函数——历年高考题

函 数

●考点阐释

函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位.其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力.知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地.

重点掌握：

（1）深刻理解函数的有关概念.掌握对应法则、图象等有关性质.

（2）理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步骤，并会运用.

（3）理解掌握反函数的概念，明确反函数的意义、一些常见符号的意义、求反函数的方法和步骤；反函数与原函数的关系等.

（4）理解掌握指数函数和对数函数的性质、图象及运算性质. ●试题类编 一、选择题

1.（2003北京春，文3，理2）若f（x）=

x1，则方程f（4x）=x的根是（ ） x C.－

A.－2 B.2

11 D. 22x1}，则M∩P等于（ ）

D.{y|y≥0}

2.（2003北京春，文4）若集合M={y|y=2x}，P={y|y=A.{y|y>1}

B.{y|y≥1}

－

C.{y|y>0}

3.（2003北京春，理1）若集合M={y|y=2x}，P={y|y=

x1}，则M∩P等于（ ）

A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0}

4.（2003北京春，文8）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2－x）的递增区间依次是（ ） A.（－∞，0]，（－∞，1] C.［0，+∞)，（－∞，1]

B.（－∞，0]，［1，+∞) D.［0，+∞），［1，+∞）

5.（2003北京春，理4）函数f（x）=1的最大值是（ ） 1x(1x) C.A.4 5 B.5 4 3 4 D.4 36.（2002上海春，5）设a＞0，a≠1，函数y=logax的反函数和y=loga

象关于（ ）

1的反函数的图x43

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A.x轴对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.原点对称

7.（2002全国文4，理13）函数y=ax在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a等于（ ）

A.

1 2 B.2 C.4 D.

1 48.（2002全国文，9）已知0＜x＜y＜a＜1，则有（ ） A.loga（xy）＜0 B.0＜loga（xy）＜1 C.1＜loga（xy）＜2 D.loga（xy）＞2 9.（2002全国文10，理9）函数y=x2+bx+c（x∈［0，+∞））是单调函数的充要条件是（ ）

A.b≥0 B.b≤0 C.b＞0 D.b＜0

10.（2002全国理，10）函数y=1－1的图象是（ ） x1

11.（2002北京文，12）如图所示，f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）是定义在［0，1］

x1x21上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x1和x2，f（）≤［f（x1）

22+f（x2）］恒成立”的只有（ ）

12.（2002北京理，12）如图所示，fi（x）（i=1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x1和x2，任意λ∈［0，1］，f［λx1+（1－λ）x2］≤λf（x1）+（1－λ）f（x2）恒成立”的只有（ ）

A.f1（x），f3（x） C.f2（x），f3（x）

B.f2（x） D.f4（x）

43

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13.（2002全国理，12）据2002年3月5日九届五次会议《工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十·五”期间（2001年～2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（ ）

A.115000亿元 B.120000亿元 C.127000亿元 D.135000亿元 ※

14.（2002上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）

※

图2—1

A.气温最高时，用电量最多 B.气温最低时，用电量最少

C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加 D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加 15.（2001北京春，理4）函数y=－

1x（x≤1）的反函数是（ ）

A.y=x2－1（－1≤x≤0） B.ｙ＝x2－1（0≤x≤1） Ｃ.ｙ＝1－x2（x≤0） D.ｙ＝1－x2（0≤x≤1）

16.（2001北京春，理7）已知f（x6）＝log2x，那么f（8）等于（ ） A.

4 3 B.8 C.18 D.

1 217.（2001北京春，2）函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（ ） A.f（xy）=f（x）·f（y） B.f（xy）=f（x）+f（y） C.f（x+y）=f（x）·f（y） D.f（x+y）=f（x）+f（y）

18.（2001全国，4）若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）=log2a（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围是（ ）

A.（0，

1） 2 B.（0，

1] 2C.（

1，＋∞） 2

－

D.（0，＋∞）

19.（2001全国文，6）函数y=2x＋1（x＞0）的反函数是（ ） A.y=log2

1，x∈（1，2） x1

B.y＝－1og2

1，x∈（1，2） x143

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C.y=log2

1，x∈（1，2] x1

D.y＝－1og2

1，x∈（1，2] x120.（2001全国，10）设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题： ①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增； ②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增； ③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减； ④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减. 其中，正确的命题是（ ） A.①② B.①④ C.②③ D.②④ ※

21.（2001全国，12）如图2—2，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（ ）

A.26 B.24 图2—2 C.20 D.19 22.（2000春季北京、安徽，7）函数y＝ｌg｜x｜（ ） A.是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增 B.是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减 C.是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增 D.是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递减

23.（2000春季北京、安徽，14）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图2—3，则（ ）

A.b∈（－∞，0） B.b∈（0，1） C.b∈（1，2） D.b∈（2，＋∞）

24.（2000上海春，16）若0＜a＜1，b＜－1，则函数f（x）＝图2—3 ax＋b的图象不经过（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

25.（2000上海，15）若集合S＝｛y｜y＝3x，x∈R｝，T＝｛y｜y＝x2－1，x∈R｝，则S∩T是（ ）

A.S B.T C. D.有限集

26.（2000全国理，1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

27.（1999全国，2）已知映射f：A→B，其中，集合A＝｛－3，－2，－1，1，2，3，4｝，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是｜a｜，则集合B中元素的个数是（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7 28.（1999全国，3）若函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x），f（a）＝b，ab≠0，则 g（b）等于（ ）

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A.a B.a1 C.b D.b1

29.（1998上海，文、理13）若0－－

1－

（x≠0）的反函数f1（x）等于（ ） xD.－

A.x（x≠0） B.

1（x≠0） C.－x（x≠0） x1（x≠0） x31.（1998全国，2）函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（ ）

32.（1998全国文11，理10）向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图2—4所示，那么水瓶的形状是（ ）

※

图2—4

33.（1997上海，2）三个数607，0．76，log0．76的大小顺序是（ ）

．．

A.0．76＜log0．76＜607 B.0．76＜607＜log0．76

．．

C.log0．76＜607＜0．76 D.log0．76＜0．76＜607 34.（1997全国，理7）将y=2x的图象_____，再作关于直线y=x对称的图象，可得到y=log2

（x+1）的图象（ ）

A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位 C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位

35.（1997全国，文7）设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=f（x－1）与y= f（1－x）的图象关于（ ）

A.直线y=0对称 B.直线x=0对称 C.直线y=1对称 D.直线x=1对称

36.（1997全国，13）定义在区间（－∞，＋∞）的奇函数f（x）为增函数，偶函数 g（x）在区间［0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是（ ）

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b） ③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a） A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④ 37.（1996全国，15）设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x+2）=－f（x），当

43

．

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0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ）

A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 38.（1996上海，3）如果loga3＞logb3＞0，那么a、b间的关系是（ ） A.0＜a＜b＜1 B.1＜a＜b C.0＜b＜a＜1 D.1＜b＜a

－

39.（1996全国，2）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y＝logax的图象是（ ）

40.（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（的图象只可能是（ ）

bx

）a

41.（1995上海，7）当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（ ） A.（1－a）＞（1－a）b C.（1－a）b＞（1－a）

2b1b

B.（1＋a）a＞（1＋b）b D.（1－a）a＞（1－b）b

42.（1995上海，6）当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是（ ）

43.（1995全国，文2）函数y=

1的图象是（ ） x1

44.（1995全国文，11）已知y=loga（2－x）是x的增函数，则a的取值范围是（ ） A.（0，2） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，+∞）

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45.（1995全国理，11）已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D.［2，＋∞）

46.（1994上海）如果0A.（1－a）>（1－a）

1312 B.log1－a（1+a）>0

C.（1－a）3>（1+a）2 D.（1－a）1+a>1

47.（1994上海，11）当a＞1时，函数y＝logax和y=（1－a）x的图象只能是（ ）

48.（1994全国，12）设函数f（x）=1－图象是（ ）

1x2（－1≤x≤0），则函数y=f1（x）的

－

49.（1994全国，15）定义在（－∞，＋∞）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和，如果f（x）=lg（10x＋1），x∈（－∞，＋∞），那么（ ）

－

A.g（x）=x，h（x）=lg（10x＋10x＋2）

B.g（x）=

11lg［（10x＋1）＋x］，h（x）＝lg［（10x＋1）－x］ 22xx，h（x）＝lg（10x＋1）－ 22xx，h（x）＝lg（10x＋1）＋ 22C.g（x）＝

D.g（x）＝－二、填空题

50.（2003北京春，理16）若存在常数p>0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px－p）2（x∈R），则f（x）的一个正周期为_____.

51.（2003上海春，11）若函数y=x2+（a+2）x+3，x∈［a，b］的图象关于直线x=1对称，则b=_____.

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52.（2002上海春，1）函数y=

132xx2的定义域为_____.

53.（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=_____.

54.（2002全国文，14）函数y=坐标为_____.

2x（x∈（－1，+∞））图象与其反函数图象的交点1xx2155.（2002全国理，16）已知函数f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）221x+f（

11）+f（4）+f（）=_____. 3456.(2002天津文.16)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义,下列函数:①y=－|f（x）| ②y=xf（x2） ③y=－f（－x） ④y=f（x）－f（－x）中必为奇函数的有_____.（要求填写正确答案的序号）

57.（2002上海，3）方程log3（1－2·3x）=2x+1的解x=_____.

－

58.（2002上海，12）已知函数y=f（x）（定义域为D，值域为A）有反函数y=f1（x），

－

则方程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是y=f1（x）满足_____.

※

59.（2002全国，文13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图2—5所示，其中从_____年到_____年的五年间增长最快.

60.（2001上海春，1）函数f（x）=x2+1（x≤0）的反函－

数f1（x）=_____.

61.（2001上海春，3）方程log4（3x－1）=log4（x－1）+log4（3+x）的解是_____. 图2—1 62.（2001上海春，10）若记号“*”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a*b=

ab，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意321的x值为 ． 2个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是_____.

63.（2001上海文，1）设函数f（x）=log9x，则满足f（x）＝

2x,x(,1]1.（2001上海理，1）设函数f（x）＝，则满足f（x）=的x值

4log81,x(1,)为 ．

※

65．（2001上海，12）根据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．图2—6中（1）表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图2—6中（2）中图示为：

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图2—6

66.（2000上海春，2）若函数f（x）=

x1－

，则f1（）=_____.

3x267.（2000上海，2）函数y＝log2

2x1的定义域为 . 3x－

68.（2000上海，5）已知f（x）＝2x＋b的反函数为f1（x），若 －

y＝f1（x）的图象经过点Q（5，2），则b＝ .

69.（2000上海，8）设函数y＝f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为如图2—7所示的线段AB，则在区间［1，2］上f（x）＝ .

log3270.（1999上海，文9）=_____.

log27－

图2—7 71.（1999上海，2）函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f1（x）的定义域是_____. ※

72.（1999上海，文8）某工程的工序流程图如图2—8（工时单位：天）.现已知工程总时数为10天，则工序c所需工时为_____天.

图2—8

73.（1999全国，17），若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_____. 74.（1998上海，1）lg20＋log10025＝ .

75.（1998上海，4）函数f（x）=（x－1）＋2的反函数是f1（x）＝ .

13－

2x3,x076.（1998上海，8）函数y＝x3,0x1的最大值是 .

x5,x177.（1998上海，11）函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在［1，2］中的最大值比最小值大

a，则a的值为 . 278.（1998上海，文6）某工程的工序流程图如图2—9（工时单位：天），则工程总时数为_____天.

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※

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图2—9

79.（1997上海，7）方程lg（1－3x）=lg（3－x）+lg（7+x）的解是_____. 80.（1996上海，10）函数y＝

1的定义域是 .

log1(2x)281.（1996上海，9）方程log2（9x－5）＝log2（3x－2）＋2的解是 . 82.（1996上海，12）函数y＝x2（x＜0)的反函数是 .

－

83.（1995全国文，16）方程log2（x＋1）2＋log4（x＋1）＝5的解是 . 84.（1995上海文，15）函数y=3x2＋1（x≤0）的反函数是y= . 85.（1995上海文，16）函数y＝lg

※

10x2的定义域是 .

86.（1994全国，20）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，……，an，共n个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小.依此规定，从a1，a2，……，an推出的a= .

87.（1994上海，6）函数y＝

x21（x≤－1）的反函数是 .

88.（1994上海，4）方程log3（x－1）＝log9（x＋5）的解是 . 三、解答题

.（2003北京春，17）解不等式：log2（x2－x－2）>log2（2x－2）. ※

90.（2003北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

91.（2003上海春，20）已知函数

f(x)xx51313,g(x)xx51313.

（1）证明f（x）是奇函数；并求f（x）的单调区间.

（2）分别计算f（4）－5f（2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

92.（2002京、皖春，18）已知f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并加以证明.

93.（2002京、皖春，22）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0

为f（x）的不动点.

已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）（a≠0）. （1）当a=1，b=－2时，求函数f（x）的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

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（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+

12a12对称，求b的最小值.

94.（2002上海春，20）已知函数f（x）=ax+x2（a＞1）. x1（1）证明：函数f（x）在（－1，+∞）上为增函数； （2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根.

95.（2002全国文，20）设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R. （1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）求函数f（x）的最小值.

96.（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R. （1）讨论f（x）的奇偶性； （2）求f（x）的最小值.

97.（2002北京文，22）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）.

（1）求f（0），f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （3）若f（2）=2，un=f（2n）（n∈N），求证：un+1＞un（n∈N）.

98.（2002北京理，22）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）.

（1）求f（0），f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

f(2n)（3）f（2）=2，un=（n∈N），求数列{un}的前n项的和Sn.

n99.（2002上海文，19）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈［－5，5］ （1）当a=－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；

（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间［－5，5］上是单调函数. 100.（2002上海理，19）已知函数f（x）=x2+2x·tanθ－1，x∈［－1，∈（－

3］，其中θ22,）.

（1）当θ=－

6时，求函数f（x）的最大值与最小值；

（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间［－1，

3］上是单调函数.

101.（2002河南、广东、广西，22）已知a>0，函数f（x）=ax－bx2. （1）当b>0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2

b；

b；

43

（2）当b>1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2

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（3）当0102.（2001全国文，22）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈［0，

1］，都有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）. 211），f（）；

42（1）设f（1）＝2，求f（

（2）证明f（x）是周期函数；

103.（2001全国理，22）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈［0，

1］，都有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2），且f（1）＝a＞0. 2（1）求f（

11）及f（）；

421），求lim（lnan）.

m2n（2）证明f（x）是周期函数； （3）an＝f（2n＋

※

104.（2001全国文，21）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面的宽与高

的比为λ（λ＜1)，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?

105.（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝

xa（a＞b＞0），求f（x）的单调xb区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性.

※

106.（2001上海，文、理21）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗．．一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的．．

1，用水越多洗掉2的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残．．．．留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）.

（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；

（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；

（3）设f（x）=

1，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也 21x可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由．

exa107.（2001天津，19）设a＞0，f（x）＝x是R上的偶函数.

ae43

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（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（0，＋∞）上是增函数． ※

108.（2000全国，21）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示.

图2—10

（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）； 写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元／102 ，ｋg，时间单位：天）

109.（2000春季北京、安徽文，19）已知二次函数f（x）＝（lga）x2＋2x＋4lga的最大值为3，求a的值.

110.（2000春季北京安徽理，21）设函数f（x）＝|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b）， 证明：ab＜1．

111.（2000上海春，17）设f（x）为定义在R上的偶函数，当 x≤－1时，y＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y＝f（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线.试写出函数f（x）的表达式，并作出其图象.

x22xa112.（2000上海，19）已知函数f（x）＝，x∈［1，

x＋∞)．

图2—11 （1）当a＝

1时，求函数f（x）的最小值； 2（2）若对任意x∈［1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.

113.（1999全国文，19）解方程

3lgx2－3lgx+4=0.

114.（1996上海，20）在如图2—12所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程为y=ax2＋c（a＜0），D=（6，7）

图2—12 为x轴上的给定区间.

（1）为使物体落在D内，求a的取值范围； （2）若物体运动时又经过点P（2，8.1），问它能否落在D内?并说明理由.

－

115.（1995全国文，21）解方程3x+2－32x=80.

43

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116.（1994全国，文22）已知函数f（x）=logax（a>0且a≠1，x∈（0，+∞））.若x1，x2∈（0，+∞），判断

xx21［f（x1）+f（x2）］与f（1）的大小，并加以证明.

22注：加“*”的试题为应用题，其他章与此同.

●答案解析 1.答案：D 解析：f（4x）=

4x14x11，依题意，有=x.解得：x=. 4x4x2评述：本题主要考查函数的对应法则、函数与方程的关系及求方程的根.

2.答案：C

解析：y=2x的值域为y>0，y=

x1的值域为y≥0.因此，其交集为y>0.

评述：本题考查了考生对集合代表元素的认识，利用函数的图象确定函数的值域.体现了数形结合的数学思想.

3.答案：C

解析：y=2x的值域为y>0，y=

－

x1的值域为y≥0.因此，其交集为y>0.

评述：本题是文科的“姊妹题”，体现了数学对文、理科学生的认识及要求的区别，这是高考命题的方向.

4.答案：C

解析：首先作出函数y=|x|与g（x）=x（2－x）=－x2+2x=－（x－1）2+1的图象（如图2—13）.利用图象分别确定其单调区间.y=|x|的增区间为［0，+∞)，y=x（2－x）单调增区间为（－∞，1].

（2） 图2—13

评述：该题侧重考查考生“化生为熟”的识别能力以及对问题的转化能力. 5.答案：D

解析：首先讨论分母1－x（1－x）的取值范围：1－x（1－x）=x2－x+1=（x－

（1）

123）+24≥

1443.因此，有0<≤.所以，f（x）的最大值为.

1x(1x)334评述：该题侧重考查考生“化生为熟”的识别能力及对代数式的转化能力.

6.答案：B

43

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解法一：y=logax的反函数为y=ax，而y=loga

1－

的反函数为y=ax，因此，它们关于y轴x对称.

解法二：因为两个原函数的图象关于x轴对称，而互为反函数的图象关于直线y=x 对称，因此y=logax的反函数和y=loga

1的反函数的图象关于y轴对称. x评述：本题考查了两个函数图象的对称性问题.同时也考查了原函数与反函数图象的对称性.

7.答案：B

解析一：①当a＞1时，y=ax为单调递增函数，在［0，1］上的最值分别为ymax=a1， ymin=a0=1，∴a+1=3即a=2.

②当0＜a＜1时，y=ax为单调递减函数，ymax=a0=1，ymin=a1=a，a+1=3，∴a=2与0＜a＜1矛盾，不可能.

解析二：因为y=ax是单调函数.因此必在区间［0，1］的端点处取得最大值和最小值.因此有a0+a1=3，解得a=2.

评述：因为y=ax的增减性与a的取值范围有关，所以要将a分情况讨论.该题体现了分类讨论的思想，同时更深层次地研究函数的最值问题.

8.答案：D

解法一：∵0＜a＜1，x，y＜a，∴logax＞logaa=1，同理logay＞1 ∴logax+logay＞2， 即logaxy＞2

解法二：可代入特殊值如x111,y,a，即可解得D答案. 8429.答案：A

解析：作出函数y=x2+bx+c的大致图象如图2—14. 对称轴为x=－

b 2图2—14 ∵该函数在［0，+∞］上是单调函数.

（由图可知［0，+∞］上是增函数），只要对称轴横坐标位置在区间［0，+∞)的左边，

即－

b≤0，解得b≥0. 211图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y=的图形变xx10.答案：B

解析一：该题考查对f（x）=

11形到y=，即向右平移一个单位，再变形到y=－即将前面图形沿x轴翻转，再变

x1x143

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形到y=－

1+1，从而得到答案B. x1解析二：可利用特殊值法，取x=0，此时y=1，取x=2，此时y=0.因此选B. 11.答案：A 解析：f（

x1x2xx2）为自变量x1、x2中点，1对应的函数值即“中点的纵坐标”，221［f（x1）+f（x2）］为x1、x2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”，再结2合f（x）函数图象的凹凸性，可得到答案A，这是函数凹凸性的基本应用.

12.答案：A

解析：利用特殊值法，因为λ∈［0，1］，令λ=

1，则不等式变为： 2x1x2f(x1)f(x2)f（）≤，同11题结果.

22评述：通过抽象函数知识，考查了学生的抽象思维能力.这是高考命题的方向. ※

13.答案：C

解析:首先要明白“到十·五”末为4年，其次要理解每年比上年增长7.3%的含义,从而得出解析式“十·五”末我国国内年生产总值约为95933×(1+7.3%)4.怎样处理（1+7.3%）4，显然，不能使其约等于1，在此应用二项式定理（1+7.3%）4=C402·7.3%+7.3%2+…CC14·4做近似计算.

※

14.答案：C

解析：该题考查对图表的识别和理解能力，经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高.因此A项错误.同理可判断出B项错误.由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确.

15.答案：Ｃ

解析：由∵x≤1，∴－x≥－1，1－x≥0，∴原函数的值域应与反函数的定义域相同， ∴答案中只有Ｃ的定义域满足小于等于0 ∴选Ｃ 16.答案：D 解法一：8＝（

1x≥0，－1x≤0，∴y≥0．

12）6，∴f（26）＝log22＝

2x1log2x 6解法二：f（x6）＝log2x，∴f（x）＝log23

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∴f（8）=

11log28＝． 62解法三：∵f（8）=f（

126）=log22=.

217.答案：C 解析：f（x）·f（y）=ax·ay=ax+y=f（x+y）.故选C.

评述：本题考查指数的基本运算法则及考生灵敏的思维能力. 18.答案：A

解析：∵－1＜x＜0，∴0＜x＋1＜1， 又∵f（x）＞0，∴0＜2a＜1，∴0＜a＜

1（可结合函数图象观察）． 219.答案：A

解析：找到原函数的定义域和值域，x∈［0，＋∞），y∈（1，2） 又∵原函数的值域是反函数的定义域， ∴反函数的定义域x∈（1，2），∴C、D不对． 而1＜x＜2，∴0＜x－1＜1，

1＞1． x1又log2

1＞0，即y＞0 x1∴A正确． 20.答案：C

解析：在共同定义域上任取x1＜x2，当f（x）是单调递增，则f（x1）－f（x2）＜0， g（x）是单调递减，g（x1）－g（x2）＞0，

∴F（x）＝f（x）－g（x）

F（x1）－F（x2）=f（x1）－f（x2）+g（x2）－g（x1）＜0 ∴在共同定义域上是单调递增，同理可得

当f（x）是单调递减，g（x）是单调递增时，F（x）=f（x）－g（x）是单调递减． ∴②③正确 ※

21.答案：D

解析：因为连线标注的数字表示该段网线单位时间内可通过的最大信息量，∴BC最大是3，BE最大为4，FG最大为6，BH最大为6．

而传递的路途只有4条．

BC—CD—DA，BE—ED—DA，BF—FG—GA，BH—HG—GA

而每条路径允许通过的最大信息量应是一条途径中3段中的最小值，如BC—CD—DA中BC能通过的最大信息量为3，

∴BC—CD—DA段能通过的最大信息量也只能是3． 以此类推能传到的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19．

评述：研究此题不需要任何数学知识，考查考生用数学思维解决问题的能力，这是今后高考的命题方向.

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22.答案：B

解析：∵f（－x）＝lg|－x|＝lg|x|＝f（x）是偶函数，又当x∈（0，＋∞）时是单调递增，∴当x∈（－∞,0）时，y＝lg|x|单调递减.

23.答案：A

解法一：分别将x＝0，x＝1，x＝2代入f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d中，求得d＝0，a＝－

12b，c＝－b， 33∴f（x）＝b(132bx31xx2x)[(x)2]． 33324当x∈（－∞,0）时，f（x）＜0，又[(x321)]＞0，∴b＜0． 24x∈（0，1）时，f（x）＞0，又[(x∴b＜0．

x∈（1,2）时，f（x）＜0，又[(x321)]＞0， 24321)]＜0，∴b＜0． 24321)]＞0，∴b＜0． 24x∈（2

＋∞）时，f（x）＞0，又[(x故b∈（－∞0）.

解法二：由此题的函数图象可以联想到解高次不等式时所用的图象法 ∴a＞0，x1，x2，x3为图象与x轴的交点x1＝2，x2＝1，x3＝0， ∴ax3＋bx2＋cx+d=a（x－x1）（x－x2）（x－x3）＝a（x－2）（x－1）（x－0） ∴f（x）=ax3－3ax2＋2ax，又∵a＞0，∴b＝－3a，b＜0 ∴选A

解法三：函数f（x）的图象过原点，即f（0）=0得d=0 又因f（x）的图象过点（1，0），得f（1）=a+b+c=0 ① 由图象得f（－1）＜0，即－a+b－c＜0 ② ①＋②得2b＜0，∴b＜0． 24.答案：A

解析：g（x）＝ax的图象经过一、二象限，f（x）＝ax＋b是将g（x）＝ax的图象向下平移|b|（b＜－1）个单位而得，因而图象不经过第一象限.

25.答案：A

解析：∵y＝3x＞0（x∈R） ∴S＝｛y|y＞0｝； ∵y＝x2－1≥－1（x∈R）

∴T＝｛y|y≥－1｝ ∴ST，从而S∩T＝S. 26.答案：C

解析：∵20＝2n＋n，分别将选择支代入检验，知当n＝4时成立. 27.答案：A

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解析：由映射的定义及给定法则知，对A中元素取绝对值立即得结论，故选A. 评述：本题主要考查映射的概念，属容易题. 28.答案：A

解析：由已知点（a，b）在函数y＝f（x）图象上，又由反函数与原函数的性质知，（b，a）在其反函数y＝g（x）图象上，即g（b）＝a，故选A.

评述：本题主要考查反函数的性质的运用，解法上还可取特殊函数、特殊点加以验证解决.

29.答案：A

解析：把y=logax（0评述：本题考查对数函数的性质和函数图象的平移变换.

图2—15 30.答案：B

解法一：由f（x）＝

11－

（x≠0）求得其反函数为：f1（x）＝（x≠0），故答案为B. xx解法二：因f（x）=

1（x≠0）的图象关于y＝x对称，由反函数的图象的性质知，y= xf（x）的反函数是其自身.选B.

评述：本题主要考查反函数的概念、反函数的求法. 31.答案：B

ax(x0)解法一：由题设知y＝1x

(a)(x0)又a＞1，由指数函数图象易知答案为B.

解法二：因y＝a|x|是偶函数，又a＞1，所以a|x|≥1，排除A、C.当x≥0时，y＝ax，由指数函数图象，选B.

评述：本题考查指数函数的图象和性质，考查数形结合思想、分类讨论思 想.既可直接推导得出结论，又可用排除法，思路较灵活. 32.答案：B

解析：如图2—16，取水深h=

VH时，注水量V＝V′＞0，即

22V0，C、2图2—16 水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量之半.A中V′＜

D中V′＝

V0，故排除A、C、D，选B. 2评述：本题考查函数的对应关系.要求由水瓶的形状识别函数原型，是典型的数形结合问题，“只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了对思维能力的考查.

33.答案：D

解析：显然log0.76<0<0.76<1<60.7.故选D.

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34.答案：D

解析：函数y=log2（x+1）的图象与y=2x的图象当然不同，但两个函数是有内在联系的，y=log2（x+1）的反函数是y=2x－1.我们只须把y=2x的图象向下平移一个单位，即可获得y=2x－1的图象，再作y=2x－1关于直线y=x对称的图象即可获得y=log2（x+1）的图象.

评述：本题主要考查反函数的图象性质与函数图象变换. 35.答案：D

解析：令x－1=u，则原题转化为函数y=f（u）与y=f（－u）的图象的对称问题，显然y=f（u）与y=f（－u）关于u=0对称，即关于x=1对称.

评述：主要考查函数图象的对称、换元等思想方法. 36.答案：C

解法一：取适合条件的特殊函数f（x）=x，g（x）=|x|并令a=2，b=1，则给出的4个不等式分别是①3＞1；②3＜1；③3＞－1； ④3＜－1.由②不成立，排除B、D，又④不成立，排除A，得C.

解法二：由题设知，4个不等式分别等价于①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0.由于f（x）是奇函数，且定义在 图2—17 （－∞，＋∞）上，所以f（0）=0；于是，由f（x）是增函数与 a＞b＞0得不等式①与③成立，故答案为C.

解法三：如图2—17，显然f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b），f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a），所以选C.

评述：本题综合考查函数性质（奇偶性、单调性），试题比较长，兼考阅读、理解能力；题设上给出的两个函数都没有具体的解析式，借以加强概念的考查，要求对奇偶性、单调性有透彻的理解.会简化问题，对综合灵活地应用数学知识解决问题的能力要求较高.

37.答案：B

解析：方法一：由已知可得f（7.5）=f（5.5+2）=－f（5.5）=－f（2+3.5）=－［－f（3.5）］=f（3.5）=f（2+1.5）=－f（1.5）=－f（2－0.5）=－［－f（－0.5）］=f（－0.5）=－f（0.5）=－0.5，故选B.

方法二：因f（x+2）=－f（x），所以f（x+4）=f［（x+2）+2］＝－f（x+2）=f（x），f（x）是以4为周期的函数，故f（7.5）=f（8－0.5）=f（－0.5）=－f（0.5）=－0.5，得B.

评述：本题取用函数的符号、概念和性质旨在加强对数学语言和数学符号的阅读、理解能力的考查.如何实现f（7.5）到f（x）=x（0≤x≤1）的转化是解决问题的关键，故也兼考转化思想.

38.答案：B

解析：由loga3＞logb3＞0，有

11＞0，即log3b＞log3a＞0＝log31，由对log3alog3b数函数单调性，有b＞a＞1，所以选B.

39.答案：A

解析：当a＞1时，y＝logax单调递增，y＝a-x单调递减，故选A.

评述：本题主要考查指数函数、对数函数的图象及性质，源于课本，考查基本知识，难度不大.

40.答案：A

b2b2b解析一：由指数函数图象可以看出0<<1.抛物线方程是y=a（x+）－，其顶22aa4a43

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bbb1b2点坐标为（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.观察选择支，可选A.

2a2aa24a解析二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－

bb，而－1<－<0.aa故选A.

评述：本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感. 41.答案：D

解析：由已知0＜1－a＜1，可推得A、C均错，又1＜1＋a＜1＋b，有（1＋a）a＜ （1＋b）a＜（1＋b）b，故B错，所以选D.

42.答案：A

解析：A中直线a＞0，1＞b＞0，指数函数当a＞0，1＞b＞0时，0＜ba＜1，故A正确；B、C、D中可分别考虑a，b的取值范围，得出它们的图象都是错误的.

43.答案：D

解析：把反比例函数y=

11的图象向左平移1个单位就得到y=的图象.故选D. xx11的图象是……”，这正是x1评述：本题的选择支不变，而题干改变为：“函数y=－

1995年理科题，只须将y=－

11的图象左移1个单位.2002年又讨论过函数y=1－的图xx1象.说明（1）y=

1的性质比较重要，图形变换应熟练；（2）高考题中重点知识反复考，应对x高考题吃深吃透.对参加高考是有极大帮助的.

44.答案：B

解法一：取a=

3代入可排除A、C，取a=3代入排除D，故答案为B. 2方法二：因u＝2－x是x的减函数，要使y＝loga（2－x）是x的增函数，只要0＜a＜1，答案为B.

评述：本题主要考查对数函数的单调性及分析问题、解决问题的能力. 45.答案：B

解法一：先求函数的定义域，由2－ax＞0，有ax＜2，因为a是对数的底，故有a＞0，于是得函数的定义域x≤

2，又函数的递减区间［0，1］必须在函数的定义域内，故有1＜a2，从而a＜2. a若1＜a＜2，当x在［0，1］上增大时，2－ax减小，从而loga（2－ax）减小，即函数

43

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y=loga（2－ax）在［0，1］上是单调递减的；

若0＜a＜1，当x在［0，1］上增大时，2－ax减小，从而loga（2－ax）增大，即函数y＝loga（2－ax）在［0，1］上是单调递增的.

所以a的取值范围应是（1，2），故选择B.

解法二：因a是对数函数的底数，故a＞0，且a≠1，排除C；当0≤x≤1时，真数2－ax＞0，取x=1，得a＜2，排除D.取a＝

x1时，函数y＝log1（2－），在区间［0，1］222x上，（2－）是x的减函数，故y是x的增函数，排除A，得B.

2解法三：当a∈（0，1）时，若0≤x1＜x2≤1，则2－ax1＞2－ax2＞0，故loga（2－ax1）＜loga（2－ax2），即y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的增函数，排除A、C.当a＞2时，函数y在x=1处无定义，排除D，得B.

解法四：取a=

13，x1＝0，x2＝1，则有loga（2－ax1）＝log12，loga（2－ax2）＝log1，2222可排除A、C；取a=3，x=1，则2－ax＝2－3＜0，又y在x=1处有意义，故a≠3，排除D，

得B.

解法五：因为a是对数的底．故有a＞0，∴u＝2－ax是减函数

又∵y＝loga（2－ax）是减函数，由复合函数的增减性可知y＝logau是增函数， ∴a＞1

又∵0≤x≤1，∴0≤ax≤a，0≥－ax≥－a，2≥2－ax≥2－a 又∵2－ax＞0，∴2－a＞0，∴a＜2，∴1＜a＜2．

解法六：因为a是对数的底数，故有a＞0，∴u=2－ax是减函数，又y=loga（2－ax）是减函数，由复合函数的增减性，可知y=logau是增函数，∴a＞1，又2－ax＞0，ax＜2， x∈［0，1］

当x≠0时，a＜

a，而对x∈（0，1］中每一值不等式都成立，a只需要小于其最小值x即可，故a＜2，∴1＜a＜2，∴u=2－ax是减函数，∴y=loga（2－ax）是减函数.

评述：本题主要考查对数函数的单调性和逻辑思维能力.入手思路宽.由常规的具体函数判定其单调性，换为由函数的单调性反过来确定函数中底数a的范围，提高了思维层次，同时要求对对数函数的概念和性质有较深刻全面地理解并熟练掌握.

46.答案：A

解析：用排除法.∵01，∴（1－a）>（1－a）成立，又 log（1－a）（1+a）<0，排除B；（1－a）3<1而（1+a）2>1，∴（1－a）3<（1+a）2，排除C；又

（）

（1－a）1+a<1，排除D.因此选A.

评述：本题考查指数函数和对数函数的基本性质.考查考生的逻辑思维能力. 47.答案：B

解析：因为a＞1，所以y=logax为增函数，故C、D均不对，又1－a＜0，所以直线应过原点且经过第二象限和第四象限，故应选B.

48.答案：B

43

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解法一：由f（x）得：f1（x）＝－，故选B. 1(x1)2（0≤x≤1）

解法二：由f（x）得：x2＋（y－1）2＝1，其中x∈［－1，0］，y∈［0，1］，其图象为

－1

A.根据原函数与其反函数的图象关于直线y=x对称，可知f（x）的图象应为B.

评述：本题主要考查反函数的概念，要求对原函数与其反函数的联系有深刻理解，并考查数形结合思想.

49.答案：C

解法一：注意观察四个选项中的每两个函数，容易发现C中g（x）＝

x为奇函数，且2xxxx110x＋1）－h（－x）=lg（10-x＋1）＋＝lg＋＝lg（10＝h（x）为偶函数，又 x22210g（x）+h（x）=lg（10x＋1）＝f（x），故应选C.

解法二：由已知有f（x）=g（x）+h（x），则f（－x）=g（－x）+h（－x）=－g（x）+

x1110x11h（x），所以g（x）=［f（x）－f（－x）］＝lgx＝lg10x＝，应选C.

2221012评述：本题考查了奇偶函数、对数函数的概念和性质，要求有较强的运算能力.本题背

景新颖，对分析问题和解决问题的能力有较高要求.

50.答案：

p 2注：填

p的正整数倍中的任何一个都正确. 2ppp=u，则px=u+，依题意，有：f（u+）=f（u）.此式对任意u都成222解析：令px－

立，而

pp>0且为常数.因此，说明f（x）是一个周期函数，为最小正周期. 22评述：利用换元法，紧扣周期函数定义.本题立意：重在知识和技能的灵活运用. 51.答案：6

解析一：因为二次函数y=x2+（a+2）x+3的对称轴为x=1，因此有－

a2=1.即a=－4，2而函数f（x）是定义在［a，b］上的.即a，b关于x=1也对称，所以有

ab=1.解得b=6. 2解析二：因为二次函数y=x2+（a+2）x+3的对称轴为x=1.因此，f（x）可表示为f（x）=（x－1）2+c，与原函数表达形式对比可得a+2=－2，∴a=－4.再结合

ab=1，解得b=6. 243

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解析三：因为二次函数的对称轴为x=1，因此有：f（x）=f（2－x）.将2－x代入y=x2+（a+2）x+3即可求出a=－4，b值同上.

评述：区间［a，b］关于x=1对称是一个必要条件，否则f（x）=f（2－x）将无意义.此题较好地考查了逻辑思维能力.

52.答案：－3＜x＜2

解析：由题意得3－2x－x2＞0，可得－3＜x＜2 53.答案：－1

解析：因为x≥0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（－x）=－f（x），设x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1.

54.答案：（0，0），（1，1）

解法一：由反函数的意义和性质可知，如果原函数为增函数，则其图象与反函数图象关于直线y=x对称，两图象的交点必在y=x直线上，因此题目所求可转化为求y=1，+∞））图象与y=x直线的交点.

解法二：求出反函数y=

2x（x∈（－1xx2x，解其与原函数y=的交点. 2x1x评述：在解法一中，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x上，

这一点有许多同学弄不清楚，只有原函数为单调增函数，上述结论才成立.

55.答案：

7 2121x2x1 解析：f()f(x)21x121xx11117∴f（1）+［f（2）+f（）］+［f（3）+f（）］+［f（4）+f（）］=+1+1+1=

311422评述：在f（2）+f（

11）=1的基础上判断f（x）+f（）=1， 问题便迎刃而解.

x256.答案：②④

解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y y=f（－x）－f（x）=－y 57.答案：－1

1x123x003x=t 解析：得32x2x12xx123333231043

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110tt2 ∴212t或13t2t103∴t=

1 31，∴x=－1 3－

－

－

∴3x=

58.答案：f1（0）=a且f1（x）＜x，x∈A或y=f1（x）的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为（0，a）

－

解析：因为y=f（x）有反函数，则y=f（x）与其反函数y=f1（x）关于y=x对称. 由方程f（x）=0有解x=a，则f（a）=0，又f（x）＞x，说明在定义域D内，函数y=

－

f（x）的图象在直线y=x的上方，而y=f（x）的反函数y=f1（x）与y=f（x）的图象关于直

－－－

线y=x对称.因此，从代数角度回答有f1（0）=a且f1（x）＜x.从几何角度回答有y=f1（x）的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为（0，a）.

※

59.答案：1995，2000（或1985，1990）

解析：从图中的数据可观察到：从1995年到2000年的五年间居住面积增长最快.应填1995，2000.

如果从增长的速度思考，应填1985，1990. 评述：这是小学六年级学习的条形统计图，放在高考题中，充分反映了高考的命题思想，独具匠心，妙哉！本题考查了考生读图识图能力以及用数学方法解决问题的能力.由于题设中没有对增长量或增长速度做明确要求.两种结果都对（只填一个即可）.

60.答案：－

x1（x≥1）

，∴f（x）的y1（y≥1）

解析：∵f（x）=x2+1（x≤0）即y=x2+1，x2=y－1，∴x=－反函数为f1=－

－

x1（x≥1）.

61.答案：x=2

解析：原方程可化为log4（3x－1）=log4［（x－1）（3+x）］，即3x－1=x2+2x+3（3x－1>0），∴x2－x－2=0（3x－1>0），解得x=2.

62.答案：a+（b*c）=（a+b）*（a+c） 注：答案不惟一.

解析：∵a+（b*c）=a+

bc2abc， 22又（a+b）*（a+c）=

(ab)(ac)2abc.因此答案成立.

22同时：（a*b）+c=（a*c）+（b*c）；a*（b+c）=（a+b）*c=（b+c）*a=（a+c）*b；（a*b）

+c=（b*a）+c也符合题意.

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评述：本题是一道开放型试题.属于“按新定题”题型，考查了考生活用知识以及思维敏捷性.这类题型正是今后高考数学命题的方向.

63.答案：3

11解析：f（x）=log9x，log9x，x=92=3.

2.答案：3

解析：当x∈（－∞，1]，值域应为［＋∞），

∴y＝

1，＋∞），当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，21，y∈（0，＋∞），∴此时x∈（1，＋∞），∴log81x411＝，x＝814＝3 4※

65.答案：如图2—18所示.

图2—18 解析：由图中的沙化面积可以利用

总面积＝平均面积．因

年代为题中是分了五六十年代、六七十年代、九十年代三段．

(253.3250.1)102所以可分别求出三段的平均面积＝16，

20(257.5253.3)102(260257.5)102＝21，＝25

201066.答案：1 解析：由

x11，解得x=1，∴f－1（）=1.

3x2367.答案：（

1，3） 2图2—19 解析：由

2x12x11＞0，得＜0，利用根轴法如图2—19，得＜x＜3，所以函数3xx32定义域为（

1，3）. 268.答案：1

解析：因为互为反函数的两函数图象关于直线y＝x对称，所以点Q′（2，5）必在

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f（x）＝2x＋b的图象上，故有5＝22＋b，解得b＝1.

69.答案：x

解法一：由f（x）在区间［0，1］上的图象为线段AB，可得： f（x）＝－x＋2，x∈［0，1］，因f（x）为偶函数，则任取x∈［－1，0］，－x∈［0，1］，f（x）＝f（－x）＝－（－x）＋2＝x＋2． x∈［－1，0］，又f（x）是最小正周期为2的函数，若任取x∈［1，2］，则x－2∈［－1，0］，f（x）＝f（x－2）＝（x－2）＋2＝x.x∈［1，2］，

图2—20 所以在区间［1，2］上，f（x）＝x.

解法二：由函数f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为线段AB，描出f（x）在区间［－1，0］和［1，2］上的图象如图2—20.可得f（x）在区间［1，2］上的图象为线段BC，其中B（1，1），C（2，2），所以在区间［1，2］上，f（x）＝x.

70.答案：

1 26解析：

log32log32log321.

62log27log22log333371.答案：［3，+∞）

－

解析：因为函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域是［3，+∞），∴反函数f1（x）的定义域是［3，+∞）.

评述：本题考查了反函数的一个性质：原函数的值域是反函数的定义域. ※

72.答案：4

解析：设工序c所需工时数为x天，由题设关键路线是a→c→e→g.需工时1+x+4+1=10.∴x=4，即工序c所需工时数为4天.

评述：本题新颖，属于“优选法”题型.主要考查工序流程图内容的基础知识及数形结合对图形分析的能力.

73.答案：［9，+∞) 解析一：由ab=a+b+3≥2（

ab+3（等号成立条件为a=b），整理得ab－2ab－3≥0，

ab－3）（ab+1）≥0，∴ab≥3，∴ab≥9.

解析二：由ab=a+b+3，可得：b=

a3a3（a>0，b>0），∴a>1，又ab=a·=［（aa1a1a14a3a344－1）+1］=（a+3）+=a－1+4+=（a－1）++5≥2(a1)+5=9.

a1a1a1a1a1等号成立条件为a－1=

4，即a=3. a1评述：本题考查不等式和函数的基本性质以及推理论证能力. 74.答案：2

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解析：lg20＋log10025＝lg20＋75.答案：（x－2）3＋1

1lg25＝1＋lg2＋lg5＝1＋lg10＝2. 213解析：由y＝（x－1）＋2得（x－1）＝y－2，x－1＝（y－2）3，x＝（y－2）3＋1，所以所求的函数的反函数为y=（x－2）3＋1.

76.答案：4

解析：当x≤0时，y的最大值为3；当0＜x≤1时，y的最大值为4；当x＞1时，y的13最大值不存在，但此时y＜4.故y的最大值是4.

77.答案：

132或2 解析：因指数函数y＝ax为单调函数，所以有|a2－a|＝

a32，解得a＝12或a＝2.

※

78.答案：8

解析：我们用逐一验证法. （1）1→2→5→7→8；10天 （2）1→3→4→6→7→8；10天 （3）1→3→4→5→6→7→8；9天 （4）1→3→4→5→7→8；8天 （5）1→2→5→6→7→8；11天

评述：主要考查用数学思想解决实际问题的能力. 79.答案：x=－5

13x0解析：原方程变为3x0x0

713x(3x)(7x)所以有7x13 所以x=－5. x2x20080.答案：｛x|1＜x＜2｝

log(2解析：x应满足1x)0,2 2x0,即2x12x0 解得1＜x＜2.

故函数的定义域为｛x|1＜x＜2｝.

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81.答案：x=1

解析：将方程变形得log2（32x－5）＝log24（3x－2），

32x50x于是320

32x543x8①②③ 由③得32x－4·3x＋3＝0，即（3x－3）（3x－1）＝0， 解得：x=1或x=0.

将x=1与x=0分别代入①、②中检验，知x=1是原方程的根，x=0是增根. 82.答案：y=－

1（x＞0） x11（x＜0)，x＝－（y＞0），将x与y对换，得

yy解析：由y＝x2（x＜0)解出x2＝

－

y＝－

1（x＞0）. x83.答案：3

解析：原方程可变形为log4（x＋1）4＋log4（x＋1）＝5，log4（x＋1）5＝5， 则5log4（x＋1）＝5，log4（x＋1）＝1.解得x=3，经检验x=3是方程的解. 84.答案：x1 x≥1 3y13解析：因x≤0，所以x2≥0，3x2＋1≥1，即y≥1，又由x≤0及y＝3x2＋1求得x＝－

（y≥1），故所求函数的反函数为y＝x1. 385.答案：（lg2，＋∞）

解析：由已知得10x－2＞0，即10x＞2，所以x＞lg2.

※

86.答案：

1（a1＋a2＋…＋an） n解析：设a与各数据的差的平方和为y,则y＝（a－a1）2＋（a－a2）2＋…＋（a－an）2

＝na2－2（a1＋a2＋…＋an）a＋a12＋a22＋…＋an2，因n＞0，由二次函数的性质得，y取最小值时，a的值为

1（a1＋a2＋…＋an）. n评述：本题是一道应用题，主要考查阅读理解能力、构建数学模型的能力和应用数学知识解决问题的能力.是今后高考的方向，平时应注意应用意识的培养.

87.答案：y=－

x21（x≥0）

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解析：函数的定义域x≤－1，值域y≥0，由y＝≥0），将x与y对换便得f1（x）＝－

88.答案：x=4

－

x21解出x，得x＝－y21（y

x21（x≥0）.

x10解析：由已知得x50 解之得x=4.

(x1)2x5.解：原不等式变形为：log1（x2－x－2）>log1（2x－2）.所以，原不等式

22x2x20(x2)(x1)0x2x10x102x3

0x3x2x22x2x23x0故原不等式的解集为{x|2评述：本题通过对数恒等变形，转化为函数单调性问题，考查了考生的演绎推理和逻辑思维及计算能力.

※

90.解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：36003000 =12，

50x3000）

50所以这时租出了88辆车.

（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－

1x3000x22+307050.（x－150）－×50，整理得：（fx）=－+162x－21000=－（x－4050）

505050所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为

4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

评述：本题贴近生活.要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决.

91.解：（1）∵函数f（x）的定义域（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又f（－x）=

(x)(x)51313xx51313f(x).

13131313∴f（x）是奇函数.

设x11111(x13x23)(11). 15x13x23x1x15x2x25

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∵x113x20,1131x1x213130，

∴f（x1）－f（x2）<0.∴f（x）在（0，+∞）上单调递增.又f（x）是奇函数，∴f（x）在（－∞，0）上也是单调递增.∴f（x）的单调区间为（－∞，0）和（0，+∞）.

（2）算得f（4）－5f（2）·g（2）=0，f（9）－5f（3）·g（3）=0.由此概括出对所有不等于零的实数x有：f（x2）－5f（x）·g（x）=0.因为：f（x2）－5f（x）·g（x）

xx=

52323xx551313xx51313222121(x3x3)(x3x3)0. 5592.解：f（x）在（－∞，0）上是增函数，证明如下：

设x1＜x2＜0，因为f（x）为偶函数 所以f（－x1）=f（x1），f（－x2）=f（x2） ① 由设可知－x1＞－x2＞0，

又f（x）在（0，+∞）上是减函数于是有f（－x1）＜f（－x2） ② 把①代入②得f（x1）＜f（x2）

由此可得f（x）在（－∞，0）上是增函数 93.解：（1）f（x）=x2－x－3，因为x0为不动点，因此有f（x0）=x02－x0－3=x0 所以x0=－1或x0=3，所以3和－1为f（x）的不动点.

（2）因为f（x）恒有两个不动点，f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）=x，ax2+bx+（b－1）=0（※），由题设b2－4a（b－1）＞0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab+4a＞0恒成立，所以有（4a）2－4（4a）＜0a2－a＜0，所以0＜a＜1.

xx2b1（3）由（※）式，得，由题设k=－1，即y=－x+，设A、B的

2a2122a中点为E，则E（bb1bb1,22），因为xE=yE，所以－ 2a2a2a12a2a2a1所以有b=－

a2a2112a1a12212，因为0＜a＜1.当且仅当2a=时，即

a4a=

22时，b取得最小值，其最小值为－. 2494.证明：（1）设－1＜x1＜x2

f(x2)f(x1)ax2x22x2x2x12ax1axax2x21x11x21x11121a(a1x1x2x1(x11)(x22)(x12)(x21)1)(x21)(x11)1)(3(x2x1)(x21)(x11)

ax(ax2x143

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因为x2－x1＞0，又a＞1，所以ax2x1＞1，而－1＜x1＜x2，所以x1+1＞0，x2+1＞0，所

以f（x2）－f（x1）＞0，∴f（x）在（－1，+∞）上为增函数

（2）设x0为方程f（x）=0的负根，则有ax0x020.

x01即ax02x03(1x0)3 1x01x01x01显然x0≠－1

当0＞x0＞－1时，1＞x0+1＞0，

33＞3，－1+＞2

1x01x0而

1x＜a＜1，这是不可能的，即不存在0＞x0＞－1的解 a0x0＜－1时，x0+1＜0，

330,11

1x01x0而ax0＞0，矛盾，即不存在x0＜－1的解.

综上，即不存在负根

95.解：（1）f（2）=3，f（－2）=7 由于f（－2）≠f（2），f（－2）≠－f（2） 故f（x）既不是奇函数，也不是偶函数

x2x3,x2（2）f（x）=2

xx1,x2由于f（x）在［2，+∞）上的最小值为f（2）=3，在（－∞，2）内的最小值为

13f(). 24故函数f（x）在（－∞，+∞）内的最小值为

3. 4评述：因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词.f（－x）与f（x）要同时有意义，f（x）与f（－x）要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.

96.解：（1）当a=0时，函数f（－x）=（－x）2+|－x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数. 当a≠0时，f（a）=a2+1，f（－a）=a2+2|a|+1，f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）. 此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数

（2）①当x≤a时，函数f（x）=x2－x+a+1=（x－

123）+a+. 2443

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若a≤

1，则函数f（x）在（－∞，a］上单调递减，从而，函数f（x）在（－∞，a］21131，则函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（）=+a，且f（）≤ 2242123）－a+. 24上的最小值为f（a）=a2+1.

若a＞f（a）.

②当x≥a时，函数f（x）=x2+x－a+1=（x+

若a≤－≤f（a）.

若a＞－

1131，则函数f（x）在［a，+∞)上的最小值为f（－）=－a，且f（－）22421，则函数f（x）在［a，+∞）上单调递增，从而，函数f（x）在［a，+∞）213时，函数f（x）的最小值是－a. 24上的最小值为f（a）=a2+1.

综上，当a≤－

当－

11＜a≤时，函数f（x）的最小值是a2+1. 2213时，函数f（x）的最小值是a+. 24当a＞

评述：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解

此题会有较大帮助.因为x∈R，f（0）=|a|+1≠0，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想.

97.（1）解：f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0 由f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1）， 得f（1）=0.

（2）f（x）是奇函数 证明：因为f（1）=f［（－1）2］=－f（－1）－f（－1）=0 所以f（－1）=0

f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x）. 因此，f（x）为奇函数

（3）证明：先用数学归纳法证明un=f（2n）＞0（n∈N） ①当n=1时，u1=f（2）=2＞0； ②假设当n=k时，uk=f（2k）＞0

那么当n=k+1时，uk+1=f（2k+1）=2f（2k）+2kf（2）=2f（2k）+2k+1＞0.

43

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由以上两步可知，对任意n∈N，un=f（2n）＞0. 因为un＞0（n∈N）

所以un+1=f（2n+1）=2f（2n）+2nf（2）=2un+2n+1＞un（n∈N） 98.解：（1）、（2）同上题

（3）解法一：由f（a2）=af（a）+af（a）=2af（a） f（a3）=a2f（a）+af（a2）=3a2f（a）

－

猜测f（an）=nan1f（a）. 下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，f（a1）=1·a0·f（a），公式成立；

－

②假设当n=k时，f（ak）=kak1f（a）成立， 那么当n=k+1时

f（ak+1）=akf（a）+af（ak）=akf（a）+kakf（a）=（k+1）akf（a），公式仍成立.

－

由上两步可知，对任意n∈N，f（an）=nan1f（a）成立.

f(2n)1n11()f() 所以unn22因为f（2）=2，f（1）=f（2·

111）=2f（）+f（2）=0 222所以f（

111）=－f（2）=－

422un=（－

11－

）·（）n1（n∈N） 2211[1()n]2(1)n1（n∈N） 因此Sn21212解法二：当ab≠0时，

f(ab)f(b)f(a) abba令g（x）=

f(x)，则g（a·b）=g（a）+g（b） x故g（an）=ng（a）

－

所以f（an）=an·g（an）=nang（a）=nan1f（a）

f(2n)1n11()f() 所以un=

n22（以下同解法一）

评述：这是一个研究抽象函数的问题，学生应该在第（1）问的基础上，利用奇偶函数的定义，计算f（－x）是此题的切入点.第（3）问应该在归纳假设的基础上，充分利用所给

43

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函数的关系式.

99.解：（1）当a=－1时，f（x）=x2－2x+2=（x－1）2+1，x∈［－5，5］ ∴x=1时，f（x）的最小值为1 x=－5时，f（x）的最大值为37

（2）函数f（x）=（x+a）2+2－a2图象的对称轴为x=－a ∵f（x）在区间［－5，5］上是单调函数 ∴－a≤－5或－a≥5

故a的取值范围是a≤－5或a≥5.

100.解：（1）当θ=－

6时

f（x）=x2－

23324x－1=（x－）－，x∈［－1，3］

333∴x=

43时，f（x）的最小值为－

33x=－1时，f（x）的最大值为

23 3（2）函数f（x）=（x+tanθ）2－1－tan2θ图象的对称轴为x=－tanθ ∵y=f（x）在区间［－1，

3］上是单调函数 3

∴－tanθ≤－1或－tanθ≥即tanθ≥1或tanθ≤－因此，θ的取值范围是(3

,][,) 2342a2a2101.（1）证明：根据题设，对任意x∈R，都有f（x）≤1.又f（x）=－b（x－）+.

2b4baa2∴f（）=≤1，∵a>0，b>0，∴a≤2b.

2b4b（2）证明：必要性：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≥－1.据此可推出 f（1）≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.

对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因为b>1，可得0<

1<1，可推出fb（

11）≤1，即a·－1≤1，∴a≤2b，∴b－1≤a≤2b. bb43

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充分性：因为b>1，a≥b－1，对任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1，因为b>1，a≤2

ax－bx2≤2

b，对任意x∈［0，1］，可以推出：

bx－bx2－b（x－

12

）+1≤1，即ax－bx2≤1，∴－1≤f（x）≤1. bb.

综上，当b>1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2

（3）解：因为a>0，0f（x）≤1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b+1，又a≤b+1f（x）≤（b+1）x－bx2

≤1，即f（x）≤1.

所以，当a>0，0102.（1）解：由f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2），x1，x2∈［0，

1］知 2f（x）=f（

xx1111）·f（）≥0，x∈［0，1］，∵f（1）=f（+）=f（）·f（）= 2222221121[f（）]，f（1）＝2，∴f（）＝22．

22111111211∵f（）=f（+）=f（）·f（）=[f（）]，f（）=22，

444442211∴f（）=24．

4（2）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称， ∴f（x）=（1+1－x），f（x）=f（2－x） 又∵f（－x）=f（x），∴f（－x）=f（2－x），∴f（x）=f（2+x）， ∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期． 103.解：（1）∵x1，x2∈［0，

1］都有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）， 2∴f（x）=f（

xx）f（）≥0，x∈［0，1］ 22f（1）=f（

111112+）=f（）·f（）＝［f（）］ 2222243

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f（

111111）=f（+）=f（）·f（）=[f（）]2，f（1）=a＞0，

4444421111∴f()a2,f()a4．

24（2）同上题（2） （3）∵x∈［0，

1］满足f（x1＋x2）＝f（x1）f（x2），I＝2n（n∈Z） 21＋2n］中也满足f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2） 2∴f（x1＋2n+x2＋2n）＝f（x1＋2n）·f（x2＋2n）， ∵x1，x2在［2n，

又∵f（1）=f（1）·f（0），∴f（0）=1，∴f（2n）=1

111111又∵f（）＝f2（），又∵f（）＝a2，∴f（）＝a2n

2n2n22(n1)1lna1)0 ∴an＝f（2n）f（）＝a2n，∴lim(lnan)lim(nn2n2n评述：本题考查函数的概念、图象，函数奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识．设

计循序渐进，依托基本的函数，进行一定的抽象并附加了一些条件，得到了一个既抽象又有一定具体背景的周期函数，这种抽象考查了对函数概念、函数性质的认识程度，特别是运用函数已知的图形的几何特征进一步剖析，挖掘函数未知的性质。在本题的设计中，以中学函数的基本概念为出发点，问题的提升与深入自然、明确.从函数基本知识，基本技能的考查延伸到数列极限的考查衔接紧密合理自然.体现了综合性试题的多方面的要求.

※

104.解：设画面高为x cm，宽为λx cm，则λx2＝4840. 设纸张面积为S，有S＝（x＋16）（λx＋10）＝λx2＋（16λ＋10）x＋160，

将x＝

2210＝

代入上式，得S＝5000＋44

10（85）.

当8

5，即λ＝

55（＜1)时，S取得最小值， 885×88＝55 cm. 8此时，高：x＝

4840＝88 cm，宽：λx＝

答：画面高为88 cm，宽为55 cm时，能使所用纸张面积最小. 评述：本题主要考查建立函数关系式、求函数的最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．

105.解：在定义域内任取x1＜x2，

∴f（x1）－f（x2）＝

x1ax2a(x1a)(x2b)(x1b)(x2a) x2bx2b(x1b)(x2b)43

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(ba)(x1x2)，

(x1b)(x2b)∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0，

只有当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时函数才单调． 当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时f（x1）－f（x2）＞0．

∴f（x）在（－b，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b）上是单调减函数． 评述：本小题主要考查了函数单调性的基本知识． ※

106.解：（1）f（0）=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样． （2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：f（0）=1，f（1）=在［0，＋∞）上f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1． （3）设仅清洗一次，残留的农药量为f1＝

21， 21，清洗两次后，残留的农药量为

1a2116f2＝， 22a(4a)1()22116a2(a28)则f1－f2＝． 2222221a(4a)(1a)(4a)于是，当a＞2因此，当a＞2当a=2

2时，f1＞f2；当a=22时，f1＝f2；当0＜a＜22时，f1＜f2． 2时，清洗两次后残留的农药量较少；

2时，两种清洗方法具有相同的效果；

2时，一次清洗残留的农药量较少．

当0＜a＜2

评述：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力．以及函数概念、性

质和不等式证明的基本方法．

exa107.解：（1）∵f（x）=x是R上的偶函数，∴f（x）－f（－x）=0．

aeexaexa11xx0(a)ex(a)ex ∴

aeaeaa10(a)(exex)0

a43

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ex－e-x不可能恒为“0”，∴当

1－a＝0时等 a式恒成立，∴a＝1．

（2）在（0，＋∞）上任取x1＜x2，

ex111xexx(exex)(x) f（x1）－f（x2）＝xaeeee12121212(exex)(exex)122111xx(ee)(1) xxxxeeee121212(exex)(exex1)∵e＞1，∴0＜ee,ee＞1，∴ee＞1＜0， xxeex1x2x1x2x1x2121212∴f（x1）－f（x2）＜0，

∴f（x）是在［0，＋∞）上的增函数．

评述：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识． ※

108.解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为

300t,0t200,f（t）＝

2t300,200t300;由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为 g（t）＝

1（t－150）2＋100，0≤t≤300． 200（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－g（t），

121175tt,0t200,20022即h（t）＝

1t27t1025,200t300.22200当0≤t≤200时，配方整理得h（t）＝－

1（t－50）2＋100， 200所以，当t＝50时，h（t）取得区间［0，200］上的最大值100； 当200＜t≤300时，配方整理得 h（t）＝－

1（t－350）2＋100， 200所以，当t＝300时，h（t）取得区间（200，300］上的最大值87.5.

综上，由100＞87．5可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.

评述：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.

43

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109.解：原函数式可化成f（x）＝lga(x121)4lga． lgalga由已知，f（x）有最大值3，所以lga＜0，并且1＋4lga＝3， lga1． 4整理得 4（lga）2－3lga－1＝0，解得 lga＝1，lga＝14110004∵lga＜0，故取lga＝．∴a＝10．

410评述：本小题主要考查二次函数最大值和最小值的概念以及对于配方法、对数方程、二

次方程的解法的运用能力.

lgx,(1x)110.证明：方法一：由已知f（x）＝|lgx|＝

lgx,(0x1).∵0＜a＜b，f（a）＞f（b），∴a、b不能同时在区间［1，＋∞）上，又由于0＜a＜b，

故必有a∈（0，1）；

若b∈（0，1），显然有ab＜1．若b∈［1，＋∞)，由f（a）－f（b）＞0， 有－lga－lgb＞0，故lgab＜0，∴ab＜1．

方法二：由题设f（a）＞f（b），即|lga|＞|lgb|，上式等价于（lga）2＞（lgb）2 （lga＋lgb）（lga－lgb）＞0，lg（ab）lg

aa＞0，由已知b＞a＞0，∴＜1， bb∴lg

a＜0，∴lg（ab）＜0，0＜ab＜1 b评述：本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析解决问题的能力.

111.解：当x≤－1时，设f（x）＝x＋b，则由0＝－2＋b，即b＝2，得f（x）＝x＋2；

当－1＜x＜1时，设f（x）＝ax2＋2，

则由1＝a（－1）2＋2，即a＝－1，得f（x）＝－x2＋2； 当x≥1时，f（x）＝－x＋2．

图2—21 x2, x1故f（x）＝2x, 1x1

x2. x111时，f（x）＝x＋＋2，

2x22112.解：（1）当a＝

∵f（x）在区间［1，＋∞）上为增函数，

43

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∴f（x）在区间［1，＋∞）上的最小值为f（1）＝

7． 2x22xa（2）方法一：在区间［1，＋∞）上，f（x）＝＞0恒成立

xx2＋2x＋a＞0恒成立.

设y＝x2＋2x＋a，x∈［1，＋∞），

y＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1递增，∴当x＝1时，ymin＝3＋a， 于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）恒成立，故a＞－3． 方法二：f（x）＝x＋

a＋2，x∈［1，＋∞）， x当a≥0时，函数f（x）的值恒为正，当a＜0时，函数f（x）递增， 故当x＝1时，f（x）min＝3＋a，于是当且仅当

f（x）min＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞－3.

x22xa方法三：在区间［1，＋∞)上f（x）＝x恒成立x2＋2x+a＞0恒成立

xa＞－x2－2x恒成立

又∵x∈［1，＋∞］a＞－x2－2x恒成立

∴a应大于u=－x2－2x，x∈［1，＋∞)的最大值

∴a＞－（x＋1）2＋1，x=1时u取得最大值，∴a＞－3

评述：本题主要考查函数与不等式性质及分类讨论的数学思想方法. 113.解：设

3lgx2＝y，原方程化为y－y2＋2＝0．

解得y＝－1，y＝2． 因为由

3lgx2≥0，所以将y＝－1舍去.

3lgx2＝2，得lgx＝2，所以x＝100．

经检验，x＝100为原方程的解.

评述：本题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力.训练不规范，往往不验根造成失分.

114.解：（1）由点A的坐标为（0，9）得c=9，即轨迹方程为y＝ax2＋9，令y=0，

得ax2＋9＝0，x2＝－

9. a由题意，6＜

199＜7，解得：a.

449a9. 4043

（2）若物体又经过点P（2，8.1），则8.1=4a+9，解得a=学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com

因为199a.所以物体能落在D内. 44049x

9115.解：将方程变形得9·3

3x－80＝0，

于是9·（3x）2－80·3x－9＝0 分解因式得（3x－9）（9·3x＋1）＝0， 因为9·3x＋1≠0，所以3x－9＝0，x＝2， 经检验x=2是原方程的解.

评述：本题主要考查指数方程的解法，属常规题.应用换元法，将方程转化成二次方程求解.

116.解：f（x1）+f（x2）=logax1+logax2=loga（x1·x2），∵x1，x2∈（0，+∞），

∴x1·x2≤（

x1x22

）（当且仅当x1=x2时取“=”号） 2x1x221x1x21当a>1时，有logax1x2≤log（）.∴log（≤loga，（logax1+logax2）aax1x2）

2222≤loga

x1x2xx21，即［f（x1）+f（x2）］≤f（1）（当且仅当x1=x2时，取“=”号） 222x1x22xx21），即［f（x1）+f（x2）］≥f（1）222当0（当且仅当x1=x2时，取“=”号）.

评述：本题考查了对数的基本性质、平均值不等式等知识.运用了分类讨论的思想，考查了推理论证的能力.

●命题趋向与应试策略

1.有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，前些年大多数考具体函数，近几年都有在不给出具体函数的情况下求解问题的试题，可见有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.

加强对函数单调性、奇偶性的应用训练也是复习的重点，也就是在已知函数已具有奇偶性或单调性的性质条件下，在解题中如何合理地运用这些性质解题.首先应熟练掌握二次函

1数、反比例函数、指数函数、对数函数，以及形如y=x+的函数等一些常见函数的性质，

x归纳提炼函数性质的应用规律.再如函数单调性的用法主要是逆用定义等.

2.与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力.

3.与反函数有关的试题，大多是求函数的解析式，定义域、值域或函数图象等，一般不需求出反函数，只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决.

4.与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的

43

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性质为依托，结合运算推理来解决.能运用性质比较熟练地进行大小的比较、方程的求解等.会利用基本的指数函数或对数函数的性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

5.与映射有关的试题：1998年以前的全国试题均没有涉及映射的概念，在1999年和2000年连续两年考查了映射的概念，说明尽管《考试说明》中对映射的要求不高，但在高考中有加强的趋势，我们在复习中要予以重视.在映射问题中，有许多的题目叙述是映射，实际问题是函数，因为数集到数集的映射即为函数.

6.本章内容在高考解答题中，文科大多以对数函数为背景，结合对数运算，以考查对数函数的性质及图象等题型为主；理科解答题多以方程或二次函数为背景，综合考查函数、方程和不等式的知识，重视代数推理能力.此类试题，一般要经过变形转化，归结为二次函数问题解决.这是近年高考的重点和热点.在此基础上，理解和掌握常见的平移、对称变换方法.以基本函数为基础，强化由式到图和由图到式的转化训练.

加强函数思想、转化思想的训练是本章复习的另一个重点.善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.

7.理解掌握常见题的解题方法和思路，构建思维模式，并以此为基础进行转化发展，即在造就思维依托的基础上，还要打破框框，发展能力.

8.要认真准备应用题型、探索题型和综合题型，要加大训练力度.要重视关于一次函数、二次函数、对数函数的综合题型，重视关于函数的数学建模问题，重视代数与解析几何的综合题型，重视函数在经济活动和生活实际中的应用问题，学会用数学思想和方法寻求规律找出解题策略.

对函数有关概念，只有做到准确、深刻地理解，才能正确、灵活地加以运用.函数是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学代数的始终.数、式、方程、不等式、数列及极限等，是以函数为中心的代数，高考考查的内容，几乎覆盖了中学阶段的所有函数，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数、对数函数，还有三角函数、反三角函数等，也涉及到函数的所有主要的性质，且以考查三基为主，通性通法为主，因此更应加强函数与三角函数、不等式、数列等各章间知识的联系，养成自觉运用函数观点处理问题的习惯和培养自身的能力.

所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题.

函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念，函数思想的实质就是用联系、变化的观点提出数学对象，建立函数关系，求得问题解决.近几年高考中，考查函数的思想方法已更加突出，特别是1993年开始考查应用题以来，考查力度逐年加大，都需用到函数的知识与方法才能解决，从如何建立函数关系式入手，考查函数的基本性质，以及数形结合、分类讨论、最优化等数学思想，重视对实践能力的考查是高考的新动向.因此要强化函数思想的应用意识的训练，才能适应高考新的变化.

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