B 解析 由

GMmM3g12

得：ρ＝，A选项只能由H＝gt得g却不知火星半2＝mg，ρ＝

R434πGR2

πR3

3

GMm4π2M3πr3π

径，故A选项错误。由2＝m2r，ρ＝得：ρ＝23。当r＝R时ρ＝2，故B

rT43GTRGTπR3

选项正确，C选项缺火星半径，故错误。D选项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密度，故错误。

考点

人造卫星的运动规律 深化理解

1．人造卫星的运动规律

(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都

5

可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。

(2)两条思路

①万有引力提供向心力，即G2＝ma。

②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即

2

MmrGMm2

g分别是天2＝mg或gR＝GM(R、

R体的半径、表面重力加速度)，公式gR＝GM应用广泛，称“黄金代换”。

(3)四个关系：人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。

vGM1

m→v＝→v∝rrrGMm越高越慢 ＝rGM1

mωr→ω＝→ω∝

rr

4π4πrmTr→T＝GM→T∝r

2

2

2

3

3

2

2332

GM1

ma→a＝2→a∝2

rr2．地球同步卫星的特点

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝800 s。 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

3GMT2Mm4π24

(4)高度一定：据G2＝m2r得r＝2＝4.23×10 km，卫星离地面高度h＝r－

rT4π

R≈6R(为恒量)。

(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 3．极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

例2 [2016·淄博市模拟]太阳系中的行星受到太阳的引力绕太阳公转，但它们公转的周期却各不相同。若把地球和水星绕太阳的运动轨迹都近似看作圆周，根据观测得知，地球绕太阳公转的周期大于水星绕太阳公转的周期，则由此可以判定( )

A．地球的线速度大于水星的线速度 B．地球的质量小于水星的质量

C．地球的向心加速度小于水星的向心加速度 D．地球到太阳的距离小于水星到太阳的距离

(1)地球围绕太阳公转的周期大于水星绕太阳公转的周期，揭示出了地球

公转半径与水星公转半径哪个大？

6

提示：据T＝4πr23

GM知地球公转半径大。

(2)有没有办法比较地球质量和水星质量。 提示：没有，因为它们不是中心天体。 尝试解答 选C。

GMm4π2

由2＝m2r得T＝rT4πr23

GM，因为地球的公转周期大于水星的公转周期，则地球的GMmv2

公转半径大于水星的公转半径，故D错误。由2＝m得v＝

rrGM，所以地球的线速度小rGMmGM2＝ma得a＝2，rr于水星的线速度，故A错误。无法计算地球和水星质量，故B错误。由则地球的向心加速度小于水星的向心加速度，故C正确。

总结升华

人造卫星问题的解题技巧

(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。 ①G2＝man；

2

v24π2

②an＝＝rω＝2r。

rTMmr(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律。

①卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。

②an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。

1．[2015·河南重点中学质量监测]如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h，则下列说法正确的是( )

A．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4 B．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2 C．该卫星的运行速度一定大于7.9 km/s

7

D．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 答案 A

解析 卫星转动了120°的圆心角，即转动了三分之一周期，用时1 h，因此卫星的周

GMm4π23

期为 3 h。由2＝m2r可得T∝r，在极地卫星周期3 h，同步卫星周期24 h，可得极

rTGMmmv21

地卫星与同步卫星的半径之比为1∶4，选项A正确。由2＝可得v∝，故速度之比

rrr为2∶1，选项B错误。第一宇宙速度v＝7.9 km/s是近地卫星的运行速度，是最大运行速度，故C错误。卫星的质量未知，机械能无法比较，D错误。

2．[2015·邯郸质量检测](多选)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则( )

A．a的向心加速度等于重力加速度g B．在相同时间内b转过的弧长最长 π

C．c在4 h内转过的圆心角是

3D．d的运动周期有可能是20 h 答案 BC

解析 a为赤道上的物体，满足万有引力等于重力与随地球自转的向心力的和，即

GMm＝R2mg＋ma，所以a≠g，故A选项错误。b、c、d三颗卫星线速度vb>vc>vd，周期Tb以B选项正确。Tc＝24 h，则Td>24 h，故D选项错误。c卫星在4 h内转过的圆心角θ＝2ππ

ωt＝t＝，故C选项正确。

T3

考点

航天器的变轨问题 拓展延伸

1．卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行：

Mmv2

(1)当卫星的速度突然增加时，G2rr运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝GM可r 8

知其运行速度比原轨道时小。

Mmv2

(2)当卫星的速度突然减小时，G2>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近

rr心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比原轨道时大。

卫星的发射和回收就是利用这一原理。

GMr

2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：

(1)先将卫星发射到近地轨道Ⅰ；

(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；

(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。

例3 (多选)如下图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是( )

A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化

9

B．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期

C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度

D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率

(1)如何比较圆轨道的周期和椭圆轨道的周期？

提示：据开普勒第三定律，比较半径与半长轴。 (2)如何比较椭圆轨道不同地点的加速度？ 提示：只需看距地心的距离，a＝2。 尝试解答 选BC。

“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上由远月点P向近月点Q运动时，万有引力做正功，速率增大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，选项D错误。

总结升华

航天器变轨问题的三点注意事项

(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝

GMrGM判断。 r(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，交点处外轨道的速度大于内轨道的速度。

1．[2015·四川宜宾一诊]按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程完成各项目标和科学探测任务后，第二步是“落月”工程。假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是( )

10

A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v＝

g0R2

B．飞船在A点处点火变轨时，动能增大 C．飞船从A到B运行的过程中机械能增大 D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间T＝π答案 A

R g0

v2

GM，4RGMm解析 飞船在轨道Ⅰ运行时，万有引力做向心力，

R＋3RGMm2

又因为mg0＝2，得GM＝g0R；联立得v＝R2

＝mR＋3R，得v＝g0R2g0R＝，故A选项正确。飞船在A点点火4R2

变轨到较低轨道，应向前喷气，喷气过程速度变小，动能变小，故B选项错误。在Ⅱ轨道上

GMm4π2

从A到B运行的过程中只有万有引力做功，机械能守恒。飞船在Ⅲ轨道上运行时2＝m2

RTR，得T＝4πR23GM，把GM＝g0R代入，得T＝2

4πR232

g0R＝2π

R。故D选项错误。 g0

2．[2015·山东潍坊质检](多选)2013年12月2日，我国探月卫星“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，沿地月转移轨道直奔月球，飞行轨道如图所示。嫦娥三号经过地月转移轨道在P点调整后进入环月圆轨道，再调整后进入环月椭圆轨道，最后由近月点

Q沿抛物线下降，于2013年12月14日在月球虹湾成功软着陆。在实施软着陆过程中，嫦

娥三号离月球表面4 m高时最后一次悬停，确认着陆点。已知嫦娥三号总质量为M，在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，引力常量为G，月球半径为R，忽略月球自转及地球对月球的影响。以下说法正确的是( )

A．嫦娥三号在环月圆轨道的P点加速，才能进入环月椭圆轨道 B．月球的质量为 C．月球的第一宇宙速度为

FRMGFR MD．嫦娥三号沿椭圆轨道运动至P点和沿圆轨道运动至P点时，加速度相同 答案 CD

11

解析 嫦娥三号由环月圆轨道变为环月椭圆轨道，需要做向心运动，故应在P点减速，才会出现万有引力大于所需向心力从而向心运动，故A选项错误。嫦娥三号悬停时满足F＝

FGM月mgR2FR2

Mg，得g＝，假设月球表面有一质量为m的物体，有mg＝2，得M月＝＝，故B选

MRGGMGM月mmv2

项错误。要求月球第一宇宙速度，由2＝求得v＝RRGM月

，把M月代入得v＝RGFR2＝GMRFR，故C选项正确。嫦娥三号无论沿椭圆轨道运动至P点还是沿圆轨道运动至P点，只M要在P点，万有引力就相同，加速度就相同。由

GM月mGM月

＝ma得a＝，故D选项正确。 r2r2

1模型构建

在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2模型条件

(1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3模型特点

(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗恒星上，是一对作用力和反作用力。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。 (3)“半径反比”——圆心在两颗恒星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比。

(4)巧妙求质量和―→

Gm1m22

2＝m1ωr1① LGm1m22

2＝m2ωr2② L①＋②得：

Gm1＋m22

＝ωL 2L23

ωL∴m1＋m2＝ G典题例证

[2013·山东高考]双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动

12

的周期为( )

A.C.

n3T B.k2

n2T D.kn3T knT k[答案] B

[解析] 如图所示，设两恒星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2。根据万有引力定律及牛顿第二定律可得

GM1M22π2r，GM1M2＝M2π2r，解得GM1＋M2＝

＝M1T1r222r2r2T

2π2(r＋r)，即GM＝2π2①，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原

T12r3T

GkM2π2②，联立①②两式可得T′＝来的n倍时，有＝nr3T′

[名师点津] 1.解答双星问题应注意“两等”“两不等” (1)双星问题的“两等” ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。

(2)“两不等”

①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ωr1＝m2ωr2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。 2．分析求解双星或多星问题的两个关键点

(1)向心力来源：双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力；多星问题中，向心力则来源于其余星体的万有引力的合力。

(2)圆心或轨道半径的确定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题时一定要弄清题给条件。

针对训练

(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO>OB，则( )

2

2

n3T，故B项正确。 k

13

A．星球A的质量一定大于B的质量 B．星球A的线速度一定大于B的线速度

C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 答案 BD

解析 设双星质量分别为mA、mB，轨道半径为RA、RB两者间距为L，周期为T，角速度为ω，由万有引力定律可知：

GmAmBGmAmBmARB22

RA＋RB＝L ③，由①②式可得＝，而AO>OB，2＝mAωRA ①，2＝mBωRB ②，

LLmBRA2π23

故A错误。vA＝ωRA，vB＝ωRB，B正确。联立①②③得G(mA＋mB)＝ωL，又因为T＝，

ω可知D正确，C错误。

1．[2015·广东高考](多选)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1。下列说法正确的有( )

A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大 B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 答案 BD

Mmv2

解析 由G2＝m得，v＝RRGM，则有2v＝R2GMRMmR，由此可知探测器脱离星球所需要

的发射速度与探测器的质量无关，A项错误；由F＝G2及地球、火星的质量、半径之比可知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B项正确；由2v＝

2GM可知，探测器

R脱离两星球所需的发射速度不同，C项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力做负功，引力势能是逐渐增大的，D项正确。

2．[2015·重庆高考]宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )

A．0 B.C.

GMR＋h2

2 GMmR＋h D.

GM h2

MmR＋hGMR＋h答案 B

解析 对飞船进行受力分析，可得，G2

＝mg得，g＝

2

，B项正确。

3．[2015·江苏高考]过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星

14

“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆1

周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量

20比约为( )

A.

1

B．1 10

C．5 D．10 答案 B

解析 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G2＝mr4πr23

Mmr2π2，得M＝

T

133652Mr3T2日，则该中心恒星的质量与太阳的质量之比＝3·2＝×2＝1.04，B项正确。

GT2M日r日T2044．[2015·北京高考]假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距

离小于火星到太阳的距离，那么( )

A．地球公转的周期大于火星公转的周期 B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 答案 D

解析 地球的公转半径比火星的公转半径小，由

GMm2π2

＝mr，可知地球的周期比火r2T

GMmv2GMm星的周期小，故A项错误；由2＝m，可知地球公转的线速度大，故B项错误；由2＝

rrrGMmma，可知地球公转的加速度大，故C项错误；由2＝mω2r，可知地球公转的角速度大，故

rD项正确。

5．[2015·课标全国卷Ⅰ](多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×10 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s。则此探测器( )

A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为2×10 N

C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 答案 BD

解析 由题述地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，由公式G2＝mg，可得月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1/6，即g月＝1.6 m/s，由v＝2g月h，解得此探测器在着陆瞬间的速度v＝3.6 m/s，选项A错误；由平衡条件可得

2

3

2

3

MmR2

15

悬停时受到的反冲作用力约为F＝mg月＝1.3×10×1.6 N＝2×10 N，选项B正确；从离开近月圆轨道到着陆这段时间，由于受到了反冲作用力，且反冲作用力对探测器做负功，所以

33

Mmv2Mm探测器机械能减小，选项C错误；由G2＝m，G2＝mg，解得v＝gR，由于地球半径和

RRR地球表面的重力加速度均大于月球，所以探测器在近月轨道上运行的线速度要小于人造卫星在近地轨道上运行的线速度，选项D正确。

6．[2015·河北百校联考]嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成。探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国西昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为( )

月球半径 月球表面处的重力加速度 地球和月球的半径之比 地球表面和月球表面的重力加速度之比 23A. B. 32C．4 D．6 答案 B

解析 利用题给信息，对地球有

R0 g0 R＝4 R0g＝6 g0MmgR2G2＝mg，得M＝ RG43又V＝πR

3

M3g得地球的密度：ρ＝＝

V4GπR对月球，有

M0mg0R20G2＝mg0，得M0＝ R0G43又V0＝π·R0

3

得月球的密度：ρ0＝＝

M03g0

V04GπR0

ρ3

则地球的密度与月球的密度之比＝，故A、C、D错误，B正确。

ρ02

16

7．[2015·衡水二模]“嫦娥一号”探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球。如图所示是绕地飞行的三条轨道，轨道1是近地圆形轨道，2和3是变轨后的椭圆轨道。A点是2轨道的近地点，B点是2轨道的远地点，卫星在轨道1的运行速率为7.7 km/s，则下列说法中正确的是( )

A．卫星在2轨道经过A点时的速率一定小于7.7 km/s B．卫星在2轨道经过B点时的速率一定大于7.7 km/s C．卫星在3轨道所具有的机械能小于在2轨道所具有的机械能 D．卫星在3轨道所具有的最大速率大于在2轨道所具有的最大速率 答案 D

解析 卫星在近地圆形轨道的A点加速做离心运动才能进入轨道2或3，且进入轨道3加速获得的速率大于进入轨道2的，由此推知A、C错误，D正确。假设在B点加速，虚拟出一个圆轨道，由v＝

GM可知，卫星在虚拟圆轨道的速度小于1轨道的速率7.7 km/s，r那么卫星在2轨道经过B点时的速率小于7.7 km/s。

8．[2015·安徽高考]由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

(1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T。

m2m2

答案 (1)FA＝23G2 (2)FB＝7G·2 aa

17

7

(3)RC＝a (4)T＝π 4

a3

Gm

解析 (1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为

mAmB2m2

FBA＝G2＝G2＝FCA，方向如图

ram2

则合力大小为FA＝23G2

a(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为

mAmB2m2

FAB＝G2＝G2 ramCmBm2

FCB＝G2＝G2，方向如图

ram2

由FBx＝FABcos60°＋FCB＝2G2 am2

FBy＝FABsin60°＝3G2 am2

可得FB＝FBx＋FBy＝7G2

a2

2

m2

(或：B星体受A星体的引力FAB＝G2，FCB＝G2，方向如图，由三角形法则结合余弦定

aa2m理，得：

22

FB＝FAB＋FCB－2FABFCBcos120°

2

＝

7Gm2

a2

) 73212

a＋2a＝4a 4

(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，RC＝

(或：由对称性可知OB＝OC＝RC，

1aFBxDB2

cos∠OBD＝＝＝FBOBRC

可得RC＝

7a 4

18

(4)三星体运动周期相同，对C星体，由

m22π2

FC＝FB＝7G2＝mRC

aT

可得T＝π a3 Gm

时间：45分钟

满分：100分

一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选) 1．[2016·漳州八校联考]我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息。若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2。已知地球半径为

R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g，则( )

A．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为 G1G2

G1R22

B．地球的质量与月球的质量之比为2

G2R1

C．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为 D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为 答案 D

解析 质量是物体本身的属性，不因改变位置而发生变化，故A选项错误。由于重力来源于万有引力，“玉兔号”月球车在地球表面有G1＝

G2G1

G1R1

G2R2

GM地mGM月mM地

在月球表面有G2＝2，所以2，R1R2M月

G1R2g1G11

＝2，故B选项错误。因G1＝mg1，G2＝mg2，所以＝，故C选项错误。第一宇宙速度vG2R2g2G2

＝

GMv1

，所以＝Rv2M地R2

·＝M月R1G1R2R21

2·＝G2R2R1

G1R1

，故D选项正确。 G2R2

2．[2015·石家庄二模]如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ，则卫星A、B的线速度之比为( )

19

A．sinθ B.C.sinθ D.答案 C

1

sinθ

1 sinθ

解析 本题的关键是审出A、B连线与AO连线间何时夹角最大，经分析是OB垂直AB时，设A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，当OB⊥AB时，sinθ＝。卫星绕地心做圆

r2r1

GMmv2

周运动时，万有引力提供向心力，2＝m，得v＝

rr＝sinθ，故C选项正确。

GM v1

，所以A、B的线速度之比＝rv2r2

r1

3．[2015·山东省日照模拟]2014年3月8日凌晨马航客机失联后，西安卫星测控中心紧急调动海洋、风云、高分、遥感4个型号近10颗卫星，为地面搜救提供技术支持。特别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技术。如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图。“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动。卫星“G1”和“G3”的轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置。若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是( )

A．卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等且为g

B．如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其加速 πrC．卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为

3R答案 C

解析 对地球表面上的物体有

Rrr gD．若“高分一号”所在高度处有稀薄气体，则运行一段时间后，机械能会增大

GMmGMmGM2

2＝mg⇒gR＝GM，对于卫星G1、G3有2＝ma⇒a＝2＝RrrR2

g2，A错；如对“高分一号”加速，则卫星将到更高的轨道上运动，脱离原轨道，此法不可rGMm2π2

取，B错；对于卫星G1来讲有2＝mr⇒T＝rT

4πr23

GM＝4πr232gR＝

2πrRr，卫星G1g20

1πr由A到B用时t＝T＝

63Rr，C对；“高分一号”卫星由于气体的阻力，高度会降低，g

速度会增大，但因阻力做负功，机械能要减小，D错。选C。

4．[2015·安徽省“江淮十校”联考]太阳系中某行星运行的轨道半径为R0，周期为T0。但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离(行星仍然近似做匀速圆周运动)。天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星。假设两行星的运行轨道在同一平面内，且绕行方向相同，则这颗未知行星运行轨道的半径R和周期T正确的是(认为未知行星近似做匀速圆周运动)( )

A．T＝

t20

3

t0－T0

B．T＝

T0

t0－T0

t0

C．R＝R0答案 B

T02 D．R＝R3t0－T02 t0－T00t0

解析 某行星实际运行的轨道周期性地每隔t0发生一次最大偏离，可知每隔t0，该行星与外侧的未知行星相距最近，则应满足

2π－2πt＝2π，解得：T＝T0t0，故B选项

0

Tt0－T0T0

2T20t0t0－T0

33T2R03GMm4π2T2R323

正确，A错误。由2＝m2r得T∝r，所以2＝3，所以R＝＝rTT0R0T20

R30

2·2＝T0

3

3t20R0t0－T0

3

2＝R0

t02，故C、D均错误。 t0－T0

5．[2015·郑州质量预测]据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器。探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是( )

A．g′∶g＝4∶1 B．g′∶g＝10∶7 C．v′∶v＝答案 C

43

ρ火πR火

343M火51

解析 由于球体质量M＝ρπR，所以火星质量与地球质量之比＝＝×＝

3M地4378

ρ地πR地

35

。由于v＝56

5

D．v′∶v＝28

5 14

GM地

，v′＝R地GM火v，所以＝R火v′M地R火

＝M火R地561×＝5228

，故C正确，D5

GMmg′M火R2545地

错误。由于mg＝2，则＝×＝，故A、B均错误。 2＝

RgM地R火56114

21

6．[2015·石家庄一模]宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，下列说法正确的是( )

A．每颗星做圆周运动的角速度为3

Gm L3B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍 D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍 答案 C

2

Gm23Gm解析 以其中一颗星为研究对象进行受力分析并合成得F合＝22·cos30°＝2，

LL33Gm2

轨道半径r＝＝＝L，据牛顿第二定律得：2＝mωr，所以ω＝2cos30°L33故A选项错误。由

3Gm2

LL2

3Gm3，

LL2

2π

＝ma知a与m有关，故B选项错误。T＝＝2π ω

2πr＝L3，当L与3GmGm知L、m变Lm均变为原来的2倍，则T变为原来的2倍，故C选项正确。由v＝

为原来的2倍，v不变，故D选项错误。

T7．[2015·江西联考]“轨道康复者”是“垃圾”卫星的救星，被称为“太空110”，它可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命，假设“轨道康复者”的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，其运动方向与地球自转方向一致，轨道平面与地球赤道平面重合，下列说法正确的是( )

A．“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的25倍

22

B．“轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的5倍 C．站在赤道上的人观察到“轨道康复者”向西运动

D．“轨道康复者”可在高轨道上加速，以实现对低轨道上卫星的拯救 答案 AB 解析 根据

GMmGM2＝ma得：a＝2，因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动时的轨道rrGM，因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆r半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，则“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速

GMmv2

度的25倍，故A正确。根据2＝m得：v＝rr周运动时的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，则“轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的5倍，故B正确。因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动的周期小于同步卫星的周期，则小于地球自转的周期，所以“轨道康复者”的角速度大于地球自转的角速度，站在赤道上的人用仪器观察到“轨道康复者”向东运动，故C错误。“轨道康复者”要在原轨道上减速，做近心运动，才能“拯救”更低轨道上的卫星，故D错误。

8．据英国《卫报》网站2015年1月6日报道，在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”。假设该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍。则该行星与地球的( )

32

A．轨道半径之比为pq 32

B．轨道半径之比为p C．线速度之比为D．线速度之比为答案 AC

2

Mm4πGMT23

解析 行星公转的向心力由万有引力提供，有：G2＝mR2，解得：R＝2，R＝

RT4π

3qp1

p3GMT22，该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，4π

R行322πRv行R行T地

橙矮星的质量为太阳的q倍，故：＝pq，A正确，B错误；根据v＝有：＝·R地

Tv地R地T行

13q＝pq×＝，C正确，D错误。 3

2

pp

9．[2015·保定一模]已知地球半径为R，质量为M，自转周期为T，在赤道处用弹簧秤悬挂某物体(质量为m)，静止时示数为F，万有引力常量为G。下列说法正确的是( )

A．在北极进行同样的操作，弹簧秤示数依然是F

23

Mm4π2

B．在赤道处重力的大小等于F，且F＝G2－m2R

RTC．假如地球自转周期减小，那么赤道上物体的重力也减小 D．地球的第一宇宙速度v1＝答案 BC

解析 由于北极和赤道处，在考虑自转时重力加速度不同，故A选项错误。赤道处万有

2

GMm4π

引力一个分力为重力，另一个分力为随地球自转的向心力，即2＝F＋m2R，故B选项正

RT2πR

T确。假设T减小，则F减小，即重力减小，故C选项正确。求地球的第一宇宙速度，若选用

v＝

2πR，T应该为近地卫星的环绕周期，而不应该为地球自转周期，故D选项错误。

T

10．[2015·天津高考]P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度

a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的

反比关系，它们左端点横坐标相同。则( )

A．P1的平均密度比P2的大 B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小 C．s1的向心加速度比s2的大 D．s1的公转周期比s2的大 答案 AC

解析 题图中两条曲线的左端点对应的横坐标相同，表明两颗行星的半径相同，由万有引力提供向心力可得，G2＝ma，a＝2，由题图可知，P1的质量大，因此P1的平均密度大，A项正确；第一宇宙速度v＝

MmrGMrGM，因此质量大的行星第一宇宙速度大，B项错误；由a＝Rr3

，因此同一高度GMGMMm2π2得T＝2π

2可知，s1的向心加速度大，C项正确；由G2＝mrrrT

处，质量大的行星的卫星公转周期小，D项错误。

二、非选择题(本题共2小题，共30分)

11．[2015·云南质量检测二](10分)宇航员到达某星球后，试图通过相关测量估测该星球的半径。他在该星球上取得一矿石，测得其质量为m0，体积为V0，重力为W，若所取矿石密度等于该星球的平均密度，引力常量为G，该星球视为球形，请用以上物理量推导该星

24

43

球半径的表达式。(球体体积公式为V＝πR，式中R为球体半径)

3

3WV0

答案 R＝2

4πGm0

解析 设矿石的密度为ρ0，由题意易知ρ0＝ 该星球表面的重力加速度为g＝ 在该星球表面，万有引力等于重力G该星球的平均密度为ρ＝ 43

据题意：ρ＝ρ0，V＝πR

33WV0

联立以上各式解得：R＝2 4πGm0

12．[2015·江南十校联考](20分)探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P处，通过变速，再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道上”绕月飞行(视为圆周运动)，对月球进行探测，“工作轨道”周期为T，距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响。

(1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应增大速度还是减小速度？ (2)求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小； (3)求月球的第一宇宙速度。 答案 (1)应减小速度 (2)2π

(3)2π

m0V0

Wm0

Mm0

＝m0g R2

MVR＋h TR＋h TR＋h R解析 (1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应减小速度做近心运动。 (2)根据线速度与轨道半径和周期的关系可知探月卫星线速度的大小为v＝2π

R＋h。 T(3)设月球的质量为M，探月卫星的质量为m，月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速

4π

2＝m(R＋h)2。月球的第一宇宙速度v1等于“近

2

Mm圆周运动的向心力，所以有：GR＋hTMm′v21

月卫星”的环绕速度，设“近月卫星”的质量为m′，则有：G2＝m′。由以上两式解RR2π

得：v1＝

R＋h TR＋h。 R 25