高中数学高考总复习充分必要条件习题及详解

一、选择题

1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案] D

[解析] a2>b2不能推出a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b不能推出a2>b2，例：1>－2，但12<(－2)2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件．

(理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案] B

[解析] 由|x－1|<2得－2由x(x－3)<0得0因此“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件．

2．(2010·福建文)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

[答案] A

[解析] 当x＝4时，|a|＝42＋32＝5

当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.

所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．

3．(文)已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

高考总复习

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 点Pn(n，an)在直线y＝3x＋2上，即有an＝3n＋2，则能推出{an}是等差数列；但反过来，{an}是等差数列，an＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.

(理)(2010·南充市)等比数列{an}中，“a1A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分与不必要条件

[答案] C

[解析] 在等比数列中，q≠0，

∴q4>0，∴a14．(09·陕西)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )

含详解答案

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案] C

[解析] 由m>n>0可以得方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．故选C.

5．(文)设集合A＝{x|

<0}，B＝{x|0xA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] ∵A＝{x|0(理)(2010·杭州学军中学)已知m，n∈R，则“m≠0或n≠0”是“mn≠0”的( )

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

高考总复习

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] ∵mn≠0⇔m≠0且n≠0，故选A.

π

6．(文)(2010·北京东城区)“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的( )

4

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] A

ππ

[解析] x＝时，y＝sin2x取最大值，但y＝sin2x取最大值时，2x＝2kπ＋，k∈Z，

42π

不一定有x＝. 4

含详解答案

π2π

(理)“θ＝”是“tanθ＝2cos＋θ”的( )

32

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] A

π2π

[解析] 解法1：∵θ＝为方程tanθ＝2cos＋θ的解，

32

π2π

∴θ＝是tanθ＝2cos＋θ成立的充分条件；

32

π8π

又∵θ＝也是方程tanθ＝2cos＋θ的解，

32

π2π

∴θ＝不是tanθ＝2cos＋θ的必要条件，故选A.

32

高考总复习

π

解法2：∵tanθ＝2cos＋θ，

2

1

∴sinθ＝0或cosθ＝－，

2

π

∴方程tanθ＝2cos＋θ的解集为

2

2

A＝θθ＝kπ或θ＝2kπ±π，k∈Z

3

2π

显然

3



， 

A，故选A.

1

7．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互

2垂直”的( )

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

[答案] B

含详解答案

1

[解析] 两直线垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0即m＝或m＝－

21

2，∴m＝是两直线相互垂直的充分而不必要条件．

2

8．(2010·浙江宁波统考)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )

A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2

C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n

[答案] B

[解析] 当m⊥l1，m⊥l2时，∵l1与l2是β内两条相交直线，∴m⊥β，∵m⊂α，∴α⊥β，但α⊥β时，未必有m⊥l1，m⊥l2.

19．(2010·黑龙江哈三中)命题甲：x,21－x,2x2成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，

2

lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

高考总复习

D．既不充分也不必要条件

[答案] B

1[解析] 由条件知甲：(21－x)2＝x·2x2，

2

∴2(1－x)＝－x＋x2，解得x＝1或－2；

命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)，

x＋1>0∴x>0x＋3>0

x＋12＝xx＋3

，∴x＝1，

∴甲是乙的必要不充分条件．

10．(2010·辽宁文，4)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )

A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)

B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)

含详解答案

C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)

D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)

[答案] C

[解析] ∵f ′(x)＝2ax＋b，

又2ax0＋b＝0，∴有f ′(x0)＝0

故f(x)在点x0处切线斜率为0

∵a＞0 f(x)＝ax2＋bx＋c

∴f(x0)为f(x)的图象顶点的函数值

∴f(x)≥f(x0)恒成立

故C选项为假命题，选C.

[点评] 可以用作差法比较．

二、填空题

11．给出以下四个命题：

高考总复习

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题．

②命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆命题．

③设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．

④命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题，

其中真命题的序号是________．

[答案] ②③④

[解析] ①∵p∨q为真，∴p真或q真，故p∧q不一定为真命题，故①假．

②逆命题：若A∪B＝B，则A∩B＝A，∵A∪B＝B，A⊆B，∴A∩B＝A，故②真．

1

③由条件得，＝＝3，当B＝60°时，有sinA＝，注意b>a，故A＝30°；但

asinA23

当A＝30°时，有sinB＝，B＝60°，或B＝120°.故③真；

2

bsinB④否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数，这是一个真命题，假若f(－x)为奇函数，则f[－(－x)]＝－f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，与条件矛盾．

12．(文)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、

含详解答案

ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列命题：

ba①数域必含有0,1两个数；

②整数集是数域；

③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；

④数域必为无限集；

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)

[答案] ①④

[解析] 结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．

(理)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、

ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：

①整数集是数域；

②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；

高考总复习

③数域必为无限集；

④存在无穷多个数域．

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)

[答案] ③④

[解析] ①整数a＝2，b＝4，不是整数；

ab②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋b∉M；

③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而

a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．

④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、

b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．

113．(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p：不等式x＋4>m>2x－x2对一

3

切实数x恒成立；q：f(x)＝－(7－2m)x是R上的减函数，如果p且q为真命题，则实数

m的取值范围是________．

[答案] (1,3)

含详解答案

1[解析] ∵x＝4>4,2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，

3

1∴要使x＋4>m>2x－x2对一切x∈R都成立，应有1在R上是单调减函数得，7－2m>1，∴m<3，∵p且q为真命题，∴p真且q真，∴114．(2010·福建理)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)满足：(1)对任意x∈(0，＋∞)，恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x.给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f(2m)＝0；

②函数f(x)的值域为[0，＋∞)；

③存在n∈Z，使得f(2n＋1)＝9；

④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得(a，b)⊆(2k,2k＋1)．

其中所有正确结论的序号是________．

[答案] ①②④

[解析] 对于①，f(2)＝0，又f(2)＝2f(1)＝0，

∴f(1)＝0，同理f(4)＝2f(2)＝0，f(8)＝0……

高考总复习

f(1)＝2f(1

2

)＝0，

∴f(12)＝0，f(1

4

)＝0…… 归纳可得，正确．

对于②④当1∴当2同理，当4∴当2m－1∵2n<2n＋1≤2n＋1∴f(x)＝2n＋1－x，

∴f(2n＋1)＝2n＋1－2n－1＝9，

∴2n＝10，∴n∉Z，故错误．

三、解答题

含详解答案

15．已知c>0.设命题P：函数y＝logcx为减函数．

111

命题Q：当x∈，2时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果P或Q为真命题，P且Qxc2

为假命题，求c的取值范围．

[解析] 由y＝logcx为减函数得011

当x∈，2时，因为f ′(x)＝1－2，

x2

1



故函数f(x)在，1上为减函数，在(1,2]上为增函数．

2

11

∴f(x)＝x＋在x∈，2上的最小值为f(1)＝2

x2

11111

当x∈，2时，由函数f(x)＝x＋>恒成立．得2>，解得c> xcc22

1

如果P真，且Q假，则0如果P假，且Q真，则c≥1

1

所以c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．

2

高考总复习

16．给出下列命题：

(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.

(2)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．

(3)已知四边形M，p：M是矩形；q：M的对角线相等．试分别指出p是q的什么条件．

[解析] (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；

而(x－2)(x－3)＝0⇒/ x－2＝0.

∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；

方程x2－x－m＝0无实根⇒/ m<－2.

∴p是q的充分不必要条件．

(3)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；

而对角线相等的四边形不一定是矩形．

含详解答案

∴q⇒/ p.

∴p是q的充分不必要条件．

17．(文)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且q≠1)，求数列{an}成等比数列的充要条件．

[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1，

由于p≠0，q≠1，

∴当n≥2时，{an}为公比为p的等比数列．

要使{an}是等比数列(当n∈N*时)，则

a2a1

＝p.

又a2＝(p－1)p，

p－1p∴＝p，∴p2－p＝p2＋pq，∴q＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0，p＋q且p≠1，且q＝－1.

再证充分性：

高考总复习

当p≠0，且p≠1，且q＝－1时，Sn＝pn－1.

当n＝1时，S1＝a1＝p－1≠0；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1.

显然当n＝1时也满足上式，∴an＝(p－1)pn－1，n∈N*，

∴

anan－1

＝p(n≥2)，∴{an}是等比数列．

综上可知，数列{an}成等比数列的充要条件是p≠0，p≠1，且q＝－1.

1

(理)(2010·哈三中模拟)已知函数f(x)＝(x－1)2＋lnx－ax＋a.

2

(1)若x＝2为函数极值点，求a的值；

(2)若x∈(1,3)时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．

13

[解析] (1)f ′(x)＝(x－1)＋－a，由f ′(2)＝0得，a＝；

x2

1



(2)当a≤1时，∵x∈(1,3)，∴f ′(x)＝x＋－(1＋a)≥2－2＝0成立，所以函数y＝f(x)

x

在(1,3)上为增函数，

含详解答案

对任意的x∈(1,3)，f(x)>f(1)＝0，所以a≤1时命题成立；

1a＋1±a＋12－4

当a>1时，令f ′(x)＝(x－1)＋－a＝0得，x＝，则函数在

x2

a＋1－a＋12－4

(0，)上为增函数，

2

a＋1－a＋12－4a＋1＋a＋12－4在(，)上为减函数，

22

a＋1＋a＋12－4

在(，＋∞)上为增函数，

2

7a＋1＋a＋12－4当a≤时，1≤≤3，

32

a＋1＋a＋12－4则f(1)>f()，不合题意，舍去．

2

7

当a>时，函数在(1,3)上是减函数，f(x)3

综上，a≤1.