第10讲 原点矩与中心矩 协方差与相关系数

教学目的：掌握矩、协方差及相关系数的概念、性质及计算。 教学重点：矩、协方差及相关系数的概念和性质。 教学难点：矩、协方差及相关系数的概念。 教学学时：2学时 教学过程：

第三章 随机变量的数字特征

§3.3 原点矩与中心矩

随机变量的数字特征除了数学期望和方差外，为了更好的描述随机变量分布的特征，有时还要用到随机变量的各阶矩（原点矩与中心矩），它们在数理统计中有重要的应用。

定义1 设X是随机变量，若E(Xk)(k1,2,)存在，则称它为X的k阶原点矩，记作vk(X)，即

vk(X)E(X)，k1,2,

k显然，一阶原点矩就是数学期望，即v1(X)E(X)。

定义2 设随机变量X的函数[XE(X)]k(k1,2,)的数学期望存在，则称

E{[XE(X)]}为Xk的k阶中心矩，记作k(X)，即

kk(X)E{[XE(X)]}，k1,2,

易知，一阶中心矩恒等于零，即1(X)0；二阶中心矩就是方差，即

2(X)D(X)。不难证明，原点矩与中心矩之间有如下关系：

2v2v1

23v33v1v22v1

3 1

4v44v3v16v2v13v1

24等。

定义3 设X和Y是随机变量，若E(XkYl)(k,l1,2,)存在，则称它为X和Y的

kl阶混合矩。若E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}(k,l1,2,)存在，则称它为X和Y的kl阶混合中心矩。

§3.4 协方差与相关系数

1.协方差与相关系数的定义

二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。

定义3 设有二维随机变量(X,Y)，如果E[XE(X)][YE(Y)]存在，E[XE(X)][YE(Y)]为随机变量X与Y的协方差，记作cov(X,Y)，即

cov(X,Y)E[XE(X)][YE(Y)]

而

cov(X,Y)称为随机变量X与Y的相关系数，记作R(X,Y)，即

D(X)D(Y)R(X,Y)cov(X,Y)D(X)D(Y)cov(X,Y)(X)(Y)

显然，协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。 当cov(X,Y)0，通常称随机变量X与Y是不相关的。

2.协方差的性质

(1) cov(X,Y)cov(Y,X)，cov(X,X)D(X) 由定义知性质（1）是显然的。 (2) cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)

证 cov(X,Y)E[XYXE(Y)YE(X)E(X)E(Y)]

E(XY)E(X)E(Y)E(X)E(Y)E(X)E(Y) E(XY)E(X)E(Y)

2

则称

(3) D(XY)D(X)D(Y)2cov(X,Y)

证 D(XY)E[(XY)E(XY)]2E[(XE(X))(YE(Y))]2

D(X)D(Y)2cov(X,Y) 该性质可推广到任意场合，即

nnD(Xi)i1D(Xi1i)2ijcov(Xi,Xj)

(4) cov(aX,bY)abcov(X,Y)，a,b是常数。

由定义知性质（4）是显然的。 (5) cov(X1X2,Y)cov(X1,Y)cov(X2,Y)

由定义知性质（5）是显然的。

(6) 若X与Y相互，则cov(X,Y)0，即X与Y不相关。反之，若X与Y不相关，X与Y不一定相互。

3.相关系数的性质

(1) R(X,Y)1

(2) 若X与Y相互，则R(X,Y)0

(3) 当且仅当X与Y之间存在线性关系P{YaXb}1（a,b为常数，a0）时，

1,R(X,Y)1，且R(X,Y)1,a0a0。

XE(X)D(X)YE(Y)D(Y)证 对于性质（1），我们考虑随机变量ZXE(X)D(X)，由协方差的性质

（3）可得 D(Z)D()D(YE(Y)D(Y))2cov(XE(X)YE(Y),)

D(X)D(Y) 112R(X,Y)2(1R(X,Y))0 故

R(X,Y)1

对于性质（2），由于X与Y相互，则有cov(X,Y)0，由定义知R(X,Y)0。

3

对于性质（3），若P{YaXb}1，则E(Y)aE(X)b，D(Y)a2D(X)，

R(X,Y)E[(XE(X))(YE(Y))]D(X)D(Y)

aD(X)aD(X)aaE[(XE(X))(aXbaE(X)b)]D(X)aD(Y)

即

1,R(X,Y)1，R(X,Y)1,a0a0

事实上相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个度量，当R(X,Y)1时说明随机变量X与Y之间具有很强的线性关系，当R(X,Y)1时为正线性相关，

R(X,Y)1时为负线性相关。当R(X,Y)1时，随机变量X与Y之间的线性相关程

度将随着R(X,Y)的减小而减弱，当R(X,Y)0时，意味着随机变量X与Y是不相关的。

例1 设随机变量Z服从[,]上的均匀分布，又XsinZ, YcosZ，试求相关系数R(X,Y)。

解 E(X)E(X212sinzdz0,E(Y)122coszdz02

12)12sin2zdz112,E(Y)coszdz

E(XY)2sinzcoszdz0

故

cov(X,Y)0, R(X,Y)0

相关系数R(X,Y)0，随机变量X与Y不相关，但是有X2Y21，从而X与Y不。

例2 设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布如下：

Y X -1 0 0 1 1/3 4

0 1 1/3 0 0 1/3 试证明X与Y不相关，但不相互。

证 易知X与Y的边缘概率分布分别是：

-1 X

pX(xi) 1/3

由公式得

cov(X,Y)(1)1 00230 1/3 1 1/3 Y 0 1/3 1 2/3 pY(yi) 1300131113[(1)13013113][(013123]

0

所以X与Y是不相关的。但是，因为

p(0,0)13，pX(0)pY(0)131319，p(0,0)pX(0)pY(0)

故X与Y不相互。

例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为

1,f(x,y)0,xy1xy22221

试证明随机变量X与Y不相关，也不相互。

证 由于D关于x轴、y轴对称，故

E(X)xdxdyD0,E(Y)Dydxdy0,E(XY)xydxdyD0

因而 cov(X,Y)0,R(X,Y)0，即X与Y不相关。 又由于

221x，fX(x)0，x1x1，

221y，fY(x)0，y1y1

显然在(x,y)|x1,y1,x2y21上，f(x,y)0fX(x)fY(y)，所以X与Y不相互。

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数学期望(均值函数或一阶原点矩) 上一页 下一页 数学期望定义为随机信号X(t)的所有样本函数,在同一时刻取值的统计平均值或称为积平均,简称均值,设随机信号X(t),在ti时刻的状态X(ti)是一个随机变量,若它的取值是离散的,在各个时刻所取的几个可能值x1, x2,…, xn.设观测时间足够长,次数足够多(N→∞),若已知离散随机变量取值的概率P[xN(ti)],则可预期取x1的次数为NP1,x2的次数为NP2等等.因而该随机信号的平均值就是各样值与其相应的次数相乘后逐项相加再被总的次数N除,即:

(4.7)

式中符号E[.]表示统计平均的运算.

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