2021年高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.

2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的． 1.已知集合A{1,2}，B{x|ax1}，若BA，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为

A. 1, B. 1, C. 1,0, D. 0,1, 2.若iz1i（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．已知函数f(x)(2x2x)ln|x|的图象大致为

12121212

4.《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱

180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多

少税?”则下列说法中错误的是

A.甲付的税钱最多 B.乙、丙两人付的税钱超过甲 C.乙应出的税钱约为32 D.丙付的税钱最少 5. 若sin752，则cos302 3454 C. D. 999A.  B. 596.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇

·1·

文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7.若a，b，c，满足2a3，blog25，3c2，则

A. cab B. bca C. abc D. cba

x2y28.已知双曲线221(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2，圆x2y2b2与双曲线在第一象

ab限内的交点为M，若|MF1|3|MF2|，则双曲线的离心率为

A.3 B.2 C.3 D.2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

营业收入占比 净利润占比 则下列判断中正确的是

A. 该公司2019年度冰箱类电器营销亏损

B. 该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供

D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低

空调类 冰箱类 小家电类 其它类 90.10% 95.80% 4.98% 0.48% 3.82% 3.82% 1.10% 0.86% sinx,x410.已知函数f(x)，则下列结论正确的是

cosx,x4A. f(x)不是周期函数 C. f(x)的图象关于直线xB. f(x)奇函数

4对称

D. f(x)在x5处取得最大值 2·2·

11.设A,B是抛物线yx2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是 A. 若OAOB，则|OA||OB|2 B. 若OAOB，直线AB过定点(1,0) C. 若OAOB， O到直线AB的距离不大于1 D. 若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|12.如图，矩形

中，为

的中点，将

1，则|BF|1 3沿直线

翻折成

，连结

，为

的中点，

则在翻折过程中，下列说法正确的是 A.存在某个位置，使得B.翻折过程中，C.若D.若

，则

；

的长是定值；

；

的体积最大时，三棱锥

.

，当三棱锥

的外接球的表面积是

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

rrrrrrro13.已知两个单位向量a,b的夹角为30，cma(1m)b，bc0，则m______．

x2y214.已知曲线221（a0，b0）的一条渐近线经过点(2,6)，则该双曲线的离心率

ab为 .

15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．

2x,xa16. 已知函数fx2，

x,xa①若a1，则不等式fx2的解集为__________；

②若存在实数b，使函数gxfxb有两个零点，则a的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①3c16S 3ba222；②5bcosC4c5a，这两个条件中任选一个，补充在

·3·

下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设VABC的面积为S,已知 . (1)求tanB的值;

(2)若S42,a10,求b的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18. （12分）已知在四棱锥PABCD中，AD//BC，ABBCCD点，PAD是等边三角形，平面PAD平面ABCD. （Ⅰ）求证：CD平面GAC； （Ⅱ）求二面角PAGC的余弦值.

19.（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2ana1nN*，数列bn满足b16，

1AD，G是PB的中2bnSn14nN*. an（I）求数列an的通项公式； （Ⅱ）记数列11nTT的前项和为，证明：. nn2bn20．（12分）某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A、B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：

销售件数 频数 8 20 9 40 10 20 11 20 以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市每日共销售食品件数，

n表示销售公司每日共需购进食品的件数.

·4·

（1）求X的分布列；

（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选哪个？

x2y2221. （12分）已知椭圆C:221ab0的离心率为，椭圆C截直线y1所得的线段

ab2的长度为22.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若OAOBOD，判定四边形OADB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.

22.（12分）已知函数f(x)x2ax2lnx(aR). （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个极值点x1,x2x1x2，当a2e

uuruuruuur2时，求fx2fx1的最大值. e高三数学模拟题二参

一、CDBB ABAC

二、9.ACD 10.AC 11.ACD 12.BD

三、13. 423 14. 2 15. 8 16. (1). (,2] (2). (,2)(4,) 17.解: 17.解: (1)选择条件①.

·5·

a2c2b2由題意得8acsin B3acb.即4sinB3g

2ac222整理可得3cosB4sinB4sin B，…………4分 又sin B0.所以cos B0,所以tan B选择条件②.

因为5bcosC4c5a，

由正弦定理得，5sinBcosC4sinC5sinA，

sinB3.…………5分 cosB45sinBcosC4sinC5sin(BC)，

即sinC(45cosB)0，…………3分

在VABC中，sinC0，所以cosB4， 533sinB1cos2B,所以tanB.…………5分

54(2)由tan B33，得sin B,又S42,a 10，

54则S113acsin B10c42,解得c14.…………7分 2252222将S42,a 10,c14代入6c16S36ca中，

2得61416423b1410解得b62.…………10分

222，

18.（Ⅰ）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH. 因为AD//BC，ABBCCD1AD， 2四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形，

OBAC，OB//CD ，CDAC，…………2分

因为VPAD为等边三角形，O为AD中点，

·6·

POAD，

因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD.

PO平面PAD且POAD，

PO平面ABCD，…………4分

因为CD平面ABCD，

POCD，

因为H，G分别为OB， PB的中点， GH//PO，

GHCD.………………5分

又因为GHACH ，

AC,GH平面GAC，

\\CD^平面GAC.…………6分

uuuruuuruur（Ⅱ）取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以OE,OD,OP的方向为x轴、y轴、z轴的

正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设AD4，则P0,0,23，A0,2,0，C313,1,0，D0,2,0，G2,2,3

uuuruuur33AP(0,2,23)，AG(,,3)，…………8分

22设平面PAG的一法向量nx,y,z.

ruuur2y23z0rnAP0y3z .令z1，则n(1,3,1). 由ruuur33xzxy3z0nAG022uuur由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量CD(3,1,0)，…………10分

ruuurruuurnCD15rcosn,CDruuu

5|n||CD|二面角PAGC的平面角的余弦值为15.…………12分

5·7·

19.解析：（I）由Sn2ana1， 当n2时，Sn12an1a1， 两式相减得an2an1，…………3分 因为bnSn14， an所以6a114，解得a11，……4分 a1所以数列an是公比为2，a11的等比数列，

an的通项公式为an2n1.…………6分

n（Ⅱ）由Sn2ana121，

得bn2n13，……7分 n121112n1即，………………9分 nn1nn1bn21212121所以Tn111111L1n1 012n1212121212121111n. ……………………12分 22121211555520.解：（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为，，， .

X取值为16，17，18，19，20，21，22. ………………1分

111124PX16，PX172；

552555252211612116PX182； PX1922；

55552555552511215112PX202 ； PX2125555255525111PX22，………………5分

5525·8·

所以X的分布列为

X 16 17 18 19 20 21 22 P 1 254 256 256 255 252 251 25………………6分

（2） 当n19时，记Y1为A，B销售该食品利润，则Y1的分布列为 Y1 1450 1600 1750 1900 1950 2000 2050 P 1 254 256 256 255 252 251 25EY1145014665211600175019001950200020501822. 25252525252525………………9分

当n20时，记Y2为A,B销售该食品利润，则Y2的分布列为

Y2 1400 1550 1700 1850 2000 2050 2100 P 41 25256 256 255 252 251 25EY2140014665211550170018502000205021001804.因为25252525252525EY1EY2 ，故应选n19. ………………12分 c22a2121. 解：(Ⅰ)由221,解得a2,bc2 ………………3分

a2bab2c2·9·

x2y2得椭圆C的方程为1. ………………4分

42（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为x1或x1， 此时四边形OADB的面积为6．………………5分

当直线l的斜率存在时，设直线l方程是ykxm，联立椭圆方程

ykxm2222 12kx4kmx2m40 xy212484k2m224km2m240，x1x2 , ………………7分 ,x1x22212k12k2m

12k2y1y2kx1x22m2224k22m2,

AB1k12k2点O到直线AB的距离是dm1k2 ………………9分

uuruuruuur4km2m,y由OAOBOD得，xD， D12k212k24km2m22因为点D在曲线C上，所以有12k12k1，

42整理得12k22m2，………………11分

由题意四边形OADB为平行四边形，所以四边形OADB的面积为

22SOADBm22m4k22m2224k22m2 ABd1k22212k12k1k2由12k22m2得SOADB6, 故四边形OADB的面积是定值，其定值为6．

………………12分

222.解：（1）由f(x)xax2lnx得f(x)2xa2； x·10·

因为x0，所以2x24； x20在(0,)上恒成立，所以f(x)在(0,)上单调递x因此，当a4时，f(x)2xa增；………………2分

22aa162当a4时，由f(x)2xa0得2xax20，解得x或

x4222aa216aa16aa16

；由f(x)2xa0得；0xxx444aa216aa216aa216aa216,上单调递增；在,，所以f(x)在0,4444上单调递减；………………4分

综上，当a4时，f(x)在(0,)上单调递增；

aa216aa216,上单调递增；在，当a4时，f(x)在0,44aa216aa216,上单调递减. ………………5分

44（2）若f(x)有两个极值点x1,x2x1x2，

由（1）可得， x1,x2是方程2x2ax20的两不等实根， 所以x1x2a，x1x21，………………6分 222因此fx2fx1(x2ax22lnx2)(x1ax12lnx1)

x22x122(x1x2)(x1x2)2lnx2x1x12x222ln22x222lnx22，…7分 x1x1x2令tx2，则f(x2)f(x1)21122x2lnxt2lnt； 222x2t2aa16

由（1）可知x2，

4·11·

当a2e2时， e2e244e816， eee4aa216x242所以tx2e,，………………10分 令g(t)t2lnt，te,，

1t12t22t1(t1)2则g(t)2120在te,上恒成立； 2tttt所以g(t)t2lnt在te,上单调递减，

1t1e2. e1即fx2fx1的最大值为e2.………………12分

e故g(t)maxg(e)·12·