方阵问题
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学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。 核心公式： 一、实心方阵
1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数 2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1 3．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多2 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 5、每层数=（每边数-1）×4 二、空心方阵
1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数 2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2
=（最外层每边数-层数）×层数×4
=（最外层数+最内层数）×层数÷2 3、内层数=外层数-8 4、每层数=（每边数-1）×4
5、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
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【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人） 16=256（人） 整个方阵共有学生人数：16×
答：方阵最外层每边有16人，此方阵有256人。
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。 解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个） 第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个） 第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）. 摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）
解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。 （14-3）×3×4=132（个）
答：摆这个方阵共需132个围棋子。
【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？ 解析：依据：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1可知每边的人数是：
(271)214（人）
原人数是：1414196（人）
【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？ 解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数 因为1010100（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。
例2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列
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减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？
解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式： 去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33，
则去掉的一行（或一列）人数＝(331)217 人
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17172（人）
【巩固】 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？
解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：
（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。
（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。
本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人） 或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人） 还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人） 或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）
答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。 例3：战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？
解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。 （1）中实方阵总人数：12×12=144（人） （2）第四层每边人数：12-2×（4-1）=6（人） （3）空心方阵人数：（6-2）×（6-2）=16（人） （4）中空方阵人数：144-16=128（人） 答：总人数是128人。
小结：中空方阵总人数=外边人数×外边人数-（内边人数-2）×（内边人数-2）
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解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。 （1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人） （2）每个长方形的宽是层数：4人 （3）总人数：8×4×4=128（人） 答：总人数是128人。
小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）×层数×4
【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？
解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）×4
(71)424（面）
例4：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园栽多少棵花？
解析：①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为：92117（棵）。
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：(171)348（棵）。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上
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栽花棵数为：927（棵）
解：大三角形三条边上共栽花：(9211)348（棵） 中间画斜线小三角形三条边上栽花：(92)321（棵） 整个花坛共栽花：482169（棵）
答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。
【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？
解析：如图，实心圆表示小明的位置，可以知道， 这个队列每行都是9人。
解：每行每列数：5219（人） 共有：9981（人）
例5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？
解析1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外层共有棋子数：
（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个） 最外层每边的棋子数：56÷4+1＝15（个） 解析2：如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。
每一部分的棋子数：200÷4＝50（个） 每一部分每排的棋子数：50÷5＝10（个） 最外层每边的棋子数：10＋5＝15（个） 综合列式为：200÷4÷5＋5＝15（个） 答：最外边一层每边有15枚棋子。
【巩固】队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？
解析1：请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现，有如下特点：
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（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2；
（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。最外层队员的总数：124444（人） 三层共有队员的总数：44(448)(4482)=443628=108（人） 解析2：如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：
（12－3）×3＝9×3＝27（人） 三层共有队员数：27×4＝108（人） 答：彩车周围的少先队员共有108人。
这个问题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。
例6. 军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？ 分析与解：如下图：
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方法一：去掉的一行一列的人数为： 剩下的人数为：
（人）
（人）
（人）
方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即 去掉的人数为：
（人）
例7. 光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？ 分析与解：此题刚好是例1的逆向题，根据正方形队列的特点可知： 原每行人数=（去掉一行一列的人数+1）÷2 即：原来每行人数是
原来准备参加表演的人数：
答：四年级原准备196人参加表演。
例8. 正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？ 分析与解：如下图：
（人）
（人）
方法一：从图（1）可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：
（盏）
方法二：按图（2）把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：
（盏）
答：这个舞厅四周共装彩灯44盏。
例9. 队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。最外层每边12人，问彩车周围的少先队员共有多少人？ 分析与解：
方法一：这是一个只有3层的中空方阵，最外层每边有12人，最外层一共有 （人），第二层每边少2人，即第二层每边10人，第二层共有
（人），比第一
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层总数少8人，同理，第三层总数是 三层共有队员的总数：
方法二：如下图，可把队员分成人数相等的四部分，每一部分的人数：
（人）
（人）
（人）
三层共有队员数：
（人）
方法三：从12行12列的中实方阵中减去中间的空心方阵，就是队员人数：
（人）
例10. 小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外边一层每边有多少个棋子？ 分析与解：
方法一：利用相邻两层之间，每层的总数相差8的特点。可知最外层共有棋子数：
最外层每边的棋子数：
（个） （个）
（个），
方法二：如下图，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子数为： 每一部分每排的棋子数为： 最外层每边的棋子数为：
（个） （个）
列综合算式：
（个）
答：最外层每边有棋子15个。
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课后作业
1、若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？
解析：由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横行与一竖行的人数总和是12＋9＝21人。
又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人，再除以2，也就得到每边人数。列式为（21＋1）÷2＝11人。求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为11×11＝121人，用121人减去差的9人就是原来人数，列式为121－9＝112人。也可以根据原来的方阵再加上12，请你试一试。
答：原有学生112人。
2、 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？ 解析：要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有100人，用100÷4＝25人，每边是不是25人呢？不是的，因为平均分成4份后，还需要再加上1，才正好是每边上的人数，列式应该为100÷4＋1＝26人。因此方阵中一共有26×26＝676人。
答：一共有676人。
3、 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？
解析：如图，最外一层每边摆6枚，根据方阵每行每列个数相等特点，因此一共有6×6＝36枚棋子。最外一层每边有6枚，如果用6×4＝24枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话，那就错了。因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。列式是6×4－4＝20枚。 说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时，可以按上图先划分成4个相等的块，这样每边就有5枚了，因此用5×4＝20枚，也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。
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4、一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？ 解析1：把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可用例6的结论： 去掉一行一列的总人数＝原每行人数×2－1
反复利用4次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为： 去掉4行4列的总人数
＝20×2－1+（20－1）×2－1＋（20－2）×2－1+（20－3）×2－1 ＝40－1=38－1+36－1+34－1 ＝144（人）
解析2：我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵，若去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数＝原正方形方阵每边人数－4，即去掉的总人数 ＝20×20－（20－4）×（20－4） ＝400－256 ＝144（人）
答：去掉4行4列，要减少144人。
5、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？
解析（1）：自己画图可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：12×4－4＝44 （2）：还可以把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：（12－1）×4＝44（盏）
答：这个舞厅四周共装彩灯44盏。
6、“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?
解析：分析思路参见例6，最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数
204÷4÷3+3=20(盆)
答：最外面一层每边有鲜花20盆
7、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 解析：根据四周人数与每边人数的关系可知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。
解：（1）方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6（人）
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（2）整个方阵共有学生人数：6×6=36（人）
答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？
解析：（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数。
（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个。
解：（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）×4=40（个） （2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）×3×4=144（个）
答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子。
9、若干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外一层每边有12人，请你求出总人数。 解析：我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行。
解：由于最外层每边有12人，因此最外层一共有（12－1）×4＝44人，又根据方阵相邻两层，外层比内层人数多8的特点，因此第二层有44－8＝36人，第三层有36－8＝28人，第四层有28－8＝20人。因此一共有44+36+28+20＝128人。
还可以这样想，把四层中空方阵划分如例5的形状，我们发现每个长方形可以看成四排战士，每排有8人组成。因此一个长方形有8×4＝32人，一共有4个长方形，32×4＝128人。
当然还可以先把中空方阵看成中实方阵，然后再减去补上的小中实方阵人数，也可以求出一共有多少人，看成中实方阵后，最外一层每边12人，因此一共有12×12＝144人。又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2，因此第二层每边有12－2＝10人，第三层每边有10－2＝8人，第四层每边有8－2＝6人，第五层每边有6－2＝4人。因此小的中实方阵有4×4＝16人。144－16＝128人就表示一共有战士的人数。
答：一共有128人。
10、有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？
解析：由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆。这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数。因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆。
答：一共摆了144盆。
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11、有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵有杨树，柳树各多少棵?
解析：根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树观察图（1）（2）不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等。即最外层杨，柳树分别为（7-1）×4÷2=12（棵）。
当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵。 解：（1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1）×4÷2=12（棵） （2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵：
杨树：（7×7+1）÷2=25（棵） 柳树：7×7-25=24（棵）
（3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树
柳树（7×7+1）÷2=25（棵） 杨树7×7-25=24（棵）
答：在两种方法中，方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵。
二. 模拟试题：
1. 运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
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（人） （人）
（人）
答：要减少32名运动员。
2. 学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。求这个方阵共有花多少盆？
（盆） （盆）
答：这个方阵共有花100盆。
3. 一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？
（个） 答：最外层应该有28个圆片。
4. 有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？
（个）
（个） （个）
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答：应再增加16个圆片。
5. 进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共 有多少人？
（层）
（人）
答：这个方阵有5层，一共有160人。
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