市中区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ A．2）

A．（0，1）3． 函数y=sin（2x+A．x=﹣

B．x=﹣

B．（0，]

C．（0，

））

D．[

，1）

B．3

C．4

D．5

=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）

+6x﹣1的极值点，则log2（

2． 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足

）图象的一条对称轴方程为（

C．x=

D．x=

4． 已知f（x）=4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ A．（1，5）B．（1，4）C．（0，4）D．（4，0）5． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ A． C．80

B．72 D．112

）

）

【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.6． 如图，已知平面，

=，

．．

是直线上的两点，是平面

上的一动点，且有

是平面

内的两点，且

，则四棱锥

，，

体积的最大值是（ ）

第 1 页，共 15 页

A．

B． C． D．

7． sin 15°－2sin 80°的值为（ ）

sin 5°A．1 B．－1C．2

D．－2

x2y28． 已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P,Q两点且

ab54PQPF1，若|PQ||PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（ ）.

1231037371010] B. (1,] C. [,] D. [,)A. (1,25522第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

9． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（

）

B．M∩NC．∁IM∪∁IND．∁IM∩∁IN”是“A=30°”的（

）

A．M∪N10．“

A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件C．充分必要条件　　　

D．既不充分也必要条件

11．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知A,B,C三个社区分别有低收入家庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C社区抽取低收入家庭的户数为（ A．48

B．36

）

D．18

22C．24

【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．

3x4y110与圆C：3x4y40上任意(x2)y4交于A、B两点，P为直线n：12．已知直线m：一点，则PAB的面积为（ A．23 B.

）

C. 33 D. 4333 2二、填空题

13．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）间的关系为PP0ekt（P0，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了

第 2 页，共 15 页

消除27.1%的污染物，则需要___________小时.

【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.

14．命题“x(0,)，sinx1”的否定是 ▲ ．215．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是　　　　　　．16．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：

①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1

是“单曲型直线”的是　　　　　　．　　

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是　　　（写出所有正确命题的编号）

①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC②tanA+tanB+tanC的最小值为3

③tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数④若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45°⑤当

tanB﹣1=

时，则sin2C≥sinA•sinB．

18．抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为10，则P点的横坐标为　　　　　　．三、解答题

19．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为

234，，，且各轮考核通过与否相互。345（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。

第 3 页，共 15 页

20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；

（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为

．若O

？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．

21．设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴坐标轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，曲线C2的参数方程为（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；

（Ⅱ）若C1与C2有两个不同的公共点，求m的取值范围．　

（t是参数，m是常数）．

第 4 页，共 15 页

22．（1）已知f（x）的定义域为[﹣2，1]，求函数f（3x﹣1）的定义域；（2）已知f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f（x）的定义域．

23．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2旋转一周所成几何体的表面积．

，AD=2，求四边形ABCD绕AD

24．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，

220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数．

第 5 页，共 15 页

1111]

第 6 页，共 15 页

市中区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）=∵a2014，a2016是函数f（x）=数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an，可知{an}为等差数列，

∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4．故选：C．

【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．　

2． 【答案】C

【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵

=0，

∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，

∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=

＜，∴0＜e＜

．

+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6，+6x﹣1的极值点，

∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．　

3． 【答案】A

【解析】解：对于函数y=sin（2x+

），令2x+

=kπ+

，k∈z，

求得x=π，可得它的图象的对称轴方程为x=π，k∈z，故选：A．

【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．　

4． 【答案】A

【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+ax﹣1得，f（1）=5，

第 7 页，共 15 页

则函数f（x）过定点（1，5）．故选A．　

5． 【答案】C.【

解

析

】

6． 【答案】A

【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】由题知：是直角三角形，又因为，所以PB=2PA。作于M，则。令AM=t，则所以

又底面为直角梯形，所以故答案为：A7． 【答案】

【解析】解析：选A.sin 15°－2 sin 80°

sin 5°

（＋）105sin°°＝－2cos 10°＝

sin 5°

sin 10°cos 5°＋cos 10°sin 5°－2 cos 10°sin 5°sin 5°

sin 10°cos 5°－cos 10°sin 5°sin（10°－5°）＝＝＝1，选A.

sin5 °sin 5°

8． 【答案】C

【解析】如图，由双曲线的定义知，|PF1||PF2|2a，|QF1||QF2|2a，两式相加得

2|PF||QF||PQ|4a|PQ||PF|PQPF|QF|1|PF1|， 11111 ，又，，

4a|PF|122|PF||QF||PQ|(11)|PF|4a11①， 111 ，

，所以。

即为四棱锥的高，

|PF2|

2a(112)112②，在

PF1F2222|PF||PF||FF|1212中，，将①②代入得

第 8 页，共 15 页

11(4a2)(22a(112)112)24c24，化简得：(11)22(112)222(11)

e254,]22y1111t，令，易知在123上单调递减，故

[371011213754(2t)2t24t8452e[,]8()[,]t[,]e22252t4225233ttt ，，，故答案 选

C.

9． 【答案】D

【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，∴M∪N={1，2，3，6，7，8}，M∩N={3}；

∁IM∪∁IN={1，2，4，5，6，7，8}；∁IM∩∁IN={2，7，8}，故选：D．　

10．【答案】B

【解析】解：“A=30°”⇒“故选B

【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．　

11．【答案】C【解析】根据分层抽样的要求可知在C社区抽取户数为10812．【答案】 C

【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.

圆心C到直线m的距离d1，|AB|2rd23，两平行直线m、n之间的距离为d3，∴PAB22”，反之不成立．

180210824．

3602701809的面积为

1|AB|d33，选C．2二、填空题

13．【答案】15

【解析】由条件知0.9P0P0e5k，所以e5k0.9.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为

0.729P0，于是0.729P0P0ekt，∴ekt0.7290.93e15k，所以t15小时.

第 9 页，共 15 页

14．【答案】x0,【解析】

2，sin≥1试题分析：“x(0,)，sinx1”的否定是x0,，sin≥122考点：命题否定

【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p（x0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则就是假命题.15．【答案】　[1，）∪（9，25]　．

【解析】解：∵集合得 （ax﹣5）（x2﹣a）＜0，当a=0时，显然不成立，当a＞0时，原不等式可化为

，

若

时，只需满足，

解得若

；，只需满足，

解得9＜a≤25，

当a＜0时，不符合条件，综上，

故答案为[1，）∪（9，25]．

，

第 10 页，共 15 页

【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．　

16．【答案】　①②　．

【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即对于①，联立

，消y得7x2﹣18x﹣153=0，

，（x＞0）．

∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．对于②，联立

，消y得x2=

，∴y=2是“单曲型直线”．

对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．

对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，

∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．故符合题意的有①②．故答案为：①②．

【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．　

17．【答案】　①④⑤　

【解析】解：由题意知：A≠

，B≠

，C≠

，且A+B+C=π

∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B）=

，

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；当A=

，B=C=

时，tanA+tanB+tanC=

＜3

，故②错误；

第 11 页，共 15 页

若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；

由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；当

tanB﹣1=

，

cosA+，

sinA）=

sinAcosA+

sin2A=

sin2A+

﹣

时，

tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=

，C=60°，

此时sin2C=

sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cos2A=

sin（2A﹣30°）

≤

则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；故答案为：①④⑤

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．

18．【答案】　8　．

【解析】解：∵抛物线y2=8x=2px，∴p=4，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=x+=x+2=10，∴x=8，故答案为：8．

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．　

三、解答题

19．【答案】（1）

2（2）X的分布列为5数学期望为E(X)011124700--100020003000361053第 12 页，共 15 页

解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

234234552-------------4分5（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

212312341，P(X1000)(1)，P(X2000)(1)33346345102342P(X3000)------------------9分

3455P(X0)1所以，X的分布列为数学期望为E(X)020．【答案】

【解析】满分（13分）．（Ⅰ）证明：∵∠A1AD=∴A1O=∴

+AD2=AA12，

，且AA1=2，AO=1，

=

，…（2分）

11124700---------------------12分100020003000361053∴A1O⊥AD．…（3分）又A1O⊥CD，且CD∩AD=D，∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）

（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），则A（0，﹣1，0），A1（0，0，∵且取z=1，得

=

．…（8分）

=

，

），…（6分）

=（x，y，z），

设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为

=（1，m+1，0），

又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．

又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，

第 13 页，共 15 页

∴CD⊥平面A1ADD1．不妨设平面A1ADD1的法向量为由题意得

解得m=1或m=﹣3（舍去）．

∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为

．…（13分）

=

=（1，0，0）．…（10分）=

，…（12分）

【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．　

21．【答案】

+3=0，x2﹣y2+3=0【解析】解：（I）曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，即ρ2（cos2θ﹣sin2θ）可得直角坐标方程：．

曲线C2的参数方程为

（t是参数，m是常数），消去参数t可得普通方程：x﹣2y﹣m=0．

（II）把x=2y+m代入双曲线方程可得：3y2+4my+m2+3=0，由于C1与C2有两个不同的公共点，∴△=16m2﹣12（m2+3）＞0，解得m＜﹣3或m＞3，∴m＜﹣3或m＞3．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为[﹣2，1]，由﹣2≤3x﹣1≤1得：x∈[﹣，]，

故函数y=f（3x﹣1）的定义域为[﹣，]；’（2）∵函数f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，

第 14 页，共 15 页

∴x∈[﹣1，4]，∴2x+5∈[3，13]，

故函数f（x）的定义域为：[3，13]．　

23．【答案】

【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：

S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1=

=

=

24．【答案】（１）x0.0075；（２）众数是230，中位数为224．【解析】

试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1

试题解析：（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025)201，∴x0.0075．

考点：频率分布直方图；中位数；众数．

第 15 页，共 15 页