高中数学基础知识汇总

1、 集合的有关概念和运算

为成功的人生做准备！

1高中数学基础知识汇总

③偶次根式：被开方式0，例：y25x2；④对数：真数0，例：yloga(1)

第一章 集合与简易逻辑： x4、求值域的一般方法：

①图象观察法：y0.2；②单调函数法： ylog2(3x1),x[,3] ③二次函数配方法：yx4x,x[1,5)， y④“一次”分式反函数法：y2|x|13（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；

（2）元素a和集合A之间的关系：a∈A，或aA；

2、子集定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：AB， 注意：AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

3、真子集定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：AB； 4、补集定义：CUA{x|xU,且xA}；

5、交集与并集 交集：AB{x|xA且xB}；并集：AB{x|xA或xB}

6、集合中元素的个数的计算： 若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 二．简易逻辑：

1．复合命题： 三种形式：p或q、p且q、非p； 判断复合命题真假：

2.真值表：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反。 3.四种命题及其关系：

互原命题 逆命题 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；

若p则q 若q则p 否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p； 否互 互为逆否的两个命题是等价的。

互 为 逆 互 原命题与它的逆否命题是等价命题。 为 逆 否 否 4.充分条件与必要条件： 互 否逆否命若pq，则p叫q的充分条件； 否命题 题 若pq，则p叫q的必要条件； 若p则互若pq，则p叫q的充要条件；

第二章 函数

一． 函数

1、映射：按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f：A→B，若aA,bB，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。 2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；

3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R；②分式：分母0，0次幂：底数0；

x22x2

x；⑥换元法：yx12x 2x15、求函数解析式f（x）的一般方法：

①待定系数法：一次函数f（x），且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f（x） ②配凑法：f(x)x6、函数的单调性：

（1）定义：区间D上任意两个值x1,x2，若x1x2时有f(x1)f(x2)，称f(x)为D上增函数； 若x1x2时有f(x1)f(x2)，称f(x)为D上减函数。（一致为增，不同为减） （2）区间D叫函数f(x)的单调区间，单调区间定义域； （3）复合函数yf[h(x)]的单调性：即同增异减；

7.奇偶性：

定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。

f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

8.周期性：

定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 9．函数图像变换：

（1）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法则：加左减右，加上减下 （3）注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量a（ｍ，ｎ）平移的意义。 10.函数yf(x)的图象和它的反函数yf； yx的对称点为（b，a）二、指对运算：

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11x21；③换元法：f(x1)x2x，求f（x） ,求f（x）2x(x)的图象关于直线yx对称；点（a，b）关于直线

为成功的人生做准备！ 图 定 点 a(a0)loga10,过定点（1，0） a01,过定点（0，1） nnnn1. 指数及其运算性质：当n为奇数时，aa；当n为偶数时，a|a| a(a0)象 图象 xx0,图象在y轴右边 a0,图象在x轴上方 mm特征 1mn2.分数指数幂：正分数指数幂：ana；负分数指数幂：anm 图象 yax的图象与ylogax的图象关于直线yx对称 na关系 3.对数及其运算性质： 第三章 数列 （1）定义：如果aN(a0,a1)，以10为底叫常用对数，记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对数，记为lnN （2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：loga10，③底的对数等于1：logaa1，④积的对数：loga(MN)logaMlogaN， 商的对数：logaban一．数列：（1）前n项和：Sna1a2a3an； （2）前n项和与通项的关系：

a1S1(n1)

SS(n2)n1n二．等差数列 ：

1.定义：an1and。2.通项公式：ana1(n1)d （关于n的一次函数）， 3.前n项和：（1）．Sn4.等差中项： An(a1an)n(n1)2

d（即Sn = An+Bn） （2）. Snna122MlogaMlogaN， N1n幂的对数：logaMnlogaM， 方根的对数：loganMlogaM，

n指数函数 对数函数 ab或2Aab 2三．指数函数和对数函数的图象性质 函数 定义 图象 5.等差数列的主要性质：

（1）等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

a2an1a3an2，如图所示：1a2an1*（2）若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN，则Sk，S2kSk，S3kS2k成等差

yax （a0且a1） a>1 y 01 y y=logax 0数列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k 性 质 x 定义域 （-∞，+∞） （-∞，+∞） 值域 （0，+∞） （0，+∞） （0，+∞） （-∞，+∞） 在（0，+∞） 上是增函数 在（0，+∞） 上是减函数 三．等比数列：

an11.定义：n1q(q0)；2.通项公式：ana1q（其中：首项是a1，公比是q）

an单调性 在（-∞，+∞） 在（-∞，+∞） 上是增函数 上是减函数 函数值变化 na1,(q1)n3.前n项和]：Sna1anqa1(1q)（推导方法：乘公比，错位相减）

,(q1)1q1qaanqa1(1qn)(q1)； ○说明：①Sn2Sn13当q1时为常数列，Snna1。 (q1)； ○

1q1q1,x0ax1,x0 1,x01,x0ax1,x0 1,x00,x1logax0,x1 loga0,0x10,x1x0,x1 0,0x14.等比中项：

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Gb2，即GaGab（或Gab，等比中项有两个）

5.等比数列的主要性质：

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（1）等比数列an，若nmuv，则anamauav 33sin()cossin()cossin()cossin()cosa1an2222 cos()sin cos(3)sin cos(3)sin a,a,a,,a,a,acos()sin123n2n1n也就是：a1ana2an1a3an2。如图所示： 2222a2an133tan()cottan()cottan()cot*tan()cot（2）若数列an是等比数列，Sn是前n项的和，kN，则Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。 2222S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

如下图所示：SkS2kSkS3kS2k6、两角和与差的正弦、余弦、正切

S()：sin()sincoscossin S()：sin()sincoscossin

四．求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法

n

1.公式法：等差等比数列 ；2.分部求和法：如an=2n+3 3.裂项相消法：如an=

C()：cos(a)coscossinsin C()：cos(a)coscossinsin

1n

；4.错位相减法：“差比之积”的数列：如an=(2n-1)2

n(n1)第四章 三角函数

T()： tan()tantantantan T()： tan()

1tantan1tantan1、角：与终边相同的角的集合为{|k360,kZ}

2、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 （2）度数与弧度数的换算：180弧度，1弧度(7、辅助角公式：asinxbcosxa2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x)

（其中称为辅助角，的终边过点(a,b)，tan180)

b）

a112（3）弧长公式：l||r （是角的弧度数） 扇形面积：Slr||r

223、三角函数 定义：（如图）

yyrsin　　　tan　　　sec　　 rxxxxrcos　　　cot　　　cscryy8、二倍角公式：（1）、S2： sin22sincos （2）、降次公式：

4、同角三角函数基本关系式

rx2y20 y P（x，y） r 0  x 1sin2 21cos211222 12sin2cos1 sincos2

2222tan1cos2112T2： tan2 coscos222221tanC2： cos2cos2sin2 sincos9、三角函数的图象性质

（1）函数的周期性： ①定义：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，当x取定义域内的每一个值时，都有：f（x+T）= f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；

②如果函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最小正周期。 （2）函数的奇偶性：

①定义：对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有：f（-x）= - f（x），则称f（x）是奇函数，f（-x）= f（x），则称f（x）是偶函数

②奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系： sin2cos21 tansin tancot1 cos5、诱导公式（理解记忆方法：奇变偶不变，符号看象限）

公式一： sin(k360)sin　　cos(k360)cos　　tan(k360)tan 公式二： 公式三： 公式四： 公式五：

sin(180)sinsin()sinsin(360)sin　　cos(180)cos cos(180)cos cos()cos cos(360)cos　　

tan()tantan(180)tantan(180)tantan(360)tansin(180)sin- 3 -

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（3）正弦、余弦、正切函数的性质（kZ） (4)、函数yAsin(x)(A0,0)的相关概念： 函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间 函数 定义域 值域 振幅 周期 频率 [-1，1] xR T2奇函数 2k,2k2k,32k ysinx222221 xR [-A，A] A yAsin(x) Tf T2初相 x  相位 图象 五点法 ycosx xR {x|xk}2 [-1，1] T2偶函数 (2k1),2k 2k,(2k1) 22yAsin(x)的图象与ysinx的关系： ①振幅变换：ysinx 当0A1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍 yAsinx 当当A1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍 ytanx （-∞,+∞） T 奇函数 k,k 1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的3，1），（，0），（，-1），（2，0）；

223（0，1），（，0），（，-1），（，0），（2，1）； ycosx图象的五个关键点：

22（0，0），（ysinx图象的五个关键点：

y ②周期变换：ysinx ysinx 1当01倍 倍

图象上各点的纵坐标伸长到原来的1时，

当0时，图象上的各点向左平移个单位倍

③相位变换：ysinx ysin(x) 当0时，图象上的各点向右平移||个单位倍

第五章 平面向量

1．向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2．向量的运算：（1）、向量的加减法：

向量的减法 向量的加法

三角形法则 平行四边形法则 a

bb ab

ab

ababb a bab

aa 首位连结 指向被减向量 （2）实数与向量的积：①定义：实数与向量a的积是一个向量，记作：a； ②它的长度：|a||||a|；

  21 0 -1 y ysinx2  32 2 x   21 0 -1 ycosx 2  32 2 x y  3 2 2 o  23 2x ③：它的方向：当0，a与a的方向相同；当0，a与a的方向相反；当0时，a=0； 3．平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量a，

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ytanx 为成功的人生做准备！

有且只有一对实数1,2，使a1e12e2； 4．平面向量的坐标运算：

（１）坐标运算：设ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则ABx2x1,y2y1. （2）实数与向量的积的运算律: 设ax,y，则λax,yx,y， （3）平面向量的数量积：

babcosa0,b①定义：a0,001800 ， 0a0. ①平面向量的数量积的几何意义：向量a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积； ③、坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2 ；

向量a的模|a|：|a|2aax2y2；模|a|x2y2

④、设是向量axx1x2y1y21,y1,bx2,y2的夹角，则cos2。

x221y1x22y25、重要结论：

（1）两个向量平行的充要条件：

设ax1,y1,bx2,y2，则a//bab x1y2x2y10 (R) （2）两个非零向量垂直的充要条件：

设 ax1,y1,bx2,y2，则 abab0x1x2y1y20 （3）两点Ax1,y1,Bx2,y2的距离：|AB|(x1x2)2(y1y2)2

'（5）平移公式：如果点 P（x，y）按向量ah,k 平移至P′（x′，y′），则xxh,y'yk.

6、解三角形：

（1）三角形的面积公式：S12absinC12acsinB12bcsinA （2）正，余弦定理

①正弦定理：

asinAbsinBcsinC2R,或a2RsinA,　b2RsinB，　c2Rsin a2b2c22bccosA②余弦定理：b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC(ab)22ab(1cocC)求角： cosAb2c2a2a2c22bc　　　　cosBb22ac　　　　cosCa2b2c22ab

第六章不等式

一、不等式的基本性质：

1．特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 2．中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二．均值不等式：

1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若a,b0，则ab2ab（当且仅当ab时取等号）

2.基本变形：①ab ；②若a,bR，则a2b22ab 3.基本应用：求函数最值：

注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数y4x9124x(x2)的最小值 。

②若正数x,y满足x2y1，则

1x1y的最小值 。 三、绝对值不等式：|a||b||ab||a||b|，注意：上述等号“＝”成立的条件； 五、不等式的解法：

1.一元二次不等式的图解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）

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判别式：△=b-4ac 二次函数 2为成功的人生做准备！

0 0 0 yy1xx1xy(3)两点式： (4)截距式：1 y y y2y1x2x1aby O (5)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)．

3．两条直线的位置关系

(1)平行：当直线l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1≠b2； (2)重合：当l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2； (3)相交：当l1，l2是斜截式方程时，k1≠k2

（4）垂直：设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2k1k21

一般式方程时，l1l2A1A2B1B20（优点：对斜率是否存在不讨论）

R f(x)ax2bxc(a0) 的图象 一元二次方程 有两相异实数根 x1 x2 x O x1=x2 x O 没有实数根 x 有两相等实数根 ax2bxc0(a0)的根 一元二次不等式 x1,x2(x1x2) x1x2{x|xx1,xx2} “＞”取两边 axbxc0(a0)的解集 一元二次不等式 2b 2ab{x|x} 2aA1xB1yC10（5）交点：求两直线交点，即解方程组

AxByC0222{x|x1xx2} “＜”取中间   4．点到直线的距离：设点P(x0,y0)，直线l:AxByC0,P到l的距离为daxbxc0(a0)的解集 2Ax0By0CAB22.

3.绝对值不等式的解法：（“＞”取两边，“＜”取中间）

（1）当a0时，|x|a的解集是{x|xa,xa}，|x|a的解集是{x|axa}

5.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它们之间的距离为d，则有dC1C2AB22.

（2）当c0时，|axb|caxbc,axbc， |axb|ccaxbc 4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

⑴

6. 关于点对称和关于某直线对称：利用直线垂直，平行等解决

7．简单的线性规划----线性规划的三种类型：

1．截距型：形如z=ax+by, 把z看作是y轴上的截距，目标函数的最值就转化为y轴上的截距的最值。 2．斜率型：形如zf(x)f(x)0 ；0 ； （2）g(x)g(x)第七章 直线和圆的方程

5.高次不等式组的解法：数轴标根法。 一、直线

1．直线的倾斜角和斜率

(1)直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)直线的斜率，即ktan(900) (3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为k2．直线的方程

(1)点斜式 ：y－y0=k(x－x0) (2)斜截式：y=kx＋b

ya时,把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线的斜率，目标函数的最值xb22就转化为PQ连线斜率的最值。

3．距离型：形如z(xa)(yb)时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(a,b)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。

二、曲线和方程：求曲线方程的步骤：①建系，设点；②列式；③代入④化简；⑤证明． 三、圆 1．．圆的方程:

222

(1)标准方程(x－a)＋(y－b)=r．(a，b)为圆心，r为半径． (2) 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 （DE4F＞0.） （3）圆的参数方程：- 6 -

22y2y1(x2x10)

x2x1xarcos（为参数）.

ybrsin为成功的人生做准备！

第八章 圆锥曲线

2．点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

一．椭圆的定义标准方程及其几何性质 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨 222（x0a)2(y0b)2r2 ①M在圆C内d(x0a)(y0b)＜r；②M在圆C上d定义 迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距．若M为椭圆上任意一点，则有|MF1||MF2|2a． 222③M在圆C外d(x0a)(y0b)＞r

22方程 yxx2y21(ab0) 1(ab0) 3．直线和圆的位置关系： a2b2a2b2 设圆圆C：(xa)(yb)r(r＞0)； 直线l：AxByC0(A2B20)； 圆心C(a,b)到直线l的距离dAaBbCAB22222.

图像 a,b,c关系 焦点 范围 对称性 顶点 长短轴 离心率 准线

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①几何法：dr时，l与C相切；d＜r时，l与C相交；d＞r时，l与C相离.

(xa)2(yb)2r2② 代数法：方程组用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为，

AxBxC0c2a2b2 则：0l与C相切；＞0l与C相交；＜0l与C相离.

注意：几何法优于代数法

4．求圆的切线方法

①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条。利用相切条件求k值即可。

②若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为y－y0=k(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

5．圆与圆的位置关系：已知两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则

(c,0) |x|a,|y|b (0,c) |x|b,|y|a 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心. (1)两圆外切|O1O2|=r1＋r2；(2)两圆内切|O1O2|=|r1－r2|；(3)两圆相交|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2．

(a,0),(0,b) A1A22a,B1B22b (b,0),(0,a) ea2x cc(0三.抛物线定义标准方程及其简单几何性质 二．双曲线的定义标准方程及其几何性质 定义 第一定义 平面内与一定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨定义 线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线． x22py y22px x22py 迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距． 标准方y22px 第二定义 a2c平面内与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x的距离比是常数ca（ac0）的轨迹叫双曲线．定点F是双曲线的一个焦点，定直线l是双曲线的一条准线，常数e双曲线的离心率 程 图形 ▲y▲y▲y▲yxOxOxOxO方程 图像 yB2aA1OB1x2y221(a0,b0) 2aby2x221(a0,b0) 2abbA2 x y 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 F(p,0) 2p 2x轴 F(xp,0) 2p 2F(0,yp) 2p 2 F(0,yp) 2 B1aA2bB2xOA1xp 2x0,yR x0,yR xR,y0 xR,y0 y轴 a,b,c关系 焦点 范围 对成性 顶点 实轴 虚轴 离心率 准线 cab (c,0) |x|a (0,c) ||y|a 222 （0，0） e1 三．直线和圆锥曲线的位置关系 1. 直线和椭圆的位置关系的判断方法

（1）代数法：直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系可分为：相交、相切、相离．

设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C：f(x,y)=0 ; 由坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心. AxByC0 消去y（或x）得：

F(x,y)0(a,0) 实轴：A1A22a,虚轴：B1B22b (0,a) ax2+bx+c=0 (a≠0) ;令Δ=b2-4ac, 则Δ>0⇔相交；Δ=0⇔相切；Δ<0⇔相离.

(2)几何法：求大致位置和满足条件的直线时可用，精确计算时不可用。 2.弦长的计算：弦长公式AB1k|x1x2|1k1.平面的基本性质：三个公理及推论。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面； 3.直线与平面 位置关系 直线和平（1）直线在平面内——有无数个公共点 。（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点（3）直线和平面平行——没有公共点 判 定 定 理 性 质 定 理 22(x1x2)24x1x2.

ea2x cyc(e>1) aa2y c第九章 立体几何

渐近线

xybbx（220yx） aaba22ayx b- 8 -

面平行 a为成功的人生做准备！ 若二平面垂直，那么在一个平面内垂直面垂如果一个平面经过另一个平面的一条垂（1）于它们的交线的直线垂直于另一个平面 βa直 线，那么这两个平面互相垂直 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平bb 面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 5. 常用证明方法：

(1)判断线线平行的常用方法：

aα直线与平面垂直 判 定 定 理 α性 质 定 理 bl①a∥b,b∥c, ③a⊥α,b⊥α

a∥c;②a∥α,a β,α∩β＝b a∥b

a∥b

a∥b;④α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b

0α直线与平面所成的角 三垂线定理 三垂线逆定理 空间两个平面 两个平面平行 nmα (2)判定线线垂直的常用方法. ①a⊥α，b

α

a⊥b； ②b∥c,a⊥c

a⊥b

（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 0（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是0的角 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 ③a⊥α，b∥α a⊥b； ④三垂线定理及逆定理

(3)判定线面平行的常用方法：

①定义 ②a

α,b

α且a∥b

a∥α.③α∥β,a

β

a∥β;

(4)判定线面垂直的常用方法

①c⊥a,c⊥b且a ③α∥β且a⊥α

α,b

α,a，b无公共点

c⊥α；②a∥b且a⊥α

b⊥α

4.平面与平面位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况） 判 定 性 质 a⊥β

(5)判定面面平行的常用方法：

①a、b

β,a∩b＝A，若a∥α,b∥α

α∥β α∥γ

α∥β

（1）如果一个平面内有两条相交直线平（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线行于另一个平面，那么这两个平面平行 必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相（2）垂直于同一直线的两个平面平行 交，那么它们的交线平行 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 ②a⊥α,α⊥β ③α∥β，β∥r

(6)判定面面垂直的常用方法.

①a⊥α,a

β

α⊥β ②α∥β，b⊥r α⊥β

β⊥r

相交的两平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。 ③a⊥β,a∥α

两平判 定 性 质 6．棱柱

（1）棱柱的定义、分类，直棱柱、正棱柱的性质；（2）长方体的性质。

（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以

及它们的特有性质。 （4）S侧＝各侧面的面积和；（5）V=Sh。

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为成功的人生做准备！

7．棱锥

１．棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）

4、不相邻问题插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（有时候两端的空隙的插法是不符合题意的） 5、正难则反排除法（或淘汰法）：对于含有否定词语“至多”，“至少”类的问题，从正面解决不容易，可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去，应注意既不能多减也不能少减。 6、元素重复问题住店法（或映射法）：解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。 四．二项式定理：

n0x1n－112n－223n－33rn－rr n－1n－1nn

1.(a+b)=Cna+Cnab+ Cnab+ Cnab+…+ Cnab+…+ Cnab+ Cnb

n122rrnn

特别地：(1+x)=1+Cnx+Cnx+…+Cnx+…+Cnx

rn－rr

2.通项为第r+1项： Tr+1= Cnab 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

mn－m

3.主要性质和主要结论：对称性Cn=Cn 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）

０1234rnn

所有二项式系数的和：Cn+Cn+Cn+ Cn+ Cn+…+Cn+…+Cn=2奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和

０２４６８１３５７９n -1 Cn+Cn+Cn+ Cn+ Cn+…＝Cn+Cn+Cn+ Cn+ Cn+…=2

五．概率１．必然事件： P(A)=1；不可能事件： P(A)=0；随机事件的定义： 02.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是

1m，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A). nn1２．相关计算：S侧＝各侧面的面积和 ，V=Sh

3423

8．球的相关概念：（1）S球=4πR V球＝πR （2）球面距离的概念

39.计算问题：计算步骤：一作、二证、三算

（1）异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②向量法. （2）直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影. （3）二面角方法：①定义法；②射影面积法：S′=Scosθ三垂线法；③向量法.

其中二面角的平面角的作法

①定义法：由二面角平面角的定义做出平面角；

②三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 （4）两点之间的距离.(5)点到直线的距离.

(6)点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2) 等体积法. (3) 向量法 (7)两条平行线间的距离.

(8)两异面直线间的距离(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量法 (9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离. (11)球面距离

第十章 排列组合与二项式定理概率

一．排列组合 1.计数原理

①分类原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ②分步原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) 2.排列（有序）与组合（无序） An=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=

mm

n!n

An =n!

(nm)!3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)； 推广：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

4.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发．．．．．．．．．．．．．．．生）（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。P（A）+ P(B)＝１ 5.相互事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互事件. 如果两个相互事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B).

推广：若事件A1,A2,,An相互，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

6.重复事件：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次重复试验中这个事件

knk恰好发生k次的概率：Pn(k)Ck。特殊：令k=0 得：在n次重复试验中，事件A没有nP(1P)．．

Cn =

n(n1)(n2)(nm1)n!mn－mmm＋1m+1

Cn= Cn Cn＋Cn= Cn+1 k•k!=(k+1)!－k! m!(nm)!m!三.排列、组合问题几大解法：总原则：先选后排，先分再排

1、多排问题直排法：把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理．

2、特殊元素优先法：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

3、相邻问题捆绑法：对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

发生的概率为．．．．．．Pn=Cnp(1－p) =(1－p)令k=n得：在n次重复试验中，事件A全部发生的概率．．．．．．．

(n)nn0n

为P=Cnnp(1－p) =p ．

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(０)00nn