知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020年高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
一、选择题
1．已知复数z＝3﹣4i，则复数的模为|z|＝（ ） A．3
B．﹣4
C．﹣i
D．5
2．已知某班级部分同学某次数合诊断测成绩的茎叶图如图所示，则其中位数为（ ）
A．94 B．92 C．91 D．86
3．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝﹣1，则a4等于（ ） A．2
B．0
C．﹣1
D．﹣2
4．一元二次不等式（2x﹣3）（x+1）＞0的解集为（ ） A．{x|﹣1＜x
}
B．{x|x
或x＜﹣1}
C．{x|x＜1} D．{x|x＞1或x}
5．已知平行四边形ABCD中，向量为（ ） A．15
B．﹣27
（3，7），（﹣2，3），则向量的坐标
C．（5，4） D．（1，10）
6．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（ ） A．
B．
C．16π
D．24π
7．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（ ）
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A．5 B．16 C．80 D．﹣80
8．“x＝3”是“x2﹣3x＝0”的（ ） A．充要条件 C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．若m＜0，n＞0且m+n＜0，则下列不等式中成立的是（ ）
m＜﹣n＜n＜﹣m A．﹣n＜m＜n＜﹣m B．﹣n＜m＜﹣m＜n C．m＜﹣n＜﹣m＜n D．10．在△ABC中，BC＝7，AC＝4A．
B．
，AB
，则△ABC的最小角为（ ） C．
D．
二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）
11．设集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B＝ ． 12．已知等比数列{an}的公比q＝﹣3，a4＝27，则首项a1＝ ． 13．若sinα
，则cos2α＝ ．
14．已知过原点的直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D（2，
），则弦长|AB|＝ ．
f15．2]时，已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），当x∈（0，（x）＝2x+log2x，则f（2020）＝ ．
三、解答题（共5个小题，每小题15分，共75分）
16．从7名男学生和5名女学生中随机选出2名去参加社区志愿活动， （1）一共有多少种选法？
（2）求选出的学生恰好男、女各1名的概率． 17．已知函数f（x）
sin2x+cos2x，x∈R．
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（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在x∈[，]的最值．
18．已知函数f（x）＝x﹣lnx．
（1）求函数f（x）在x＝1处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA＝AD．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC； （Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．
20．已知椭圆C：，a＞b＞0的离心率e，长轴长是短轴长的2倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点A（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N．若点B的坐标为（0，1），且BM⊥BN，求直线l的方程．
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参
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，只有一个是正确选项.） 1．已知复数z＝3﹣4i，则复数的模为|z|＝（ ） A．3
B．﹣4
C．﹣i
D．5
【分析】利用复数的模的计算公式即可得出．
解：复数z＝3﹣4i，则复数的模为|z|5．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知某班级部分同学某次数合诊断测成绩的茎叶图如图所示，则其中位数为（ ）
A．94 B．92 C．91 D．86
【分析】由茎叶图把数从小到大排列，易找中位数．
解：由茎叶图可知，17个数据从小到大排列依次为：76，79，81，83，86，86，87，91，92，94，95，96，98，99，101，103，114． 则中位数为92， 故选：B．
【点评】本题考查茎叶图，中位数的概念，属于基础题．
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3．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝﹣1，则a4等于（ ） A．2
B．0
C．﹣1
D．﹣2
【分析】利用通项公式即可得出．
解：a1＝1，公差d＝﹣1，则a4＝1﹣3×1＝﹣2． 故选：D．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．一元二次不等式（2x﹣3）（x+1）＞0的解集为（ ） A．{x|﹣1＜x
}
B．{x|x
或x＜﹣1}
C．{x|x＜1} D．{x|x＞1或x}
【分析】根据不等式对应方程的解，写出不等式的解集．
解：不等式（2x﹣3）（x+1）＞0对应方程的解为和﹣1，
所以不等式的解集为{x|x＜﹣1，x}．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法问题，是基础题．
5．已知平行四边形ABCD中，向量为（ ） A．15
B．﹣27
（3，7），（﹣2，3），则向量的坐标
C．（5，4） D．（1，10） ，然后带入坐标即可．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得出
解：根据向量加法的平行四边形法则， ．
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故选：D．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量坐标的加法运算，考查了计算能力，属于基础题．
6．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（ ） A．
B．
C．16π
D．24π
【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积．
解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2；那么这个球的体积为：
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查球的表面积、体积的计算，考查计算能力，公式的应用，送分题．
7．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（ ） A．5
B．16
C．80
D．﹣80
，即可得出．
【分析】二项式（x﹣2）5展开式中x的项为
解：二项式（x﹣2）5展开式中x的项为80x，
因此系数为80． 故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．“x＝3”是“x2﹣3x＝0”的（ ） A．充要条件 C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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【分析】由x2﹣3x＝0，解得x＝0，3，即可判断出关系． 解：由x2﹣3x＝0，解得x＝0，3，
∴“x＝3”是“x2﹣3x＝0”的充分不必要条件． 故选：C．
【点评】本题考查了方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．若m＜0，n＞0且m+n＜0，则下列不等式中成立的是（ ）
m＜﹣n＜n＜﹣m A．﹣n＜m＜n＜﹣m B．﹣n＜m＜﹣m＜n C．m＜﹣n＜﹣m＜n D．【分析】利用不等式的基本性质即可判断出． 解：∵n＞0，∴﹣n＜0＜n； ∵m+n＜0，∴m＜﹣n，n＜﹣m； ∴m＜﹣n＜n＜﹣m． 故正确答案为D． 故选：D．
【点评】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 10．在△ABC中，BC＝7，AC＝4A．
B．
，AB
，则△ABC的最小角为（ ） C．
D．
【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解． 解：∵a＝7，b＝4
，c
，
∴△ABC中，由三角形中大边对大角可得C为最小角，由余弦定理可得 13＝49+48﹣2×7×4
cosC，解得 cosC
，
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∴C．
故选：B．
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）
11．设集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B＝ {3，5} ． 【分析】由A与B，求出两集合的交集即可． 解：∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}， ∴A∩B＝{3，5}． 故答案为：{3，5}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 12．已知等比数列{an}的公比q＝﹣3，a4＝27，则首项a1＝ ﹣1 ． 【分析】利用等比数列通项公式能求出首项a1． 解：∵等比数列{an}的公比q＝﹣3，a4＝27， ∴
27，
解得首项a1＝﹣1． 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．若sinα，则cos2α＝ ．
【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sinα的值代入即可求出值．
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解：因为sinα，
所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2．
故答案为：．
【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．
14．已知过原点的直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D（2，
），则弦长|AB|＝ 2 ．
【分析】根据题意，由圆的方程分析可得圆心与半径，求出|CD|的值，由勾股定理分析可得答案．
解：根据题意，圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，其标准方程为（x﹣3）2+y2＝4，则圆C的圆心C（3，0），半径r＝2； 线段AB的中点坐标为D（2，
），则|CD|
，
则|AB|＝2故答案为：2．
2；
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题、
f15．2]时，已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），当x∈（0，（x）＝2x+log2x，则f（2020）＝ ﹣5 ．
【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，据此可得f（2020）＝f（0+505×4）＝f（0）＝﹣f（2），结合函数的解析式分析可得答案．
解：根据题意，函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f
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（x），
即函数是周期为4的周期函数，
则f（2020）＝f（0+505×4）＝f（0）＝﹣f（2），
当x∈（0，2]时，f（x）＝2x+log2x，则f（2）＝22+log22＝5， 故有f（2020）＝f（0）＝﹣f（2）＝﹣5； 故答案为：﹣5
【点评】本题考查函数周期性的判断以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 三、解答题（共5个小题，每小题15分，共75分）
16．从7名男学生和5名女学生中随机选出2名去参加社区志愿活动， （1）一共有多少种选法？
（2）求选出的学生恰好男、女各1名的概率． 【分析】（1）直接用组合数公式作．
（2）找出选出的学生恰好男、女各1名的选法，相比即可．
解：（1）从12名学生中随机选出2名同学有C66种方法．
（2）选出的学生恰好男、女各1名有CC35种方法，
则选出的学生恰好男、女各1名的概率P．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题． 17．已知函数f（x）
sin2x+cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在x∈[
，]的最值．
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【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．
解：函数f（x）sin2x+cos2x，＝2sin（2x）．
（1）根据函数的解析式可知，函数的最小正周期为T．
（2）由于x∈[，]，所以，
当2x时，即x时函数的最小值为．
当2x时，即x时，函数的最大值为2×1＝2．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18．已知函数f（x）＝x﹣lnx．
（1）求函数f（x）在x＝1处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值．
【分析】（1）先对f（x）求导数，然后求出切点处的函数值、导数值，利用直线方程的点斜式，写出切线方程；
（2）对函数求导数，求出导数的零点，判断导数零点左右两侧的符号，确定极大（小）值点和极值．
解：（1）f（1）＝0，所以切点为（1，1），
又，∴k＝f′（1）＝0，
所以切线方程为：y﹣1＝0×（x﹣1），即y＝1． （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
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0得x＝1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．
所以函数f（x）在x＝1处取得极小值f（1）＝1﹣ln1＝1，无极大值．
【点评】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数极值的方法步骤．属于中档题． 19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA＝AD．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC； （Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．
【分析】（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD． 【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FGCD．
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AECD．
∴FG＝AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，
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∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE， ∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）∵PA＝AD．∴AF⊥PD PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又因为CD⊥AB，AP∩AB＝A，∴CD⊥面APD ∴CD⊥AF，且PD∩CD＝D，∴AF⊥面PDC 由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC 又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．
【点评】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．
20．已知椭圆C：，a＞b＞0的离心率e，长轴长是短轴长的2倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点A（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N．若点B的坐标为（0，1），且BM⊥BN，求直线l的方程．
【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，解得a＝2，b＝1，则椭圆方程可求； （2）当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不合题意；设直线l：x＝my+1，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合向量数量积为0，列式求得m值，则直线方程
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可求．
解：（1）由题意，，解得a＝2，b＝1．
∴椭圆C的方程为：；
（2）当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不合题意； 设直线l：x＝my+1．
，得（4+m2）y2+2my﹣3＝0．
联立
△＝16m2+48＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
，
．
∵BM⊥BN，∴．
即+2＝0． ∴
整理得：3m2﹣2m﹣5＝0，
．
（m2+1）y1y2+（m﹣1）（y1+y2）
解得：m＝﹣1或m．
则直线l的方程为：x+y﹣1＝0或3x﹣5y﹣3＝0．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
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