2017年高考真题——数学(文)(天津卷)+Word版含解析

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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)． ·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积， 高．

h表示棱柱的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合A{1,2,6},B{2,4},C{1,2,3,4}，则(A（A）{2}（B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（D）{1,2,3,4,6} 【答案】B

·圆锥的体积公式V1Sh. 3其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的

B)C

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】2x0，则x2，

x11，则1x11,0x2，

据此可知：“2x0”是“x11”的必要二不充分条件. 本题选择B选项.

（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A）

4321（B）（C）（D）5555

【答案】C

（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为

（A）0 （B）1（C）2（D）3 【答案】C

【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下： 首先初始化数值为N19，

第一次循环：NN118，不满足N3； 第二次循环：N第三次循环：NN6，不满足N3； 3N2，满足N3； 3

此时跳出循环体，输出N3. 本题选择C选项.

x2y2（5）已知双曲线221(a0,b0)的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，

ab△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2221（B）1（C）y1（D）x1（A）

33412124

【答案】D

（6）已知奇函数f(x)在R上是增函数.若af(log2),bf(log24.1),cf(20.8)，则a,b,c的大小关系为

（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab 【答案】C

【解析】由题意：aflog2且：log25log24.12,12据此：log25log24.120.80.8151flog25， 52，

，

结合函数的单调性有：flog25flog24.1f20.8， 即abc,cba. 本题选择C选项. （7）设函数

f(x)2sin(x),xR，其中0,||π.若

f(5π11π)2,f()0,且f(x)的最小正周期大于2π，则 88

（A）2π211π111π17π（C）,（D）,,（B）,312312324324

【答案】A

|x|2,x1,x（8）已知函数f(x)设aR，若关于的不等式f(x)|a|在R上恒22x,x1.x成立，则的取值范围是

（A）[2,2]（B）[23,2]（C）[2,23]（D）[23,23]zx xk 【答案】A

【解析】满足题意时fx的图象恒不在函数yxa下方， 2当a23时，函数图象如图所示，排除C,D选项；

当a23时，函数图象如图所示，排除B选项，

本题选择A选项.

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知aR，i为虚数单位，若

ai为实数，则a的值为 . 2i

【答案】2 【解析】

ai(ai)(2i)(2a1)(a2)i2a1a2i为实数， 2i(2i)(2i)555则

a20,a2. 5（10）已知aR，设函数f(x)axlnx的图象在点（1，f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 . 【答案】

【解析】f(1)a，切点为(1,a)，f(x)a1，则切线的斜率为f(1)a1，切线x方程为：ya(a1)(x1)，令x0得出y1，在y轴的截距为.

（11）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】

9 2【解析】设正方体边长为，则6a218a23 ， 外接球直径为2R3a3,V434279πRππ. 3382（12）设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为 .

22【答案】(x1)(y3)1

a44b41（13）若a，bR，ab0，则的最小值为 .

ab【答案】

a44b414a2b214 ，当且仅当a2b1时取等号. 【解析】

abab（14）在△ABC中，A60，AB=3，AC=2.若BD2DC，AEACAB（R），且ADAE4，则的值为 .

【答案】

3 11【解析】ABAC32cos6003,AD12ABAC ,则 33122123ADAE(ABAC)(ACAB)34934.

33333311三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA4sinB，

ac5(a2b2c2).

（I）求cosA的值； （II）求sin(2BA)的值. 【答案】(1)525 (2)

55

4532525sin(2BA)sin2BcosAcos2BsinA().

55555（16）（本小题满分13分）

某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

甲 乙 连续剧播放时长（分钟） 70 60 广告播放时长（分钟） 5 5 收视人次（万） 60 25

已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

（I）用，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

【答案】(1)见解析（2）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

70x60y600,5x5y30,【解析】（Ⅰ）解：由已知，x,y满足的数学关系式为x2y,即

x0,y0,7x6y60,xy6,x2y0, x0,y0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. （17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，AD∥BC，PDPB，AD1，

BC3，CD4，PD2.

（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （II）求证：PD平面PBC；

（II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1)

55 (2) 55

（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得sinDFPPD5. DF55. 5所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为（18）（本小题满分13分）

*已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(nN)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于

0，

b2b312,b3a42a1,S1111b4.

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和(nN).

nn2【答案】（1）an3n2.bn2.（2）Tn(3n4)216.

*n由此可得an3n2.所以，{an}的通项公式为an3n2，{bn}的通项公式为bn2.

（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前项和为Tn，由a2n6n2，有

Tn42102216232Tn42210231624(6n2)2n，

(6n8)2n(6n2)2n1，

62n(6n2)2n1

23上述两式相减，得Tn426262

12(12n)4(6n2)2n1(3n4)2n216.

12n2得Tn(3n4)216.

所以，数列{a2nbn}的前项和为(3n4)2n216.

（19）（本小题满分14分）设a,bR，|a|1.已知函数f(x)x36x23a(a4)xb，

g(x)exf(x).

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知函数yg(x)和yex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f(x)在xx0处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式g(x)ex在区间[x01,x01]上恒成立，求b的取值范围. 【答案】（1）递增区间为(,a)，(4a,)，递减区间为(a,4a).（2）（ⅰ）

f(x)在xx0处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是[7,1].

【解析】（I）由f(x)x6x3a(a4)xb，可得

32

（ii）因为g(x)e，x[x01,x01]，由ex0，可得f(x)1. 又因为f(x0)1，f'(x0)0，故x0为f(x)的极大值点，由（I）知x0a.

x

另一方面，由于|a|1，故a14a，

由（I）知f(x)在(a1,a)内单调递增，在(a,a1)内单调递减，

x故当x0a时，f(x)f(a)1在[a1,a1]上恒成立，从而g(x)e在

[x01,x01]上恒成立.

由f(a)a6a3a(a4)ab1，得b2a36a21，1a1。

2令t(x)2x6x1，x[1,1]，所以t'(x)6x12x，

3232令t'(x)0，解得x2（舍去），或x0.

因为t(1)7，t(1)3，t(0)1，故t(x)的值域为[7,1]. 所以，的取值范围是[7,1].

x2y2（20）（本小题满分14分）已知椭圆221(ab0)的左焦点为F(c,0)，右顶

abb2点为A，点E的坐标为(0,c)，△EFA的面积为.

2（I）求椭圆的离心率；

（II）设点Q在线段AE上，|FQ|3c，延长线段PQ与椭圆交于点P，点M，N在2轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为，四边形PQNM的面积为3c. （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程.

x2y2131 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）

161224得x(2m2)c3c(2m2)c3c，即点Q的坐标为(,y,).

m2m2m2m23c(2m2)c3c23c，有[c]2()()2，整理得3m24m0，所以2m2m22由已知|FQ|=

m34，即直线FP的斜率为.

43QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.

因为QNFP，所以|QN||FQ|tanQFN3c39c，所以△FQN的面积为248127c275c2|FQ||QN|，同理△FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，2323275c227c23c，整理得c22c，又由c0，得c2. 得3232x2y21. 所以，椭圆的方程为

1612或若忧寄所灭．因．毁性，谁养母托，放浪形邪 骸之外