辽宁省实验中学分校2015届高三上学期期初数学试卷(理科)

辽宁省实验中学分校2015届高三上学期期初数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1．（5分）已知复数

，则它的共轭复数等于（）

A． 2﹣i B． 2+i C． ﹣2+i D．﹣2﹣i 2．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 3．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（） A． 4种 B． 10种 C． 18种 D．20种

4．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（） A． （0，1）

5．（5分）若

B． （1，2）

C． （2，e）

D．（3，4）

展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为（）

A．

B．

2

C． D．

6．（5分）若函数f（x）=2x﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，

则实数k的取值范围是（） A． [1，+∞）

B． [1，）

C． [1，2）

D．[，2）

7．（5分）甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3：2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（） A．

8．（5分）将正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A的3个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有（） A． 15种 B． 14种 C． 13种 D．12种

B． C． D．

9．（5分）若（2x﹣3）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于（） A． ﹣10 B． ﹣5 C． 5 D．10

10．（5分）函数（） A．

11．（5分）定义在R上的函数f（x）对∀x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，若函数f（x+1）为奇函数，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（） A． （1，+∞） B． （0，+∞） C． （﹣∞，0） D．（﹣∞，1） 12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则

的取值范围是（）

B．

C． （﹣∞，0]

D．

在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是

52345

A．

B．

C．

D． （﹣∞，﹣3）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）满足条件|z|=1及|z+|=|z﹣|的复数Z是．

14．（5分）

=．

15．（5分）为落实素质教育，某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k，那么二项式（1+kx）的展开式中，x的系数为．

16．（5分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

，类比

2

6

4

上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值．

三、解答题（本大题共5小题，共60分．应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）设命题p：函数f（x）=lg（ax﹣x+

2

a）的定义域为R，命题q：不等式

＜1+ax对一切正实数x均成立，如果命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

18．（12分）已知二次函数f（x）=x+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内． （1）求实数b的取值范围；

（2）若函数F（x）=logbf（x）在区间（﹣1﹣c，1﹣c）上具有单调性，求实数c的取值范围． 19．（12分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为： ξ 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 （1）求q2的值；

（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；

（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小． 20．（12分）已知函数f（x）=mx﹣sinx，g（x）=axcosx﹣2sinx（a＞0）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）上任意相异两点的直线的斜率都大于零，求实数m的最小值； （Ⅱ）若m=1，且对任意x∈[0，

21．（12分）已知函数f（x）=lnx，

．

]，都有不等式f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

2

（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式； （Ⅱ）若

（Ⅲ）证明不等式：

在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；

．

（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E． （1）求证：AE=EB； （2）求EF•FC的值．

选修4-4：极坐标与参数方程

23．已知曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为相交于A、B两点．（p∈R） （Ⅰ）求A、B两点的极坐标；

2

，曲线C1、C2

（Ⅱ）曲线C1与直线

（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．

选修4-5：不等式选讲 24．（选修4﹣5：不等式选讲）

已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．

（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设a＞﹣1，且当

时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

辽宁省实验中学分校2015届高三上学期期初数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1．（5分）已知复数

，则它的共轭复数等于（）

A． 2﹣i B． 2+i C． ﹣2+i D．﹣2﹣i

考点： 复数代数形式的混合运算． 专题： 计算题．

分析： 利用i的幂运算，化简复数的分母，然后否则、分母同乘i化简为a+bi的形式即可．

解答： 解：复数==

所以它的共轭复数=2+i 故选B

点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分类，是基础题．注意i的幂运算． 2．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

分析： 根据一元二次方程根的定义，我们判断出a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2的真假，进而根据充要条件的定义即可得到答案． 解答： 解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立 故a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题 而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立 故（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2为假命题 故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件 故选A

点评： 本题考查的知识点是充要条件，其中判断a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2是解答本题的关键． 3．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（） A． 4种 B． 10种 C． 18种 D．20种

考点： 计数原理的应用． 专题： 计算题．

分析： 本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册有4种，

另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C4种，根据分类计数原理得到结果． 解答： 解：由题意知本题是一个分类计数问题， 一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，

2

另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C4=6种， 根据分类计数原理知共10种， 故选B．

点评： 本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．

4．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（） A． （0，1） B． （1，2）

考点： 函数零点的判定定理．

2

C． （2，e） D．（3，4）

专题： 计算题．

分析： 先判断函数在其定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）•f（2）＜0，从而得出结论． 解答： 解：由于函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）在其定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，

∴f（1）•f（2）＜0，故函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是 （1，2）， 故选B．

点评： 本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．

5．（5分）若

展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为（）

A． B． C． D．

考点： 函数的图象． 专题： 综合题．

分析： 先由二项式定理展开式的通项公式，求出展开式中的第三项，从而得到y关于x的函数，再根据此函数的图象性质作出判断即可

解答： 解：∵∴

展开式的第r+1项Tr+1=C5

展开式的第三项为C5yx=10xy=10

2

r

（x≥0）

∴xy=1，即y= （x＞0）

∴则y关于x的函数为y=（x＞0）， 其图象为双曲线y= 的一支，位于第一象限

故选D

点评： 本题综合考察了二项式定理及函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质

6．（5分）若函数f（x）=2x﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（） A． [1，+∞）

B． [1，）

C． [1，2）

D．[，2）

2

考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 常规题型．

分析： 先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间

（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可． 解答： 解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又由f'（x）=0，得

．

，

当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0

据题意，，

解得．

故选B．

点评： 本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题． 7．（5分）甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3：2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（） A．

B．

C．

D．

考点： n次重复试验中恰好发生k次的概率． 专题： 概率与统计．

分析： 设事件A表示“甲队取胜”，事件B表示“乙队取胜”，由于甲队与乙队实力之比为3：

2，可得，

P（B）=．在5局3胜制中，甲打完4局才胜，说明了甲在前3局中只胜了2局，而第4局必须取胜，即可得出．

解答： 解：设事件A表示“甲队取胜”，事件B表示“乙队取胜”，由于甲队与乙队实力之比为3：2， ∴

，P（B）=．

=

．

在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率P=

故选D．

点评： 本题考查了离散型概率计算公式，属于基础题．

8．（5分）将正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A的3个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有（） A． 15种 B． 14种 C． 13种 D．12种

考点： 计数原理的应用． 专题： 计算题．

分析： 本题是一个分类计数问题，设6个面为1对4、2对5、3对6，五种颜色为a、b、c、d、e，且1涂a，2涂b，3涂c，包括5种颜色全都使用和只使用4种颜色时和只使用3种颜色时，做出结果数，根据分类计数原理得到． 解答： 解：由题意知本题是一个分类计数问题，

设6个面为1对4、2对5、3对6，五种颜色为a、b、c、d、e，且1涂a，2涂b，3涂c 当5种颜色全都使用时

即只有一组对面颜色相同，设1和4同色，5和6有2种涂法（de或ed） 因为三个面各不相同 所以一共有3×2=6种 当只使用4种颜色时

即有两组对面颜色相同，设1和4同色，2和5同色，6有2种涂法（d或e）共有3×2=6种 当只使用3种颜色时 只能是1和4同色，2和5同色，3和6同色，即只有1种 综上共有6+6+1=13种方法 故选C．

点评： 本题考查分类计数原理，本题解题的关键是对颜色使用的不同情况进行选择，用5种，4种，3种，把三种情况相加即可．

9．（5分）若（2x﹣3）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于（） A． ﹣10 B． ﹣5 C． 5 D．10

考点： 二项式定理的应用． 专题： 二项式定理．

分析： 对已知等式求导数，对求导后的等式中的x赋值1，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值． 解答： 解：对等式两边求导数得

52345

10（2x﹣3）=a1+2a2x+3a3x+4a4x+5a5x 令x=1得10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5 故选D

点评： 本题考查复合函数的求导法则、考查赋值法求展开式的系数和常用的方法．

10．（5分）函数（） A．

B．

C． （﹣∞，0]

D．

在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是

4234

考点： 函数最值的应用． 专题： 常规题型．

分析： 先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2； 欲使得函数

在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e的值必须小

于等于2，从而解得a的范围．

解答： 解：先画出分段函数f（x）的图象，

2a

如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2； 欲使得函数

的值必须小于等于2，

2a

即e≤2， 解得：a故选D．

在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e

2a

点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

11．（5分）定义在R上的函数f（x）对∀x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，若函数f（x+1）为奇函数，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（） A． （1，+∞） B． （0，+∞） C． （﹣∞，0） D．（﹣∞，1）

考点： 奇函数；函数单调性的性质． 专题： 计算题．

分析： 通过义在R上的函数f（x）对∀x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，得到函数f（x）在R上为单调减函数，再根据函数f（x+1）为奇函数，得到函数f（x+1）必过原点，f（x+1）=﹣f（1﹣x），即可求解

解答： 解：∵定义在R上的函数f（x）对∀x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0

∴（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号

当x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0；反之亦然 即函数f（x）在R上为单调减函数 即函数f（x+1）在R上为单调减函数 ∵函数f（x+1）为奇函数且定义域为R

∴函数f（x+1）必过原点，故函数f（x）必过（1，0） ∴x＞1时有，f（x）＜0 又f（1﹣x）＜0 ∴1﹣x＞1

∴x＜0 故选C

点评： 本题考查了函数的单调性的定义，利用奇函数的性质及图象的平移的相关知识进行求解，属于基础题． 12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D． （﹣∞，﹣3）

考点： 简单线性规划的应用． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用不等式的性质得到答案．

解答： 解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增， ∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1， 又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4， 即2a+b＜4，

又由a＞0．b＞0；

点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，

的几何意义是区域的点与A（﹣2，﹣2）连线的斜率， 直线AB，AC的斜率分别是，3；则故选C．

；

点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）满足条件|z|=1及|z+|=|z﹣|的复数Z是或．

考点： 复数求模．

专题： 数系的扩充和复数． 分析： 设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算法则和模的计算公式得a，b的方程组，求出a，b的值．

解答： 解：设z=a+bi（a，b∈R），

由题意得，，

解得，或，

则复数Z是：故答案为：

或

或， ．

点评： 该题考查复数代数形式的运算法则，模的计算公式，属于基础题．

14．（5分）

考点： 定积分． 专题： 计算题．

=．

分析： 欲求定积分y=

，可利用定积分的几何意义求解，即可被积函数

与x轴在0→1所围成的图形的面积即可．

解答： 解：根据积分的几何意义，由图可得，原积分的值即为图中阴影部分的面积． 即包括一个扇形和一个三角形． ∴故答案为：

．

，

点评： 本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、三角形的面积、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．

15．（5分）为落实素质教育，某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的

2

不同选法种数是k，那么二项式（1+kx）的展开式中，x的系数为54000．

考点： 二项式系数的性质． 专题： 二项式定理．

分析： 由条件利用排列组合的知识求得k的值，再根据二项式展开式的通项公式求得

2

（1+kx）的展开式中x的系数．

解答： 解：由题意可得 k=

二项式（1+60x）的展开式中x的系数为

2

6

4

=15+30+15=60， ×60=15×3600=54000．

2

故答案为：54000．

点评： 本题主要考查排列组合，二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

16．（5分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值

．

，类比

考点： 类比推理． 专题： 计算题．

分析： 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．

解答： 解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，

在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和， 如图：

由棱长为a可以得到BF=

a，BO=AO=

，

在直角三角形中，根据勾股定理可以得到 222BO=BE+OE， 把数据代入得到OE=

a，

a=

a，

∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×故答案为：

a．

点评： 本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．

三、解答题（本大题共5小题，共60分．应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（12分）设命题p：函数f（x）=lg（ax﹣x+

2

a）的定义域为R，命题q：不等式

＜1+ax对一切正实数x均成立，如果命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

考点： 复合命题的真假． 专题： 简易逻辑．

分析： 由二次函数和不等式的性质分别可得p真和q真时的a的取值范围，再由建议逻辑可

得得，或，由集合的运算可得．

2

解答： 解：p为真等价于ax﹣x+a＞0恒成立，

当a=0时不合题意，∴，解得a＞2；

q为真等价于对一切x＞0恒成立，

又，∴，∴，

又命题p∨q为真，p∧q为假可得，或，

∴，或，综合可得≤a≤2

点评： 本题考查复合命题的真假，涉及恒成立问题，属基础题．

18．（12分）已知二次函数f（x）=x+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内．

2

（1）求实数b的取值范围；

（2）若函数F（x）=logbf（x）在区间（﹣1﹣c，1﹣c）上具有单调性，求实数c的取值范围．

考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数单调性的性质． 专题： 计算题；综合题．

分析： （1）利用g（﹣2）=＜0，g（﹣3）＞0、g（0）＜0、g（1）＞0，求实数b的取值范围；

（2）f（x）在区间（﹣1﹣c，1﹣c）上为增函数，F（x）=logbf（x）在（﹣1﹣c，1﹣c）上为减函数，利用（1）求实数c的取值范围． 解答： 解：（1）由题意知f（1）=1+2b+c=0， ∴c=﹣1﹣2b

记g（x）=f（x）+x+b=x+（2b+1）x+b+c=x+（2b+1）x﹣b﹣1 则g（﹣3）=5﹣7b＞0 g（﹣2）=1﹣5b＜0∴g（0）=﹣1﹣b＜0 g（1）=b+1＞0 即b∈（（2）令u=f（x）．∵0＜

）．（7分）

2

2

∴logbu在（0，+∞）是减函数

2

而﹣1﹣c=2b＞﹣b，函数f（x）=x+2bx+c的对称轴为x=﹣b ∴f（x）在区间（﹣1﹣c，1﹣c）上为增函数，

从而F（x）=logbf（x）在（﹣1﹣c，1﹣c）上为减函数 且f（x）在区间（﹣1﹣c，1﹣c）上恒有f（x）＞0， 只需f（﹣1﹣c）≥0， 且c=﹣2b﹣1 （

） 所以

．（13分）

点评： 本题考查函数的单调性，一元二次方程根的分布于系数的关系，考查学生发现问题

解决问题的能力，是中档题． 19．（12分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为： ξ 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 （1）求q2的值；

（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；

（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．

考点： 古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．

分析： （1）记出事件，该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互，根据相互事件同时发生的概率得到结果．

（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错．

（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算出来，根据相互事件同时发生的概率公式，进行比较． 解答： 解：（1）设该同学在A处投中为事件A， 在B处投中为事件B，则事件A，B相互，

且P（A）=0.25，P（）=0.75，P（B）=q2，P（）=1﹣q2．

2

根据分布列知：ξ=0时P（）=P（）P（）P（）=0.75（1﹣q2）=0.03， 所以1﹣q2=0.2，q2=0.8；

（2）当ξ=2时，P1=P=（B+B）=P（B）+P（B） =P（）P（B）P（）+P（）P（）P（B） =0.75q2（1﹣q2）×2=1.5q2（1﹣q2）=0.24

2

当ξ=3时，P2=P（A）=P（A）P（）P（）=0.25（1﹣q2）=0.01，

2

当ξ=4时，P3=P（BB）P（）P（B）P（B）=0.75q2=0.48， 当ξ=5时，P4=P（AB+AB）=P（AB）+P（AB）

=P（A）P（）P（B）+P（A）P（B）=0.25q2（1﹣q2）+0.25q2=0.24 随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63；

（3）该同学选择都在B处投篮得分超过（3分）的概率为P（BB+BB+BB）

22

=P（BB）+P（BB）+P（BB）=2（1﹣q2）q2+q2=0.6；

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72． 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．

点评： 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．体现数学的科学价值． 20．（12分）已知函数f（x）=mx﹣sinx，g（x）=axcosx﹣2sinx（a＞0）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）上任意相异两点的直线的斜率都大于零，求实数m的最小值； （Ⅱ）若m=1，且对任意x∈[0，

]，都有不等式f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用；三角函数的图像与性质．

分析： （Ⅰ）将已知条件转化为函数的单调性，再由函数的单调性研究导函数值的正负，从而得出结论；（Ⅱ）通过对不等式的变形，转化为函数值恒非负问题，求出相应的导函数后，通过两次分类讨论，找出适合条件的参量范围． 解答： 解：（Ⅰ）∵过曲线y=f（x）上任意相异两点的直线的斜率都大于0，

∴任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则由∴函数f（x）=mx﹣sinx在R上单调递增．

，得f（x1）＜f（x2）．

∴∴f'（x）=m﹣cosx≥0恒成立，即m≥cosx， ∴m的最小值为1． （Ⅱ）∵m=1， ∴f（x）=x﹣sinx． ∵f（x）≥g（x）， ∴x+sinx﹣axcosx≥0． 对于任意的x∈

，令H（x）=x+sinx﹣axcosx，

则H'（x）=1+cosx﹣a（cosx﹣xsinx） =1+（1﹣a）cosx+axsinx．

（1）当1﹣a≥0，即0＜a≤1时，H'（x）=1+（1﹣a）cosx+axsinx＞0， ∴

．

∴H（x）≥H（0）=0，符合题意， ∴0＜a≤1．

（2）当1﹣a＜0，即a＞1时，h（x）=1+（1﹣a）cosx+axsinx， h'（x）=（2a﹣1）sinx+axcosx， ∵a＞1， ∴2a﹣1＞0， ∴h'（x）≥0． ∴∴即∴

． ．

， ，

①当2﹣a≥0，即1＜a≤2时，H'（x）≥0， ∴H（x）在

上为单调增函数，

于是H（x）≥H（0）=0，符合题意． ∴1＜a≤2．

②当2﹣a＜0，即a＞2时， 存在

，使得当x∈（0，x0）时，有H'（x）＜0，

此时H（x）在（0，x0）上为单调减函数，

从而H（x）＜H（0）=0，不能使H（x）＞0恒成立． 综上所述，实数a的取值范围为0＜a≤2．

点评： 本题考查了导数和三角函数的知识，主要是运用导函数去判断函数的单调性，再利用单调性去研究问题．本题的方法明确，需要进行两次分类讨论，运算量较大，有难度，属于难题．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx，．

（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式； （Ⅱ）若

（Ⅲ）证明不等式：

在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；

．

考点： 不等式的证明；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）求导数，利用f（x）与g（x）在x=1处相切，可求g（x）的表达式；

（Ⅱ）在[1，+∞）上是减函数，可得导函数小于等于0在[1，

+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数m的取值范围； （Ⅲ）当x≥2时，证明加法，即可得到结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=lnx，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 又∵分） （Ⅱ）解：∵

=

在[1，+∞）上是减函数，

，∴b=﹣1，∴g（x）=x﹣1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3

，∴

，得：a=2﹣﹣﹣

，当x＞1时，证明

，利用叠

∴φ′（x）=﹣﹣﹣（5分）

≤0在[1，+∞）上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

即x﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，由∵

2

，x∈[1，+∞），

，∴2m﹣2≤2得m≤2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

，

，∴

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可得：当x≥2时，∴

得：

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴当x=2时，

；当x=3时，

，…，当x=n+1时，

上述不等式相加得：

；当x=4时，，n∈N+，n≥2

即：分）

由（Ⅱ）可得：当m=2时，ϕ（x）=∴当x＞1时，ϕ（x）＜ϕ（1）=0，即所以（11分） 当x=2时，

；当x=3时，，n∈N+，n≥2

上述不等式相加得：

，从而得到

①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9

在[1，+∞）上是减函数， ＜0，

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

；当x=4时，，…，当x=n+1时，

=

即综上：

②

=

（n∈N+，n≥2）﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

点评： 本题考查不等式的证明，考查导数知识的运用，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．

（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E． （1）求证：AE=EB； （2）求EF•FC的值．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆．

分析： （1）由题意得EA为圆D的切线，由切割线定理，得EA=EF•EC，EB=EF•EC，由此能证明AE=EB．

22

（2）连结BF，得BF⊥EC，在RT△EBC中，，由射影定理得EF•FC=BF，由此能求

2

出结果．

解答： （1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆， 而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线

2

依据切割线定理，得EA=EF•EC…（2分） 另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线， 同样依据切割线定理得EB=EF•EC…（4分） 故AE=EB…（5分）

（2）解：连结BF，∵BC为圆O直径， ∴BF⊥EC 在RT△EBC中，有又在Rt△BCE中， 由射影定理得EF•FC=BF=

22

…（7分）

．…（10分）

点评： 本题考查与圆有关的线段相等的证明，考查两线段乘积的求法，解题时要注意射影定理和切割线定理的合理运用．

选修4-4：极坐标与参数方程

23．已知曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为相交于A、B两点．（p∈R） （Ⅰ）求A、B两点的极坐标；

2

，曲线C1、C2

（Ⅱ）曲线C1与直线

（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．

考点： 点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （I）由得：，即可得到ρ．进而得到点A，B的极坐

标．

（II）由曲线C1的极坐标方程ρcos2θ=8化为ρ（cosθ﹣sinθ）=8，即可得到普通方程为x

2

2

2

22222

﹣y=8．将直线代入x﹣y=8，整理得．进而得到|MN|．

解答： 解：（Ⅰ）由

2

得：，

∴ρ=16， 即ρ=±4．

∴A、B两点的极坐标为：

2

2

2

或

2

．

（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρcos2θ=8化为ρ（cosθ﹣sinθ）=8，

22

得到普通方程为x﹣y=8．

2

2

将直线代入x﹣y=8，

整理得．

∴|MN|==．

点评： 本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、此时方程化为普通方程、弦长公式等基础知识与基本技能方法．

选修4-5：不等式选讲 24．（选修4﹣5：不等式选讲）

已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．

（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设a＞﹣1，且当

时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法；函数单调性的性质． 专题： 压轴题；不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．

（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得

a的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．

设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：

结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a＞﹣1，且当对

都成立．

时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2

故﹣≥a﹣2，解得 a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．

点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．