2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第8章《平面解析几何》（第9课时）（新人教A版）
一、选择题 1．(2013²德州质检)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B.y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x＝0得：y＝－，
∴S△OAF＝³³＝4，∴a2＝，∴a＝±8，故选B.
2．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则²等于( ) A. B．－
C．3 D．－3
解析：选B.法一：(特殊值法)
抛物线的焦点为F(，0)，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)， ∴²＝(，1)²(，－1)＝－1＝－. 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则²＝x1x2＋y1y2.
由抛物线的过焦点的弦的性质知：x1x2＝＝， y1y2＝－p2＝－1. ∴²＝－1＝－.
3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.
解析：选B.|MF2|＝|F1F2|tan30°＝c， 且|MF2|＝，∴＝c，
两边同除以a得e2－1＝e，
即3e2－2e－3＝0.又e＞1，∴e＝.
4．(2013²日照质检)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线－＝1的离心率e的值是( ) A. B. C. D.
解析：选B.将x＝c(c为椭圆的半焦距)代入椭圆方程得，＋＝1，∴y2＝³b2＝³b2＝³b2，∴y＝±，∴＝a，∴b2＝a2，∴e2＝＝，∴e＝，故选B.
5．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( ) A．2 B. C. D.
解析：选C.设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.弦长|AB|＝4³≤. 二、填空题
6．若m＞0，点P(m，)在双曲线－＝1上，则点P到该双曲线左焦点的距离为________． 解析：点P(m，)在双曲线－＝1上，且m＞0，代入双曲线方程解得m＝3，双曲线左焦点F1(－3,0)，故|PF1|＝＝. 答案： 7．(2013²北京东城区检测)已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8. 答案：8
8．(2013²东北三校联考)已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________．
解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．
答案：4x－y－7＝0 三、解答题
9．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两点，m＝，n＝，且m²n＝0，椭圆离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点． (1)求椭圆方程；
(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求k的值． 解：(1)由，解得a＝2，b＝1. ∴所求椭圆方程为＋x2＝1. (2)设直线AB的方程为y＝kx＋. 由?(k2＋4)x2＋2kx－1＝0， x1＋x2＝，x1²x2＝. ∴m²n＝＋
＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋) ＝²＋k²＋＝0. 解得k＝±.
10．中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点为B(0，－1)，右焦点到直线m：x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率k≠0的直线l与C交于M，N两点，使|BM|＝|BN|？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意，b2＝1，设右焦点为F(c,0)， 则d＝＝3，即|c＋2|＝3.
解得c＝，又a2＝c2＋b2＝3，∴a2＝3. ∴所求椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)假设存在k满足条件，设l与C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)． 则两式相减得
(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
设MN的中点为P(x0，y0)，∴k²kOP＝－， 即k＝－.
又∵BP⊥l，∴＝－.
解得即P.
∵要使|BM|＝|BN|，需＋y<1. ∴＋<1，
∴k2<1且k≠0.
∴存在－1一、选择题1．(2013²辽阳质检)抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是( ) A．(，) B．(1,1) C．(，) D．(2,4)
解析：选B.设P(x，y)为抛物线y＝x2上任一点，则P到直线的距离d＝＝＝， ∴x＝1时，d取最小值，此时P(1,1)．
2．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋) D．(2,1＋)
解析：选B.因为|EA|＝|EB|，所以只要∠AEB为锐角即可，则点E应在以F为圆心，AB为直径的圆外，则|AF|＜|EF|，由题意知|AF|＝，|EF|＝a＋c，即＜a＋c，所以b2＜a2＋ac.又b2＝c2－a2，可得2a2＋ac－c2＞0，即e2－e－2＜0，解得e∈(1,2)，故选B. 二、填空题
3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.
解析：
如图，由AB的斜率为，知∠α＝60°，又＝，
∴M为AB的中点．过点B作BP垂直准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°. ∴|BP|＝|AB|＝|BM|.
∴M为焦点，即＝1，∴p＝2. 答案：2
4．已知直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于________． 解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P(，)，k2＝，k1＝，k1k2＝. 由，相减得y－y＝－(x－x)． 故k1k2＝－. 答案：－ 三、解答题
5．已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合． (1)求椭圆C的方程；
(2)△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ 解：(1)∵e＝＝，＋＝1，a2＝b2＋c2， ∴a＝2，b＝，c＝.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线BD的方程为y＝x＋m，m≠－1， ∴?
4x2＋2mx＋m2－4＝0，
∴Δ＝－8m2＋＞0?－2＜m＜2，且m≠－1， x1＋x2＝－m，① x1x2＝，②
∵|BD|＝|x1－x2|＝ ，
设d为点A到直线BD：y＝x＋m的距离， ∴d＝，
∴S△ABD＝|BD|d＝≤，当且仅当m＝±2时取等号．
因为±2∈(－2，－1)∪(－1,2)，所以当m＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为.
