第13讲 万有引力与航天
[解密考纲]考查解决天体问题的两条基本思路，卫星各参量与半径的关系、天体质量和密度的计算、卫星变轨分析．
1．(2015·四川卷)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( B )
行星地球火星
半径/m6.4×1063.4×106
质量/kg6.0×10246.4×1023
轨道半径/m1.5×10112.3×1011
A．火星的公转周期较小 B．火星做圆周运动的加速度较小C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大解析：设公转半径为r，星球半径为R，太阳的质量为M，由公式＝m2r，由题可知火星轨道半径大于地球公转轨道半径，所以火星公转周期大于地球公转周期，所以A项错；由公式＝ma得a＝，所以火星运行时的向心加速度小于地球公转时的加速度，所以B项对；由公式＝g，表格中数据估算可知m火≈m地，R火≈R地，所以g火≈g地，即火星表面重力加速度小于地球表面重力加速度，所以C项错；又由第一宇宙速度公式v＝，可得v火≈v地即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，所以D项错．
2．(多选)(2014·广东卷) 如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( AC )
A．轨道半径越大，周期越长B．轨道半径越大，速度越大C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
解析：根据G＝mR，可知半径越大则周期越大，故选项A正确；根据G＝m，可知轨道半径越大则环绕速度越小，故选项B错误；若测得周期T，则有M＝，如果知道张角θ，则该星球半径为r＝R sin ，所以M＝＝π3ρ，可得到星球的平均密度，故选项C正确，而选项D无法计算星球
半径，则无法求出星球的平均密度，选项D错误．
3．(多选)(2017·吉林长春调研)我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星－500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的.已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法正确的是( ABD )
A．火星的密度为
B．火星表面的重力加速度是
C．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等D．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是
解析：由G＝mg，得到：g＝，已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的，即为g，B正确．设火星质量为M′，由万有引力等于重力可得：G＝mg′，解得：M′＝，密度为：ρ＝＝＝，故A正确；由G＝m，得到v＝，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍，故C错误；王跃以v0在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出可跳的最大高度是：h＝，由于火星表面的重力加速度是g，王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度h′＝h，故D正确．
4．(2014·浙江五校联盟第一次模拟)如图所示，搭载着“嫦娥二
号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100千米、周期约为118分钟的工作轨道，开始对月球进行探测( B )
A．卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度大B．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大
C．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道 Ⅰ 上经过P点时大D．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
解析：第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，等于近月卫星的速度，大于所有卫星的速度，A项错误；卫星由Ⅰ轨道进入Ⅱ或Ⅲ轨道，需减速做近心运动，机械能减小，B项正确，C项错误；卫星在轨道Ⅲ或Ⅰ上经过P点时，到月心的距离相等，根据＝ma可知，加速度应相等，D项错误．
5．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后做匀速圆周运动，动能减小为原来的1/4，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的( C )
A．向心加速度大小之比为4∶1 B．角速度大小之比为2∶1C．周期之比为1∶8 D．轨道半径之比为1∶2
解析：由＝m可得v＝，卫星动能减小为原来的1/4，速度减小为原来的1/2，则轨道半径增加到原来的4倍，故D项错误；由an＝可知向心加速度减小为原来的1/16，故A项错误；由ω＝v/r可知，角速度减小为原来的1/8，故B项错误；由周期与角速度成反比可知，周期增大到原来的8倍，故C项正确．
6．(多选)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是( BD )
A．卫星距地面的高度为
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C．卫星运行时受到的向心力大小为G
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
解析：天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F引＝F向＝m＝.当卫星在地表运行时，＝mg，设同步卫星离地面高度为h，则＝ma向7．(多选)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则( AD )
A．X星球的质量为M＝
B．X星球表面的重力加速度为gX＝
C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1
解析：探测飞船做圆周运动时有G＝m12r1，解得M＝，所以选项A正确；因为X星球半径未知，所以选项B错误；根据G＝m，得v＝，所以＝，选项C错误；根据开普勒第三定律得：＝，T2＝T1，选项D正确．8．(多选)(2017·重庆调研)如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星．关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是( BC )
A．地球对b、c两星的万有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c两星不受重力
B．周期关系为Ta＝Tc>Tb
C．线速度的大小关系为vaab>ac解析：a、b、c都受到万有引力作用，A错误；赤道上的物体a、同步卫星c的周期相同，所以角速度一样，根据＝k，所以c的周期大于b的
周期，所以B正确．v＝，c的半径大于b，所以vcva，所以C正确；a＝，所以ab>ac，又根据a＝rω2可知．ac>aa，所以D错误．9．(多选)(2016·江苏启东模拟)2008年我国成功实施了“神舟七号”载人飞船航天飞行，“神舟七号”飞行到31圈时，成功释放了伴飞小卫星，通过伴飞小卫星可以拍摄“神舟七号”的运行情况．若在无牵连的情况下伴飞小卫星与“神舟七号”保持相对静止．下述说法中正确的是( AC )
A．伴飞小卫星和“神舟七号”飞船有相同的角速度
B．伴飞小卫星绕地球沿圆轨道运动的速度比第一宇宙速度大C．宇航员在太空中的加速度小于在地面上的重力加速度
D．宇航员在太空中不受地球的万有引力作用，处于完全失重状态解析：根据伴飞小卫星与“神舟七号”保持相对静止得出伴飞小卫星与“神舟七号”具有相同的周期，所以伴飞小卫星和“神舟七号”飞船有相同的角速度，故A正确．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是圆周运动的最大环绕速度，伴飞小卫星绕地球沿圆轨道运动的速度比第一宇宙速度小，故B错误．根据万有引力等于重力表示出重力加速度得：＝mg，g＝，在太空距离大于在地面的R.所以宇航员在太空中的加速度小于在地面上的重力加速度，故C正确．宇航员在太空时受地球的万有引力作用，处于完全失重状态，故D错误．
10．2002年四月下旬，天空中出现了水星、金星、火星、木星、土星近乎直线排列的“五星连珠”的奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是T1和T2，而且火星离太阳较近，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象( C )
A． B．C． D．
解析：根据万有引力提供向心力得：＝，解得T＝2π，火星离太阳
较近，即轨道半径小，所以周期小．设再经过时间t将第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周运动的物体追及相遇的问题，虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快的物体比运动较慢的物体多远行2π弧度．所以t－t＝2π，解得t＝，选项C正确．
11．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )
A．1－ B．1＋ C．()2 D．()2解析：物体在地面上时的重力加速度可由g＝得出，根据题中条件，球壳对其内部物体的引力为零，矿井底部可以等效为地面，设矿井以下剩余部分地球的质量为M′，矿井底部处重力加速度可由g′＝得出，而＝，所以g′＝(1－)g.
12．如图为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0.长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔t0时间发生一次最大偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同)，它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离，由此可推测未知行星B的运动轨道半径为( C )
A．R0 B．R0C．R0 D．R0
解析：对A行星有G＝mA2R0，对B行星有G＝mB2R1，由A、B最近到A、B再次最近，有t0－t0＝2π，求得R1＝R0.
13．(多选)中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星．某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较．下列计算火星密度的公式，正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)( ACD )
A．ρ＝ B．ρ＝C．ρ＝ D．ρ＝
解析：由ρ＝，V＝，所以ρ＝，D正确；由G＝m2r，r＝，G＝mg0可得ρ＝，ρ＝，A、C正确．
14．(2017·安徽安庆模拟)人类对自己赖以生存的地球的研究，是一个永恒的主题．我国南极科学考察队在地球的南极用弹簧测力计称得某物体重为P，在回国途径赤道时用弹簧测力计称得同一物体重为0.9P.若已知地球自转周期为T，引力常量为G，假设地球是质量均匀分布的球体，则由以上物理量可以求得( D )
A．物体的质量m B．地球的半径RC．地球的质量M D．地球的密度ρ
解析：因为两极处的万有引力等于物体的重力，故P＝G，由于赤道处的向心力等于万有引力与物体在赤道处的重力之差，故P－0.9P＝m2R，故M＝.物体的质量是任意的，故无法求解出，故A错误．由于不知道地球半径，故无法求解地球的质量，故B、C均错误．地球密度ρ＝＝＝，故D正确．
