高三一轮复习——空间向量与立体几何(含解析)

E在CC11. 如图，正四棱柱ABCDA1BC11D1中，AA12AB4，点

D1 A1

C1 B1 上且C1E3EC．

（Ⅰ）证明：AC平面BED； 1（Ⅱ）求二面角A1DEB的大小．

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系Dxyz．依题设，B(2，2，，0)C(0，2，，0)E(0，21)，，A1(2，0，4)．

D A B E C

DE(0，21)，，DB(2，2，0)，

z D1 A1 AC(2，2，4)，DA1(2，0，4)． 1（Ⅰ）证明 因为ACDB0，ACDE0， 11故ACBD，ACDE． 11又DBDED， 所以AC平面DBE． 1（Ⅱ）解 设向量n(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则

x C1 B1 E D A B C y nDE，nDA1．

故2yz0，2x4z0．

1，2)． 令y1，则z2，x4，n(4，n，AC等于二面角A1DEB的平面角， 1cosn,A1CnA1CnA1C14． 4214． 42所以二面角A1DEB的大小为arccos

2.如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,BCCD2,AC4,ACBACD点,AFPB.

(1)求PA的长; (2)求二面角BAFD的正弦值.

3,F为PC的中

【答案】

3.已知点H在正方体ABCDABCD的对角线B'D上，∠HDA=60． （Ⅰ）求DH与CC所成角的大小；

（Ⅱ）求DH与平面AADD所成角的大小．

解：以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz．

01)(m0) 设H(m，m，z 则DA(1，0，0)，CC(0，01，)．连结BD，BD． DA60， 设DH(m，m，1)(m0)，由已知DH，，DH 由DADHDADHcosDA可得2m2m21．解得mx A D A H C B C B y 2， 2所以DH22001122222，，1CC．（Ⅰ）因为cosDH，，

22212所以DH，CC45．即DH与CC所成的角为45．

（Ⅱ）平面AADD的一个法向量是DC(01，，0)．

220110122DC， 所以DH，因为cosDH，DC60．

212可得DH与平面AADD所成的角为30．



4.如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD22.M是

AD的中点,P 是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ3QC.

0(1)证明:PQ//平面BCD;(2)若二面角CBMD的大小为60,求BDC的大

小.

A

M

P B

C

Q D

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD的中点F,且M是AD中点,所以

AF3FD.因为P是BM中点,所以PF//BD;又因为(Ⅰ)AQ3QC且AF3FD,所以QF//BD,所以面PQF//面BDC,且PQ面BDC,所以

PQ//面BDC;

1MD;取CD的三等211分点H,使DH3CH,且AQ3QC,所以QH//AD//MD,所以

42方法二:如图7所示,取BD中点O,且P是BM中点,所以PO//PO//QHOHBCD,所以PQ//面BDC; 且HPQ//,O(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB面BDC,过C作CGBD于G,所以

CGBMD,过G作GHBM于H,连接CH,所以CHG就是CBMD的二面角;由已知得到BM813,设BDC,所以

CDCGCBcos,sinCD22cos,CG22cossin,BC22sin,BDCDBD,

在RTBCG中,BCGsinBGBG22sin2,所以在RTBHGBC122sin2中, ,所以在RTCHG中 HG2322sin3HGtanCHGtan603CG22cossin 2HG22sin3tan3(0,90)60BDC60;

5. 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长 为1的菱形，ABC4, OA底面ABCD, OA2,M为

OOA的中点，N为BC的中点

（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 x,y,z轴建立坐标系

ABMDNC22222A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,,0),D(,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1,,0),

2224422222(1)证明 MN(1,,1)O,P(0,,O2D),(, 44222,2)设平面OCD的法向量为n(x,y,z),则nOP0,nOD0

2y2z02即 

2x2y2z022取zzOM2,解得n(0,4,2)

AxBNCPDy22∵MNn(1,,1)(0,4,2)0

44MN‖平面OCD

22ABMD,,1) (2)解 设与所成的角为,∵AB(1,0,0),MD(22ABMD1 ∴cos, , AB与MD所成角的大小为. ∴33ABMD2(3)解 设点B到平面OCD的距离为d，

则d为OB在向量n(0,4,2)上的投影的绝对值,

OBn2.所以点B到平面OCD的 由 OB(1,0,2), 得dn3距离为

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