数学-2023年高考考前押题密卷(北京卷)(考试版)A4

数 学

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、先选择题共10小题，每小题4分，分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合𝐴={𝑥∣𝑥2―4𝑥≤0,𝑥∈𝑍}，𝐵={𝑥∣―1≤𝑥<4}，则𝐴∩𝐵=（ ）A．[―1,4]B．[0,4)C．{0,1,2,3,4}D．{0,1,2,3}2．若𝑧=1―i，则|𝑧2―2𝑧+i|=（ ）A．5B．5C．3D．33．已知抛物线𝑦2=4𝑥的焦点为F，点𝑃在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|𝑃𝐹|=（ ）A．2B．3C．4D．54．(1+𝑥+𝑥2)(1―𝑥)6的展开式中𝑥2的系数为（ ）A．9B．10C．24D．255．已知的𝑓(𝑥)=sin𝑥+3cos𝑥图象向左平移𝜑个单位长度后，得到函数𝑔(𝑥)的图象，且𝑔(𝑥)的图象关于y轴对称，则|𝜑|的最小值为（ ）A．12πB．6πC．3πD．125π6．已知𝑎>1，𝑏>1，𝑎3𝑏=100，则log𝑎10+3log𝑏10的最小值为（ ）A．4B．6C．8D．127．定义：|𝑎×𝑏|=|𝑎||𝑏|sin𝜃，其中𝜃为向量𝑎与𝑏的夹角．若|𝑎|=2，|𝑏|=5，𝑎⋅𝑏=―6，则|𝑎×𝑏|等于（ ）A．6B．―6C．―8D．88．已知正实数x，y，z满足log2𝑥=log3𝑦=log5𝑧≠0，则（ ）A．𝑥>𝑦>𝑧B．𝑥<𝑦<𝑧C．x，y，z可能构成等比数列D．关于x，y，z的方程𝑥+𝑦=𝑧有且只有一组解9．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡𝑃（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为𝐴，椭圆的右顶点到𝐴点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率𝑒等于（ ）A．32B．43C．54D．9710．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）A．勒洛四面体最大的截面是正三角形B．若𝑃、𝑄是勒洛四面体𝐴𝐵𝐶𝐷表面上的任意两点，则𝑃𝑄的最大值为4C．勒洛四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的体积是86πD．勒洛四面体𝐴𝐵𝐶𝐷内切球的半径是4―6第Ⅱ卷

二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。

11．已知函数𝑦=𝑓(𝑥)满足：当―2≤𝑥≤2时，𝑓(𝑥)=―4𝑥2+1，且𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+4)对任意𝑥∈𝑅都成立，则方程16𝑓(𝑥)=4|𝑥|+1的实根个数是______．12．“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位kw⋅h）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：1气温x用电量y182413341038―1若上表中的数据可用回归方程𝑦=―2𝑥+𝑏(𝑏∈𝑅)来预测，则当气温为―4℃时该小区相应的用电量约为______kw⋅h．13．△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，若3𝑏cos𝐶+3𝑐cos𝐵=5𝑎sin𝐴，且A为锐角，则当𝑏𝑐取得最小值时，2𝑏+𝑐的值为___________．14．已知抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且𝐴𝐹=6，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为________．15．冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么𝑃(𝐴|𝐵 )=___________.𝑎𝑎2三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，盐酸步骤或证明过程。16.（13分）如图，𝐴𝐶为圆𝑂的直径，𝑃𝐴垂直于圆𝑂所在的平面，𝐵为圆周上不与点𝐴,𝐶重合的点，连接𝑃𝐵,𝑃𝐶,𝐴𝐵,𝐵𝐶，作𝐴𝑆⊥𝑃𝐶于点𝑆,𝐴𝑁⊥𝑃𝐵于点𝑁.

(1)求证：∠𝐴𝑆𝑁是二面角𝐴―𝑃𝐶―𝐵的平面角；

(2)若∠𝐴𝐶𝐵=30∘,∠𝑃𝐶𝐴=45∘，求二面角𝐴―𝑃𝐶―𝐵的正弦值.

17.（14分）△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，sin𝐵=3，且______．1(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；(2)若sin𝐴sin𝐶=2，求𝑏．3在①𝑎2―𝑏2+𝑐2=2，②𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=―1这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（13分）某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设𝑥𝑖表示第i天的平均气温，𝑦𝑖表示第i天参与活动的人数，𝑖=1,2,⋯,20，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：20𝑖=1(𝑥𝑖―𝑥)2=80，20𝑖=1(𝑦𝑖―𝑦)2=9000，20𝑖=1(𝑥𝑖―𝑥)(𝑦𝑖―𝑦)=800．(1)根据所给数据，用相关系数𝑟（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合𝑦与𝑥的关系；(2)现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为10，B家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为3,4,6，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白免价值40元，且每人是否套住相互，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？𝑛3111附：相关系数𝑟=𝑖=1𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖―𝑛𝑥𝑦𝑛．(𝑦𝑖―𝑦)2(𝑥𝑖―𝑥)2𝑖=119.（15分）已知离心率为2的椭圆𝐶:𝑎2+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左焦点为𝐹，左、右顶点分别为𝐴1、𝐴2，上顶点为𝐵，且△𝐴1𝐵𝐹的外接圆半径大小为3．(1)求椭圆𝐶方程；(2)设斜率存在的直线𝑙交椭圆𝐶于𝑃,𝑄两点（𝑃,𝑄位于𝑥轴的两侧），记直线𝐴1𝑃、𝐴2𝑃、𝐴2𝑄、𝐴1𝑄的斜率分别为𝑘1、𝑘2、𝑘3、𝑘4，若𝑘1+𝑘4=3(𝑘2+𝑘3)，求△𝐴2𝑃𝑄面积的取值范围．52𝑥2𝑦22x20.（15分）已知函数fxeax2.(1)若fx在点0,f0处的切线方程为y3，求实数a的值；x(2)设gxx3ln，在（1）的条件下，若满足fmgnm0,n3，求证：n3e2m.321.（15分）已知数列{𝑎𝑛}，设𝑚𝑛=𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛(𝑛𝑛∈𝑁∗)，若{𝑎𝑛}满足性质Ω：存在常数𝑐，使得对于任意两两不等的正整数𝑖､𝑗､𝑘，都有(𝑖―𝑗)𝑚𝑘+(𝑗―𝑘)𝑚𝑖+(𝑘―𝑖)𝑚𝑗=𝑐，则称数列{𝑎𝑛}为“梦想数列”.(1)若𝑏𝑛=2𝑛(𝑛∈𝑁∗)，判断数列{𝑏𝑛}是否为“梦想数列”，并说明理由；(2)若𝑐𝑛=2𝑛―1(𝑛∈𝑁∗)，判断数列{𝑐𝑛}是否为“梦想数列”，并说明理由；(3)判断“梦想数列”{𝑎𝑛}是否为等差数列，并说明理由.