DOI:10.14075/j.jgg.2008.01.007
第28卷第1期2008年2月
大地测量与地球动力学
JOURNALOFGEODESYANDGEODYNAMICS
Vol.28No.1 Feb.,2008
文章编号:1671-5942(2008)01-0101-04
卡尔曼滤波模型误差的影响分析
许阿裴 归庆明
1)
1,2)
＊
韩松辉
1)
1)信息工程大学理学院,郑州 4500012)信息工程大学测绘学院,郑州 450052鉴于现实模型系数矩阵和随机模型含有误差,推导了Kalman滤波模型现实滤波值与真实滤波值之间的摘 要 差异,讨论了系数矩阵和随机模型的误差对滤波值和残差的影响。alman滤波;模型误差;系数矩阵;随机模型;仿真关键词 K
中图分类号:P227 文献标识码:A
ANALYSISOFMODELERROREFFECTONKALMANFILTERING
XuApei,GuiQingming
1)
1,2)
andHanSonghui
1)
1)InstituteofScience,PLAInformationEngineeringUniversity,Zhengzhou 450001
2)InstituteofSurveyingandMapping,PLAInformationEngineeringUniversity,Zhengzhou 450002Abstract Thedifferencebetweenthepracticalfilteringvalueandtherealfilteringvalueisdeducedinviewof
thefactthatthereareerrorsinthecoefficientmatrixandthestochasticmodelinpractice.Theinfluencesoftheer-rorsofthecoefficientmatrixandthestochasticmodelonthefilteringvalueandtheresidualsarediscussed.Keywords:Kalmanfiltering;modelerror;coefficientmatrix;stochasticmodel;simulation
散,为此,对模型误差进行分析非常必要。目前在动态大地测量的数据处理中已经有一些处理模型误差
[6]
的方法,比如自适应拟合法,抗差Kalman滤波法
[7-9]
1 引言
目前,Kalman滤波已被广泛应用于动态大地测量数据处理中
[1-3]
。在Kalman滤波理论中,暗含,与Kalman滤波并行操作的DIA法
[1,12]
[10,11]
,
着一条基本假设,就是假设已经提供了一个适当的
数学模型,这个模型充分精确地描述了被研究系统的动态特性
[4]
Kalman滤波的模型误差辨识法
[13]
估计法等。
,以及偏差分离
。但是,由于对系统运行特性的了解与以往的方法不同,本文在认为现实模型和真实模型的观测值相同的前提下,从现实模型含有误差出发,同时给出了现实的数学模型和系统真实的数学模型,利用二者的关系,推导了现实滤波值与真实滤波值之间的差异,并讨论了系数矩阵和随机模型的误差对滤波值和残差的影响。
不全面,或为计算方便而将模型简化,加之精确的噪声先验统计特性很难获得,所以往往使确定的模型与实际不符。然而,Kalman滤波器的许多优良特性都是以系统模型的精确为前提的
[5]
。由于模型误
差的存在会影响滤波精度,严重时还会导致滤波发
＊收稿日期:2007-08-19
基金项目:国家自然科学基金(40474007);国家杰出青年科学基金(40125013);“基础地理信息与数字化技术”山东省重点开放实验室
课题(SD040202);河南省自然科学基金(0511010100)
作者简介:许阿裴,女,1981年生,硕士研究生,主要从事误差理论和测量数据处理等方面的研究.E-mail:apeixiaoxiao@126.com
102
大地测量与地球动力学
r
r
28卷
T
2 现实使用的Kalman滤波器
设计Kalman滤波器通常使用的数学模型为:
XΥΓ(1)k=k,k-1Xk-1+k,k-1Wk-1
LHXVk=kk+k
(2)
式中X维状态向量,Lk是tk时刻系统的nk是tk时
刻系统的m维观测序列,W维系统过程噪声k是p序列,V维观测噪声序列,Υ×k是mk,k-1是系统的nn维状态转移矩阵,Γ×p维噪声输入矩阵,k,k-1是nHn维观测矩阵。k是m×
假定系统过程噪声和观测噪声的统计特性如下
E[W0,E[V0k]=k]=
E[WQ,E[VV]=RkW]=kδkjkδkjE[WV]=E[WX]=E[VX]=0
其中Q×p维对称非负定k是系统过程噪声Wk的p方差阵,Rm维对称正k是系统观测噪声Vk的m×定方差阵,而δ是Kronecker-δ函数。滤波初值为kjXE[XCov[X0=0],P0=0]。
由模型(1)和(2)所得的Kalman滤波递推方程为:X Υ k,k-1=k,k-1Xk-1
X X KH k=k,k-1+k[Lk-kXk,k-1]KPRk=k,k-1Hk[HkPk,k-1Hk+k]
T
T
T
-1
T
T
kj
Tk0
Tk0
Tj
Tkj
P(ΥΔΥPΥΔΥk,k-1=k,k-1+k,k-1)k-1(k,k-1+k,k-1)
+(ΓΔΓ(QΔQ(Γk,k-1+k,k-1)k-1+k-1)k,k-1+ΔΓk,k-1)
r
r
T
r
(11)(12)
P[I-KHΔH)]Pk=k(k+kk,k-1
3.2 滤波误差的表达式
为方便起见,记PPΔPk,k-1=k,k-1+k,k-1。由和式求逆公式,易得真实滤波值X k与现实得到的滤波值X X k之间误差Δk的表达式:
ΔX X X (I-KΥX Dk=k-k=kHk)k,k-1Δk,k-1+k其中
DC[(I-KΔΥ(CHΔHk=kLk+kHk)k,k-1-k(k+k)
+KΔH(ΥΔΥX kk)k,k-1+k,k-1)k-1]
C(PΔP(HΔHHk=k,k-1+k,k-1)k+k)[(kPk,k-1Hk
+R)-BPHRkk]-k,k-1Hk(kPk,k-1Hk+k)
T
-1
T
-1
T
T
-1
T
T
r
r
r
BHR+(HPk=(kPk,k-1Hk+k)Ak[Ikk,k-1Hk+
Rk)Ak]
-1
-1
(HPR)kk,k-1Hk+k
T-1
T
A(HΔH(PΔP(HΔHk=k+k)k,k-1+k,k-1)k+k)-HPΔRkk,k-1Hk+k
T
(3)(4)(5)(6)(7)
4 系数矩阵和随机模型的误差对滤波值和残差的影响
4.1 滤波值的偏差
假设状态模型是正确的,只讨论观测模型的系数矩阵和随机模型存在误差的情况。已知ΔΥk,k-1=0,ΔΓ0,ΔQ0,下面讨论在ΔPk,k-1=k=k,k-1和ΔX HRX k-1非零的情况下Δk和Δk对Δk的影响。此时
ΔX (I-KH)ΥX Dk=kkk,k-1Δk-1+k
其中
DC[CHΔH+KΔH]Υ k=kLk-k(k+k)kkk,k-1Xk-1CR,(Hk如前文所述。易知,HkPk,k-1Hk,Δkk+ΔH)(PΔP(HΔH),Hkk,k-1+k,k-1)k+kkPk,k-1Hk+Rm维方阵。根据文献[12]近似联合对k均是m×
角化理论得,存在酉矩阵U,使得
UHdiag[(hp)hp)hp)kPk,k-1HkU=1,(2,…,(n]UΔRU=diag(Δrrrk1,Δ2,…,Δn)
U(HΔH(PΔP(HΔHk+k)k,k-1+k,k-1)k+k)U=diag[Δ(hp)(hp)(hp)]1,Δ2,…,ΔnU(HPRU=kk,k-1Hk+k)
diag[(hp+r)hp+r)hp+r)]1,(2,…,(n)则
T
C(PΔP(HΔH·k=k,k-1+k,k-1)k+k)U
diag[
1
,2(hp+r)[Δ(hp)(hp)Δr1+1-1+1]
222
2
2
T
T
2
2
2
T
T
TT
T
2
2
2
T
T
T
r
PΥΓk,k-1=k,k-1Pk-1Υk,k-1+k,k-1Qk-1Γk,k-1P[I-Kk=kHk]Pk,k-1
由于设计Kalman滤波器时使用的数学模型往
往与真实情况不符,所以式(4)得到的X k只是对模型(1)和(2)中状态Xk的最优估计,而不是对真实系统状态的最优估计;式(7)得到的Pk也不是真实系统的最优滤波误差方差阵。
(13)
3 滤波的误差公式
3.1 真实的Kalman滤波方程
假设在系统真实的数学模型中,系数矩阵和噪
rr
声方差阵分别为ΥΥΔΥk,k-1=k,k-1+k,k-1,Γk,k-1=ΓΔΓHΔHQΔQk,k-1+k,k-1,H=k+k,Q=k+k,R=RΔR表示真实值,即Υk+k,上标rk,k-1,Γk,k-1,Hk为真实系统的系数矩阵,Qk和Rk为真实系统的过程噪声的方差阵和观测噪声的方差阵。易得真实的Kalman滤波递推方程为:rrX (ΥΔΥX k,k-1=k,k-1+k,k-1)k-1
r
r
r
r
r
rr
r
r
k
rk
rk
(8)(9)
r
X (ΥΥX Hk=k,k-1+Δk,k-1)k-1+Kk[Lk-(k+
ΔH(ΥΔΥX ]k)k,k-1+k,k-1)
r
r
T
r
k-1
KPHΔHHΔHPHk=k,k-1(k+k)[(k+k)k,k-1(k+
ΔHR]k)+
T
r-1
k
(10)
第1期许阿裴等:卡尔曼滤波模型误差的影响分析
103
…,
1T
]U2
(hp+r)[Δ(hp)(hp)Δrn+n-n+n]
T11T
-Pdiag[2,…,2]Uk,k-1HkU
(hp+r)(hp+r)1n
2
2
值。用观测值估计状态参数时,取H=1
0.5
0.5010
参数估值精度、残留误差的模、新增误差的模和残差的模如表1所示,其中状态参数估值精度(绝对误差)是估计值和真值之间的欧式距离。状态参数估计值精度随迭代次数的变化示意图如图1和图2所示。
,基于系数矩阵H和H得到的状态
r
(14)
由式(14)可以分析ΔH、ΔRPkk和Δk,k-1对Ck的影响。
4.2 残差的偏差
当系统模型正确时,残差的真实值为Vk=H LHRkXk-k,由于Δk和Δk的存在,使得现实中的残差为VH L,故k=kXk-k
VV(HΔX ΔH ΔHX )(15)k=k-kk+kXk+kΔk
r
r
r
r
5 分析
1)由式(13)可以看出,如果前一步的估计误差ΔX 0,且ΔH0,ΔR0,ΔP0,则ΔX k-1=k=k=k,k-1=k=
0,这与实际情况相符。
2)在每一步迭代计算中,滤波值误差主要由残留误差(I-KH)ΥX kkk,k-1Δk-1和新增误差Dk控制。即使系数矩阵和随机模型均没有误差,一旦初始值或迭代计算中某一步滤波值存在误差,则后续计算的滤波值也均会受到残留误差的影响。
3)式(14)给出的Ck表达式中对角矩阵的元素在分母上,对CHk的影响不大,因此Ck主要受Δk
和ΔPHk,k-1影响。当Δk影响较小时,由于新观测值的不断修正,其影响会逐渐变小;当ΔHk影响较大时,新观测值不足以修正ΔHk带来的影响,因此在每一次迭代计算中ΔHk均会使滤波值变坏,这时它对滤波值的影响是逐步累积的。
4)当状态模型正确时,ΔPk,k-1随迭代计算不断变化,并且在迭代计算时,ΔPk,k-1对估值精度一直有影响,有时影响会越来越大。因此在计算过程中对权阵Pk合理控制非常必要。把权阵误差控制在一定范围内,也就能把每一步计算的新增误差控制在一定范围内。
5)因为,ΔH≠0,ΔR15)可以看出,kk≠0,由式(Vk相对于V变化了很多。不同于粗差的影响,系数矩阵误差和随机模型误差对残差的各个分量均有影响,如果计算过程中残差的各个分量的绝对值均偏大,就要考虑模型是否正确。
rk
图1 Hr时的精度变化Fig.1 PrecisionchangeswithHr
图2 H时的精度变化Fig.2 PrecisionchangeswithH
表1显示,当观测矩阵正确时,状态参数估计值精度一直很高,残留误差的模、新增误差的模和残差的模也均很小;而当观测矩阵含有误差时,状态参数估计值精度很不理想,随着迭代次数的增加,精度会越来越差,并且残留误差的模、新增误差的模和残差的模也随着迭代次数的增加而逐渐变大。此外,从图1、图2可以直观地看出当观测矩阵正确和含有误差时状态参数估计值精度的变化情况。值得指出的是,由于本文采用的是模拟算例,对观测噪声的方差阵R设定的比较简单,其存在误差时影响不大,这些将在下文分析,不再赘述。综上所述,算例模拟
结果与分析结果基本一致。
6 仿真试验
本文给出的是仿真算例。仿真过程中真实的系数矩阵取H=r
1001
00,仿真得到10000个观测
104
大地测量与地球动力学28卷
control[M].Beijing:NationalDefenseIndustryPress,
表1 仿真计算结果
Tab.1 Resultsfromthesimulation
k200040006000800010000
系数阵HrHHr
HHrH
精度(绝残留误差新增误差
残差的模
对误差)的模的模0.00170.00100.00240.00817.75610.01718.570.00599.46370.00
6.7861
0.01377.39390.00558.01280.00668.68800.00419.4371
1.0136
0.001.23400.00591.50550.00231.84070.00562.2548
0.1052
0.01030.20730.01670.34820.00690.51760.01180.7581
1990.(inChinese)
5 付梦印,邓志红,张继伟.动态Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用[M].北京:科学出版社,2003.5 FuMengyin,DengZhihongandZhangJiwei.DynamicKal-manfilteringtheoryanditsapplicationinnavigationsystem[M].Beijing:SciencePress,2003.(inChinese)6 杨元喜,张双成.导航解算中的系统误差及其协方差矩阵拟合[J].测绘学报,2004,33(3):1-194.6 YangYuanxiandZhangShuangcheng.Fittingsofsystematicerrorsandcovariancematricesinnavigation[J].ActaGeo-daeticaetCartographicaSinica,2004,33(3):1-194.(inChinese)
7 杨元喜.动态系统的抗差Kalman滤波[J].测绘学院学报,1997,14(2):79-84.
7 YangYuanxi.RobustKalmanfilteringfordynamicsystem
[J].JournalofZhengzhouInstituteofSurveyingandMap-ping,1997,14(2):79-84.(inChinese)
8 周江文,等.抗差最小二乘法[M].武汉:华中理工大学出版社,1997.
8 ZhouJiangwen,etal.Robustleastsquaresmethod[M].
Wuhan:PressofHuazhongUniversityofScienceandTech-nology,1997.(inChinese)
9 KochKRandYangY.RobustKalmanfilterforrankdefi-cientobservationmodel[J].JournalofGeodesy,1998,72(8):436-441.
10 TeunissenPJG.Anintegrityandqualitycontrolprocedure
foruseinmultisensorintegration[A].In:ProceedingsofIONGPS-90[C].Coloradosprings,Colorado,USA,19-21September,1990a:513-522.
11 TeunissenPJG.Qualitycontrolinnavigationsystems[J].
IEEEAerospaceandElectronicSystemsMagazine,1990b,5(7):35-41.
12 CharlesFP.AnanalysisofKalmanfilteringmodelerrors
[J].IEEETransAutomaticControl,1968,699-702.13 宋迎春,朱建军,陈正阳.动态定位的模型偏差检测与
校正[J].测绘学报,2005,34(4):294-299.13 SongYingchun,ZhuJianjunandChenZhengyang.Thede-tectingandcorrectingofthemodelbiasesofkinematicposi-tioning[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica,2005,34(4):294-299.(inChinese)
14 张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版
社,2004.
14 ZhangXianda.Matrixanalysisandapplication[M].Bei-jing:PublishingHouseofTsinghuaUniversity,2004.(inChinese)
Hr
H10.4684r
0.0041HH
11.6267
7 结语
由本文可以看出,对模型误差进行分析非常有必要,Kalman滤波模型误差的影响是Kalman滤波
发散的重要原因之一。为避免模型误差造成的不良影响,要求测量工作者严格按规定进行观测,保证观测过程的合理性和准确性,并且尽量给出接近实际的模型。对于模型中不可避免地存在的误差,应对其进行修正,这也正是以后要做的工作。
参
考
文
献
1 陶本藻.卡尔曼滤波模型误差的识别[J].地壳形变与地震,1999,19(4):15-20.
1 TaoBenzao.IdentificationofKalmanfilteringmodelerrors[J].CrustalDeformationandEarthquake,1999,19(4):15-20.(inChinese)
2 张朝玉.卡尔曼滤波在AR序列建模中的应用[J].大地测量与地球动力学,2003,23(2):92-95.
2 ZhangChaoyu.ApplicationofKalmanfilterinmodeling
multi-dimensionalARseries[J].JournalofGeodesyandGeodynamics,2003,23(3):92-95.(inChinese)3 刘国林,等.卡尔曼滤波在InSAR噪声消除与相位解缠中的应用[J].大地测量与地球动力学,2006,26(2):66-69.
3 LiuGuolin,etal.ApplicationofKalmanfilterstonoiseelimi-natingandphaseunwrappingofInSAR[J].JournalofGeod-esyandGeodynamics,2006,26(2):66-69.(inChinese)4 卢伯英,陈宗基.线性估计与随机控制[M].北京:国防工业出版社,1990.
4 LuBoyingandChenZongji.Linearestimationandstochastic
