第22卷第5期1999年10月
合肥工业大学学报(自然科学版)
JOURNALOFHEFEIUNIVERSITYOFTECHNOLOGY
.22№5VolOct.1999
高层结构与土动力相互作用分析的耦合法
黄东升1, 刘方强2, 许海燕2
(1.中国房地产开发集团合肥公司,安徽合肥 230061;2.合肥工业大学土木建筑工程学院,安徽合肥 230009)
摘 要:文章导出了特解边界元与动力有限元的耦合方程,并使耦合方程的自由度缩减到有限元域及其和边界元域的耦合边界上。这样得到的耦合方程不增加原有限元方程的带宽,易于计算机编程。最后对剪力墙结构与土动力相互作用问题作了数值分析。
关键词:特解边界边;耦合方程;动力相互作用
中图分类号:TU435 文献标识码:A 文章编号:100325060(1999)0520071205Dynamicsoilandhigh-risestructureinteraction
analysisbycouplingmethod
122
HUANGDong2sheng, LIUFang2qiang, XUHai2yan
(1.ChinaStateHousing&Real2EstateDevelopmentGroup,HefeiCO.,Hefei230061,China;2.SchoolofCivilEngineering,HefeiUni2versityofTechnology,Hefei230009,China)
Abstract:Thecouplingequationofparticularsolutionboundaryelement(BE)andfiniteelement(FE)isderived.ThefreedomofcouplingequationisreducedsothatnotonlythefreedomoffiniteelementdomainbutalsothatofcouplingboundaryofbothFEdomainandBEdomainareincluded.Theequa2tiondoesnotincreasethewidthofthematrixoforiginalfiniteelementequation,anditiseasytobeprogrammed.Numericalanalysisofshearwallandsoilsystemisalsogiven.
Keywords:particularsoluticonboundaryelement;couplingequation;dynamicinteraction
土与结构相互作用是一个十分复杂的过程,目前还没有一个理想的数学物理模型能模拟这一复杂
的相互作用过程。应用有限元法研究土与结构相互作用问题已比较成熟,应用边界元法或耦合法来研究这一课题,还有许多问题有待于进一步探讨。人们早期的工作大多集中于变换域内。由于数值变换及其反演的计算工作量甚大,且Laplace反演的稳定性差,其精度直接影响分析精度。于是近十年来,人们开
[4]
始寻求新的途径[1～3]。本文应用直接耦Brebbeia应用Kelvin基本解建立了时域中的特解边界元格式。
合法建立了特解边界元与动力有限元的耦合方程,并对剪力墙与土的相互作用问题作了分析。
收稿日期:1999205219;修改日期:1999207201
作者简介:黄东升(19-),男,硕士,中国房地产开发集团合肥公司工程师.
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合肥工业大学学报(自然科学版)1999年第22卷(5)
1 弹性动力问题的特解边界元方程
应用线性微分方程理论,导出弹性动力问题的特解边界元格式为[5]
bMU+HU=GP式中
M=(HD-GT)K
(1)(2)
矩阵D、T分别由下式算得
m
Dik(x,F)=-m
Tik(x,F)=QC4r-C5Rrink+
QC
c1r-C2R)rDC3YiYkrik-
2
(3)
C6r-2C2RYRni+C6r-2C2RD2C3YiYkrYknj(4)ik-
式中 G——拉梅常数
Q——介质密度
ni——边界点处的外法线向量
mmF——第m源点,Yi=Xi-FiR——弹性体的特征尺寸
r——场点到源点的距离,r=ßX-mFß
Rik——Kronic记号
对任一单元e,矩阵H、G中的元素分别由下式计算
hij
(e,l)
=
gij
(e,l)
∫∫=
∫∫F
-11
-11-1
-1
11
3
))Nl(G)ßJßdGuij(F,x(G1dG23
(5)(6)
ij
(F,x(G))Nl(G)ßJßdG1dG2
式中 L=1,2,…,M,表示单元结点号
M——单元结点数l
)——形函数N(G
ßJß——Jacobi行列式3
)),t3))——奇异基本解uij(F,x(G,x(Gij(F矩阵K=Q-1,Q由下式确定
m
qik(x,F)=(R-
r)Dik(7)
(6)中,当i≠j时,积分在常义下可积,当i=j时,积分仅在柯西主值意义下存在。式(5)、C1～C6的取
值参见文献[5],本文不再列出。
2 耦合方程
弹性动力问题的有限元方程
{baMu+Cu+ku=P
{式中 M——质量矩阵
C——阻尼矩阵K——刚度矩阵U——结点位移列向量
图1 耦合求解域
(8)
考察图1所示的域8=81+82。
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第5期黄东升等:高层结构与土动力相互作用分析的耦合法73
其中 81——有限元求解域
82——边界元求解域,两域的边界结点划分协调
记边界元域结点为a类点,有限元域结点为b类点,耦合面结点为c类点。以G-1左乘(1)式两边得
3b3
(9)Mu+Hu=P式(9)中:M
3
{, H
=G-1M
3
(9)按节点分类写成分块形式=G-1H,式(8)、
bcccacccMbb MMcb MMM
aaca
ub
c
bb+u
ua
c
Cbb CbcCcb CccHH
aaca
ub
c
aa+u
accc
Kbb KbcKcb KccPaPc
3
ubuc
=
PbPc
(10)(11)
33
M M
33
b33
b+u
H H
33
uauc
=
33
(11)中,引入耦合条件uc式(10)、=uc,Pc=-Pc,消去耦合面上的力向量,得到如下形式的耦合方程
ba(12)Au+Bu+Du=P
M
aa
3
0
MM
bbcb
MMM
cc
acbc
cc
3
式中A=0
M
ca
(13)
3
3
+M
0
B=
00
CbcCcc0Cbb0Ccb
H
aa
(14)
H
3
3
0
KbbKcb
PaPb
ac
D=0
Hua
ca
KbcKcc+H
cc
(15)
3
3
U=ub P=uc(16)
0
方程(12)虽然形式简单,但增加了原有限元方程的阶数,破坏了原有限元方程的对称性和稀疏性,
不利于求解。为了寻求更好的求解方法,对方程(12),仅考虑有限元域点,则有
ba(17)Mu+Cu+Ku=P式中
M=
C=K=U=
MM
bbcb
MM
cc
bc
cc
+M
3
(18)(19)
Cbb CbcCcb CccKbbKcbUbUc
KbcKcc+H
cc
3
(20)(21)
uaua
=
P
M
ca
PaPc
Pc=-
b3
H
ca
3
(22)
式(17)具有明确的物理意义,它反映了由于土与结构的相互作用,使结构的刚度矩阵和质量矩阵都
发生了改变,这与以往把土作为弹性支承来考虑土与结构相互作用有质的区别,利用式(17)可以很容易求解土结系统的地震反应问题,作者将另行文说明。考察式(11),有
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合肥工业大学学报(自然科学版)
M
3
1999年第22卷(5)
3
aa
H
aa3
uaua
b+M
ac
3
H
ac+
ucuc
b=Pa(23)
从而有
uaua
b=M
aa
3
Hb
aa3-
Pa-M
ac
3
H
ac3
ucuc
b(24)
(24)代入(17)得将式(22)、
Mu+Cu+Ku=P
a
(25)
式中
M=K=
MM
bbcb
M
M
cc
bccc
+M
3
-Qcc3
-Qcc
(26)(27)(28)
KbbKcb
PbFcMM
Kbc
Kcc+HP=
cc
3
Fc=
Qcc Qcc=
3
MM
3
ca
3
H
3
ca3
aa
3
H
3
aa3--
PaM
ac
(29)
3
ca
H
caaa
3
H
aa H
ac3
(30)
矩阵C同式(19),向量U意义同(21)。从式(25)可以容易的求解得系统的瞬态问题。对于自由振动问题,方程(25)退化为
b(31)MU+KU=0 并由此可以得到广义特征问题
K5-
X2M5=0(32)
式中 5——n阶振型向量
X——5的振动频率
仿有限元中的归一化方法则不难得出M、K亦满足正交性。耦合方程(25)的上述特征,给问题的求解带来诸多的方便,可以容易地引入有限元方程的解法,它克服了方程(12)可能有的病态,增加了求解精度。
3 无穷边界元
对于半无限地基,当采用全平面域上的基本解时,就要在无限边界上划分单元。如果仅用一般的边界单元,则必须对无限边界作近似处理。这种处理在动力问题中改变了动力边界条件。引起较大的误差。为此引入无穷边界元。
图2所示为半元限平面域的两种无穷元。
图2 无穷边界单元
无穷元应满足:无限远处坐标为无穷,位移有ln种单元的插值函数,本文不再列出。
1r
奇性,面力为零及刚体位移。文献[5]给出了这两
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第5期黄东升等:高层结构与土动力相互作用分析的耦合法75
4 结构与土系统的动力分析
图3所示剪力墙,承受自身平面内的水平冲击荷载。地基参数:弹性模量E3=11724×107Nm2,
43102
密度Q3=2165×10Nm,泊松比L3=0125;剪力墙参数:弹性模量Ec=2185×10Nm,密度
43Q为了保证耦合面位移模式的协调,无论对有限c=215×10Nm,泊松比Lc=0101,墙厚t=0116m。
元域还是边界元域,都采用二次插值函数。即在有限元域采用四结点平面等参元,在边界元域采用一维三结点等参元。引入振型阻尼,用Newmark方法求得系统的动力响应。图4给出A点的位移时程曲线。表1给出了剪力墙的自振频率。
图3 受冲击荷载作用的剪力墙 图4 剪力墙A点的位移时程曲线
表1 剪力墙的自振频率
振 型本文方法有限元法
1215052104
211172210137
3161724211
4281133-5341112-
结果表明,由于土结相互作用,使结构的前几阶振型频率被放大。
[参 考 文 献]
[1] KarabalisDL,BeskosDE.Dynamicresponseof32Drigidsurfacefoundationsbytimedomainboundaryelementmethod[J].
～93.EarthquakeEngngstructDyn,1984(2):73
[2] KarablisDL,BeskosDE.Dynamicresponseof32DflexiblefoundationsbytimedomainBEMandFEM[J].SoilDynEarthquake
～101.Engng,1985(4):91
[3] BrebbiaCA,GeorgiouP.Combinationofboundaryandfiniteelementsforelastostatics[J].ApplMath.Modelling,1979(3):212
～220.
[4] NardiniD,BrebbiaCA.Transientdynamicanalysisbytheboundaryelementmethod[J].Proc5thIntContBEMHroshima,1983
(6):719～730.
[5] 李庆斌,周鸿钧,林 皋等.特解边界元法及其工程应用[M].北京:科技文献出版社,1992.
(责任编辑 张和平)
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