第１０卷第４期２０１０年２月 科学技术与工程 Ｖｏ１．１０ Ｎｏ．４ Ｆｅｂ．２０１０ ＠２０１０ Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ． １６７１—１８１５（２０１０）４－０８５５－０５ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｎ￣ｎｅｅｉｆｎｇ 随机规划经验逼近问题 －最优解集的 几乎处处Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ收敛性 霍永亮 （重庆文理学院数学与统计学院，重庆４０２１６０） 摘要对随机规划经验逼近问题￡一最优解集序列的几乎处处Ｈａｕｓｄｏｒｆ收敛性进行了研究。首先依据上图收敛性讨论了随 机规划经验逼近问题最优值序列的几乎处处收敛性，其次给出了随机规划逼近问题￡－最优解集序列的几乎处处Ｈａｕｓｄｏｒｆ收 敛性。 关键词 随机规划 中图法分类号经验逼近 ￡一最优解集Ａ Ｈａｕｓｄｏｒｆ收敛 ０２２４； 文献标志码上图收敛性…在随机规划统计估计分析中有关 ，ｍｉｎ Ｅｆ（ｘ， （ ）） 相合性和稳健性等方面起着非常重要的作用，许多 学者利用上图收敛性从不同侧面研究了随机规划的 统计估计问题 引。最近，作者利用上图收敛性研究 ｛ｓ．ｔ． （ ， （∞））≤０， 【 ∈Ｄ （１） ｍ ， ｃＩ； Ｌ 式（１）中 ＝（ ， …．， ） ＥＲ ， （∞）为定义在 了随机规划经验逼近最优解集序列的几乎处处上半 收敛性 。然而一般非线性随机规划逼近最优解集 只具有上半收敛性，而不具有下半收敛性 ｊ。因此 一完备概率空间（ｎ， Ｐ）上的ｍ维连续型随机向量， 紧集ＤＣＲ 是所有的确定约束集。，：Ｒ ×Ｒ 一Ｒ， ｇ：Ｒ × 一 ，Ｅ表示随机变量函数的期望泛函。 些学者转向研究８．最优解集的收敛性，文献［５］ 觑Ｒ ）表示 中的Ｂｏｒｅｌ子集全体， ）表 ≤ 研究了样本轨道优化问题的￡一逼近最优解集的上半 收敛性，文献［９］给出了随机规划ｓ一逼近最优解集 的Ｈａｕｓｄｏｒｆ收敛性的一个充分条件，但对随机规划 经验ｓ．逼近最优解集的几乎处处Ｈａｕｓｄｏｒｆ收敛性 尚未研究。 示定义在 （Ｒ ）上的概率测度全体。令 。＝Ｐ。 ，则 。为定义在觑 ）上的概率测度。即 。Ｅ Ｒ ）。于是问题（１）可改写为 本文在文献［７，９］研究的基础上，依据上图收 敛性研究了随机规划经验逼近最优值序列的几乎处 处收敛性，并给出了随机规划经验逼近￡．最优解集 序列的几乎处处Ｈａｕｓｄｏｒｆ收敛性的一个充分条件。 考虑下列随机规划问题 问题（２）的可行集、最优值和ｅ一最优解集分别记为 Ｓ。、Ｚ。和 ，则 ｓ０＝｛ ∈ Ⅳ：ｆ ｇ（ ，“） ｏ（ｄｕ）≤０， ∈Ｄ｝， ＝｛ ∈Ｓ０：ＪＪ ，ｕ）ｌｘｏ（ｄｕ）≤Ｚｏ＋ ｝。 ｍ ２００９年ｌ１月２日收到 重庆市教委基金项目（ＫＪ０９１２１１）、 重庆文理学院引进人才项目资助 在许多实际问题中，概率测度 。是未知的，而 只有 个样本点（ （ ）， （∞），…， （ ））是已知 的。而 （ ）， ：（ ），…， （∞）是随机取得的 作者简介：霍永亮（１９６５一），男，教授，博士，研究方向：随机最优化 理论，Ｅ・ｍａｉｌ：ｙｏｎ￣ｉａｎｇ－ｈｕｏ＠１２６．ｃｏｒｎ。 ８５６ 科学技术与工程 ｌ０卷 样本。因此，可以认为随机变量 ， ，…， 是 因此，研究随机规划（３）的占一最优解集序列｛ 的且与 有相同的分布。对每一个固定的∞∈ ，观 （∞）｝ 几乎处处Ｈａｕｓｄｏｒｆ收敛于随机规划（２）的 测值（ （ ）， （∞），…， （∞））可以确定一个经验 一最优解集 的问题等价转化为研究无约束规划 １ ｎ 概率测度 （ ，Ａ）＝÷∑厶（¨ ｉ （∞）），ＶＡ∈（５）的占－最优解集序列｛ （ ）｝ 几乎处处Ｈｕａｓ－ ＝ｌ 取Ｒ ）。即Ｖ∞∈力，Ｉｚ （ ，・）Ｅ Ｒ ）。用经验概 ｄｏｒｆｆ收敛于无约束规划（４）的 一最优解集 的 率测度 （ ，・）替代问题（２）中的 。（・），这样得 问题。 到问题（２）的经验逼近模型 本文的记号及基本概念与文献［５—８］一致。 ｍｉｎ ＪＪＲ，ｄ厂（ ＇ ） ｎ（ ’ｄ （…３） １最优值的几乎处处收敛性 ， ｓ．ｔ．ＪＪ ｍ ｇ（ｘ， ） （∞，ｄｕ）≤０， ∈Ｄ 首先给出随机规划问题（２）的逼近最优值序列 问题（３）的司行集、最优值和 一最优解集分别记为 的几乎处处收敛性。 Ｓ （ ）、Ｚ （ ）和 ：（∞），则 引理１．１若随机规划问题（２）满足下列两个 条件： ｓ （ ）＝｛ ∈ ：ＪＪ ｇ（ ，“） （∞，ｄＭ）≤０， ∈Ｄ｝。 （１） ， ）关于以 ）×以 ）可测，对任意 （∞）＝｛ ∈ （∞）：ＪＩ ， （∞，ｄｕ）≤ （ ）＋ ｝。 固定的Ｍ关于 连续，且存在关于 。可积的函数 卢（Ｍ），使得 ，ｕ）ｌ≤卢（“）； 问题（２）和问题（３）又可以分别等价地转化为下列 （２）ｇｉ（ ， ）（ｉ＝１，２，…，ｄ）关于 （ ）Ｘ 问题（４）和问题（５） 取Ｒ ）可测，对任意固定的“关于 下半连续，存在 ｍｉｎ ） （ｄ ）＋ （ ）】 （４） 关于 。可积的函数＾ｙ（ ），使得ｇ （ ，Ｍ）≥ （ ），且 ｍｉｎ ）ｉｚ （∞， ）＋艿ｓ ）（ ）】（５） ｓｎ为正则的。 则有 这里 ｆＬ ，／Ｒｍ ｆ ） （∞，ｄ ）＋ ）ｘ）１’ Ｊ 三 ［ ， ）ｇｏ（ｄ ）＋ （ ）］， ． ． 问题（４）ＮＮ￣（５）的最优值、 一最优解集分别记为 证明参见文献［７］定理３的证明。 ＾ ＾ ＾ ＾ ｚ０、 和ｚ （∞）、 （∞），则有 定理１．１若随机规划问题（２）满足下列两个 ｚ０： ， ： ，ｚ （ ）： （∞）， （∞）： 条件： （１） ， ）关于取 ）×坝 ）可测，对任意 （∞）。其中 固定的ｕ关于 连续，且存在关于 可积的函数 ＝｛ Ｅ ：Ｊ（Ｒ ，ｍ ｕ） （ｄｕ）＋ （” ）≤ 卢（Ⅱ），使得Ｉｆ（ ，Ｍ）ｌ≤ （ｕ）； （２）ｇ （ ， ）（ｉ＝１，２，…，ｄ）关于 （ ）× ＋∞） （６） 觑 ）可测，对任意固定的 关于 下半连续，存在 （ ）：｛ ∈ ：Ｊｆ ， ） （ ，ｄｕ）＋ 关于 可积的函数 （Ｍ），使得ｇｉ（ ， ）≥ （ ），且 ｍ Ｓ。为正则的。 ６ｓ （ ）（ ）≤ｚ （∞）＋ ｊ （７） 则有ｌｉｍ Ｚ （ ）：Ｚ０，ａ．ｓ． ４期 霍永亮：随机规划经验逼近问题￡．最优解集的几乎处处Ｈａｕｓｄｏｒｆ收敛性８５７ 证明 由引理１．１知，存在零测集ＪＵＣ￣Ｏ。使得 对任意固定的 ∈ 、 有 ［ ） （ ，ｄ“）＋ ，（ ） ｅｐｌ ［ ， ） 。（ｄｕ）＋６Ｓｏ（ ）］。 对任意固定的‘１）∈Ｑ＼ 有Ｍ （ ）ｎ Ｄ＝Ｍ （ ）≠ 。从而由Ｄ的紧致性及文献［１Ｏ］中定理７，有 ｌｉｍＺ （∞）＝Ｚｏ ａ．ｓ． （８） 注意到Ｚ。＝Ｚｏ，ｚ （∞）：Ｚ （ ），故ｌｉｍＺ （ｃｃＪ）＝ Ｚｏ ａ．ｓ。 ２ 逼近问题￡－最优解集序列的几乎处处 Ｉ－Ｉａｕｓｄｏｒｆ收敛性 本节给出随机规划问题（２）的 一逼近最优解集 序列的几乎处处Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ收敛性。 设尺 为Ⅳ维欧氏空间，集合ＡＣＲ 到集合Ｂｃ Ｒ 的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ距离定义为 ｄ＿Ｉ：『（Ａ，Ｂ）＝ｍａｘ｛ｅ（ａ，Ｂ），ｅ（Ｂ，Ａ）｝， 这里 ｅ（Ａ，Ｂ）＝ｓｕｐｄ（，，，Ｂ）。 其中 ｄ（ ，Ｃ）＝ｉｎｆ｛ＪＩ 一），ＩＩ：），∈Ｃ｝， ｄ（ ， ）＝＋∞， ∈Ｒ 。 定义２．１称随机集合序列｛Ｓ （∞）｝ 几乎处 处Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ收敛于 ，记为ｌｉｍｄ （．ｓ （（ｃＪ）， ）＝０， ａ．ｓ．如果存在零测集 ４／＇Ｃ／２，使得对任意固定的 ∈ ＼ 满足： ｌｉａｒ ｄⅣ（Ｊｓ （ ），Ｓ０）＝０。 定义２．２对固定的占＞０，称８一最优解集 为 正则的是： ＝ｃｌ［ 。］，这里ｃｌ表示集合的闭包， 其中 Ｍ ｏ。： ｛ ∈Ｓｏ： ，“） 。（ｄ“）＜ｚ。＋８）。 定理２．２若随机规划问题（２）满足下列两个 条件： （１） ，“）关于 月 ）ｘ取 ）可测，对任意 固定的“关于 连续，且存在关于 。可积的函数 ＩＢ（“），使得Ｉｆ（ ，ｕ）ｌ≤卢（ｕ）； （２）ｇ （ ，ｕ）（ｉ：１，２，…，ｄ）关于力（Ｒ ）Ｘ 以 ）可测，对任意固定的 关于 下半连续，存在 关于 。可积的函数 （ｕ），使得ｇ （ ，／／，）≥＿ｙ（／３，），且 Ｓ。和 为正则的。 则有 ｌｉａｒ ｄⅣ（ （ＬＯ），Ｍｏ）：０，ａ．ｓ． 证明 由引理１．１知，存在零测集Ｊ／／＇Ｃ／２，使得 对任意固定的∞∈ ＼ 有 ［ ） （ ，ｄｕ） （ ）］二 ［ ， ） 。（ｄｕ）＋６ 。（ ）】。 为了证明对任意固定的 Ｅ ＼ 有 ｌｉａｒ ｄ （ （∞）， ）＝０，只须证明对任意固定的（￡， ∈ ＼ 有ｌｉａｒ ｅ（ ：（ｍ）， ）：０且ｌｉａｒ ｅ（Ｍｏ，ｇ： （∞））＝０。 首先证明对任意固定的（￡，∈ ＼ 有 ｌｉａｒ ｅ（ （∞）， ）＝０。即需证明：对任意固定的 ∈力＼ 且对任意的ｓ。＞０，存在，ｖ０（ ）。当ｔ／，≥Ｎ （∞）时，有 （ ）ｃ ＋ 。（０）。这里Ｂ蜘（０）＝｛ ∈Ｒ ： ｛Ｉ＜ｓ。｝。下面我们证明：对任意固定的 ∈ ＼ 且对任意包含 的开集Ｉ，，存在Ⅳ０（ ）， 当ｎｔ＞Ｎｏ（甜）时，有 （ ）ｃ 。反设此结论不成 立，则存在某个 。∈ ｛ （蜘）｝，使得 （∞。）∈ 肘：（∞。），但 （ ｏ）诺Ｖ。注意到 （ ｏ）ＣＤ及Ｄ 的紧致性，则｛ （ 。）｝必存在聚点‰。又由于 为 开集，故Ｘ。隹Ｖ。另一方面，注意到式（６）、式（７）和 式（８），由文献［７］定理１（３）和定理２知，对任意固 定的 ∈ ＼ 有ｌｉｍｓｕｐ （ ）ｃ 。其中 ８５８ 科学技术与工程 ｌ０卷 ｌｉａｒ ｓｕｐ （ ）＝｛ Ｅ Ｒ ： 一，卜÷∞ —｝∞ Ｘｎｋ（ ）， 于是 （６０）∈ Ｉ（６０），Ｖ ＥＮ｝。 故 。∈ ，这与 ｃＶ矛盾。特别地，取Ｖ＝ ＋ Ｂ蜘（０）。 ＪＪ ｆ（Ｒｍ ｙ ， （∞），ｕ） （∞，ｄｕ）＋６ｓ ’ （ ）（Ｙ ，ｋ）≤ （ ）＋占。 注意到Ｚ （ ）是有限的，则Ｙ （ ）∈Ｓ （∞）且 其次证明对任意固定的６０∈ｎ＼√ 有ｌｉａｒ ｅ（Ｍｏ， Ｊ Ｒ （Ｙ ，ｋ（０６），ｕ） （ ，ｄｕ）≤Ｚ （６０）＋ 。故 （ ））＝０。即需证明：对任意固定的６０Ｅ ＼ 且。 对任意的 。＞０，存在Ⅳ０（６０），当ｎ≥Ⅳ０（６０）时，有 ｃ （∞）＋Ｂ印（０）。也即需证明：对任意固定的 ０６∈力＼ 且对任意的 ｏ Ｅ ，存在｛ （６０）｝且 （ ） ｏ，使得当ｎ≥Ⅳ０（ ）时， （６０）∈ （６０）。 设 。∈Ｍｏ，由 的正则性，则存在｛Ｙ ｝且ｙ 。， 使得Ｙ ∈ 。，即Ｙ ∈Ｓ０且ｌ Ｒ｜，ｔ厂（Ｙ ，ｎ）肛ｏ（ｄｕ）＜ ｚ０＋８。故ｌ ｍｆ（ｙ ，ｕ）ｐ，ｏ（ｄｕ）＋ （Ｙ ）＜ｚ０＋８。 由引理１．１及式（８），我们有 ¨ ｒ ｒ ，“） （０６，ｄ“）＋ （ ）（ ）一 （＾ ∞）一 ｌ１ ｅｐｔ ［ ）／Ｘｏ（ｄ“）＋ 。（ ）一 ］’ａ．ｓ． 即存在零测集 ｃ力，使得对任意固定的∞Ｅ ｎ＼ ，有 ＩＪｒ， Ｒ ，“） （０６，ｄⅡ）＋６ｓ ）（ ）一 （＾ ∞）一占卜１一 －ｒ－ 【Ｊ． ）ｇｏ（ｄ ）＋ 。（ ）一乞一 】。 对每个固定的｛Ｙ ｝，令 ＝Ｚｏ＋ 一ｆ Ｒ， （－Ｙ ， ） ０（ｄＭ）一８ｓｏ（Ｙ ）， 则 ＞０。取＾ｙ，使得０＜ ＜ ，由文献［９］定义２（２） 知，对任意固定的∞∈ ＼ ，存在｛Ｙ （∞）｝且 Ｙ （ ） ，使得当｜ｊ｝≥Ⅳｎ（∞）时，有 Ｉ Ｒ Ｙ ． （∞），“） （∞，ｄ“）＋ ｓ （６０）（）， ， ｋ（６０））一Ｚ＾（∞）一 ≤ｊ Ｒ√ Ｙ ， ） ０（ｄｕ）＋ ８Ｓｏ（Ｙ ）一ｚｏ一占＋ｙ≤０。 Ｙ （∞）∈ （６０）。即对任意固定的 ∈ ＼ ，且对 每个Ｙ ，存在Ⅳ （∞），当 ≥Ⅳ （∞）时，有Ｙ ． （∞）∈ Ｍ￣（６０）。构造下列序列｛ （ ）｝： ），１． （６０），Ⅳｌ（ ）≤ｎ＜ ｍａｘ｛Ⅳｌ（∞），Ⅳ２（ ）｝＋１。 （６０）＝ ，，２． （６０），ＩＩ１ａ】【｛ⅣＩ（６０），Ⅳ２（∞）｝４－１≤ｎ＜ ｍａｘ｛Ｎ１（∞），＾ （∞）Ⅳ３（∞）｝＋２。 由序列｛ （ ）｝的构造，对所有的ｎ≥Ⅳ０（∞）：＝ Ｎ （ ），有 （ ）∈ （ ）。又由Ｙ 一‰，则有 （∞）— 。。这就完成了证明。 推论２．１若随机规划问题（２）满足下列两个 条件： （１） ，“）关于觑 ）×以 ）可测，对任意 固定的“关于 连续，且存在关于 。可积的函数 （Ⅱ），使得Ｉｆ（ ，Ｍ）Ｉ≤ （ ）； （２）ｇｉ（ ，Ⅱ）（ｉ＝１，２，…，ｄ）关于 （ ）× 以Ｒ ）可测，对任意固定的 关于 下半连续，存在 关于 。可积的函数＾ｙ（ ），使得ｇ （ ， ）≥ （ ），且 和 为正则的。 则有 ｌｉｍ ｄⅣ（ （∞）， ）＝０，ａ．８． ２证明注意到 ：（∞）： 且 ＝ ，由 定理２．１知推论２．１成立。 参考文献 １ Ｓａｌｉｎｅｔｔｉ Ｇ．Ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ｏｆ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ：ｔｈｅ ｅｐｉｇｒａｐｈｉｃａｌ ｖｉｅｗ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ：Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｕｒｙａｓｅｖ Ｓ， ４期 霍永亮：随机规划经验逼近问题￡．最优解集的几乎处处Ｈａｕｓｄｏｒｆ收敛性 ８５９ Ｐａｒｄａｌｏｓ Ｐ Ｍ．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ｋｌｕｗｅｒ Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，２００１： ３６５—３８３ ７霍永亮，刘三阳．随机规划经验逼近最优解集序列的几乎处处上 半收敛性．工程数学学报．２００７；２４（４）：７Ｏ１—７０６ ８霍永亮 非线性随机规划的稳定性理论研究．西安：西安电子科 ２ Ｄｕｐａｅｏｖａ Ｊ，Ｗｅｔｓ Ｒ Ｊ—Ｂ．Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｅｓｔｉｍａ— ｔｏｒｓ ａｎｄ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅ Ａｎｎａｌｓ ｏｆ 技大学博士学位论文，２００６ ９霍永亮，刘三阳，于力．随机规划８一逼近最优解集序列的Ｈａｎｓ— Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，１９８８；１６（４）：１５１７—１５４９ ３ Ａｒｔｓｔｅｉｎ Ｚ．Ｗｅｔｓ Ｒ Ｊ—Ｂ．Ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ｏｆ ｍｉｎｉｍｉｚｅｒｓ ａｎｄ ｔｈｅ ＳＬＬＮ ｆｏｒ ｄｏｒｆ收敛性．应用数学，２００６；１９（４）：８５２—８５６ １０ Ｐｅｎｎａｎｅｎ Ｔ，Ｋｏｉｖｕ Ｍ．Ｅｐｉ－ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｄｉｓｃｒｅｔｉａｔｚｉｏｎｓ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｓ ｖｉａ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｑｕａｄｒａｔｕｒｅｓ．Ｎｕｍｅｒｉｓｅｈｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋ， ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ Ｃｏｎｖｅｘ Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９９５；２（１）：１—１７ ４ Ｈｅｓｓ Ｃ．Ｅｐｉ－ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｎｏｒｍａｌ ｉｎｔｅｇｒａｎｄｓ ａｎｄ ｓｔｒｏｎｇ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ．Ｔｈｅ Ａｎｎａｌｓ ｏｆ Ｓｔａ－ ２００５；１００（１）：１４１—１６３ ｔｉｓｔｉｃｓ，１９９６；２４（４）：１２９８一ｌ３１５ Ａｌｍｏｓｔ Ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｅ－ｏｐｔｉｍａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｓｅｔ Ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ＨＵＯ Ｙｏｎｇ—ｌｉａｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０２１６０，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ） ［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｏ ｓｔｕｄｙ ａｌｍｏｓｔ ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ Ｈａｕｓｄｏｒｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓ－ｏｐｔｉｍａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ａｐ— ｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｖａｌｕｅｓ ｆｏｒ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏ— ｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ａｌｍｏｓｔｇ ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ８一ｏｐｔｉｍａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔｓ ｏｆ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ａｐ— ｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｅｐｉ—ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ． ［Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ］ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ￡一ｏｐｔｉｍａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔｓ
